Como casi todos los controladores PID se ajustan en el sitio, en la literatura se han propuesto muchos tipos diferentes de reglas de sintonización, que permiten llevar a cabo una sintonización delicada y fina de los controladores PID en el sitio. Asimismo, se han desarrollado métodos automáticos de sintonización y algunos de los controladores PID poseen capacidad de sintonización automática en línea. Actualmente se usan en la industria formas modificadas del control PID, tales como el control I-PD y el control PID con dos grados de libertad (Ogata, (2010)).

Controlador PID calcula el error existente entre el valor deseado y la salida de un sistema, es decir, ; con lo cual se genera una señal de control formada por las siguientes tres acciones (Bolton, (2001)):

Acción proporcional (P): Da una salida del controlador que es proporcional al error, la cual puede ser descrita en el dominio de la frecuencia tal que:

(1)

Donde es la ganancia proporcional ajustable (Pérez M. A., Pérez and Pérez, (2008)).

Acción integral (I): Da una salida del controlador proporcional al error acumulado, lo que implica una respuesta de control lenta. Esta acción se define en el dominio de la frecuencia con la siguiente función de transferencia (Pérez M. A., Pérez and Pérez, (2008)).

(2)

donde es la ganancia integral ajustable.

Acción derivativa (D): Actúa cuando hay un cambio en el valor absoluto del error, corrigiendo sólo los errores en la etapa transitoria. Al ser una acción predictible su respuesta es rápida Esta acción se define en el dominio de la frecuencia como

(3)

Donde es la ganancia derivativa ajustable (Pérez M. A., Pérez and Pérez, (2008)).

Aquí, la acción proporcional, tal como su nombre lo indica, depende proporcionalmente del error; la parte integral provee robustez ante perturbaciones constantes, eliminando el error en estado estacionario; mientras que la acción derivativa garantiza amortiguamiento para el sistema en lazo cerrado como se muestra en la Figura 2.

Figura 2
Control PID de una planta.

Donde es el valor deseado, es el error, es la salida del controlador y la salida del sistema o el valor real, (Bolton, (2001)).

La utilidad de los controles PID estriba en que se aplican en forma casi general a la mayoría de los sistemas de control. En el campo de los sistemas para control de procesos, es un hecho bien conocido que los esquemas de control PID básicos y modificados han demostrado su utilidad para aportar un control satisfactorio, aunque tal vez en muchas situaciones específicas no aporten un control óptimo (Åström y Hägglund, (1995)).

A continuación, se describe la sintonización para la ley de Control en el dominio del tiempo:

mediante el segundo método propuesto por Ziegler-Nichols.

1. En primer lugar, se establecen los parámetros Ti = 1 y Td = 0.

2. Aplicando únicamente la ganancia Kp, se incrementa este valor desde cero hasta un valor crítico Kcr, es decir, cuando la salida del sistema presenta oscilaciones.

3. Posteriormente se determina el periodo crítico Pcr correspondiente a las oscilaciones obtenidas en el paso anterior, a partir de la cual se calculan las ganancias del controlador PID, de la misma manera es posible calcular las ganancias para el control proporcional (P) y el control proporcional integral (PI), tal como se muestra en la Tabla 2 (Ziegler and Nichols, 1942).

Tabla 2
Sintonización de controladores P, PI y PID por el segundo método de Ziegler-Nichols

En 1934, Hazen, introdujo el término servomecanismos para los sistemas de control de posición, analizó el diseño de los servomecanismos con relés, capaces de seguir con precisión una entrada cambiante. (Ogata, 2010).

Los servomotores son motores DC que incorporan un sensor de posición con un grado de resolución y una velocidad de rotación del eje de 2000 rpm. El modelo de los servomotores como actuadores del sistema, se define teniendo en cuenta los parámetros eléctricos de un motor DC y la caja reductora de velocidad que lo compone. Un esquema representativo se muestra en la Figura 3 (Hurbain, 2007) y (Valluru y Singh, (2016).

Figura 3
Diagrama esquemático de un Servomotor.

Los parámetros de la Figura 3 corresponden a:

: Resistencia de armadura [W]

: La: Inductancia de armadura [H]

: Constante de fuerza contra electromotriz

: Constante de torque

: Momento de Inercia del Motor

: Coeficiente de fricción viscosa del motor

: Relación de reducción del motor

: Momento de Inercia de la carga .

: Coeficiente de fricción viscosa de la carga motor

El Arduino Mega 2560 es una placa de desarrollo basada en el microcontrolador ATmega2560. Tiene 54 entradas/salidas digitales (de las cuales 15 pueden ser usadas como salidas PWM), 16 entradas analógicas, 4 UARTs, un cristal de 16Mhz, conexión USB, jack para alimentación DC, conector ICSP, y un botón de reseteo. La placa Mega 2560 es compatible con la mayoría de shields compatibles para Arduino UNO. (Arduino Home, 2019).

Este driver de servomotor funciona de 5,5 a 24V y puede suministrar 12A continuos con picos de 30A. Funciona con niveles lógicos de 2.5 a 5 V, admite PWM ultrasónico (hasta 20 kHz) y presenta retroalimentación de detección de corriente (un voltaje analógico proporcional a la corriente del motor). Junto con la protección incorporada contra voltaje inverso, sobrevoltaje, bajo voltaje, sobretemperatura y sobrecorriente, estas características hacen de este producto un excelente controlador de servomotores de uso general. (Pololu Robotics & Electronics, 2019).

En la Figura 4 se muestra el circuito de conexiones implementado para el control del servomotor.

Figura 4
Diagrama de conexiones.

En el diseño del diagrama se puede observar la optimización final a la que se llegó, esto debido a que en las últimas actualizaciones de las herramientas de desarrollo en Matlab con arduino, se pueden implementar por software muchas rutinas de conversión de señales, que antes no era posible implementar de manera directa. Quedando en manos de los investigadores el desarrollo y prueba de los algoritmos de control en la plataformas.

Para empezar el diseño de los bloques de Simulink, se definen las condiciones iniciales para el sentido de giro y la potencia aplicada al motor mediante la señal PWM, una vez que el sistema está corriendo, se cierra el lazo de control y se introduce la posición deseada para obtener la señal de error mediante la señal de salida retroalimentada. Dicha señal, se acondiciona mediante el controlador PID sintonizado previamente y el resultado sirve como parámetro de referencia a la entrada PWM del motor y cuya salida del encoder proporciona la posición angular real, como se muestra en la Figura 5.

Figura 5
Diagrama a bloques para el controlador PID en Simulink.

Como puede observarse en el diagrama a bloques, la configuración es muy sencilla pero funcional.

Cuando se compila el diagrama de bloques en Simulink-Matlab™ se conecta al arduino mediante el puerto USB, para definir las condiciones iniciales tanto de giro y potencia aplicada al motor mediante el driver MD15A en el sistema real, leer la señal del encoder del servomotor para conocer su posición actual y enviarlas al controlador PID para cerrar el lazo de control. Una vez que el sistema está estable, es posible cambiar los parámetros para lograr la posición deseada en el eje que se esté trabajando. El código generado para el Arduino Mega, se muestra en el Apéndice A.

Debido a la presintonización del controlador PID aplicando la metodología propuesta por el segundo método de Ziegler-Nichols, se consideraron los siguientes valores de las ganancias:

Estos valores se implementaron en el controlador PID en la herramienta Simulink-Matlab™ y junto con la tarjeta Arduino mega 2560, se obtuvo la respuesta del sistema en lazo cerrado, la cual se muestra en la Figura 6.

Figura 6
Salida del Sistema en lazo cerrado con el controlador PID.

Como se observa en la Figura 6, el experimento consistió en cambiar el valor del ángulo de posición inicial del motor de hasta un valor final de , obteniéndose una respuesta muy rápida en el seguimiento de la señal de referencia, lográndose en un tiempo de 0.172 segundos. El error relativo se calcula mediante el cociente entre el error absoluto de la posición deseada y la posición real que es de 2.3 grados y la posición real que es de 360 grados, obteniéndose un error relativo porcentual del 0.63%. Otro experimento consistió en introducir una perturbación al sistema que está en estado estable.

Figura 7
Introducción de una perturbación al sistema.

En la Figura 7, se observa que el controlador tuvo una perturbación de , saliendo de su posición estable, y debido a esto, el controlador hizo la corrección en dos etapas, lográndose el estado estable.

Una vez que se prueba el controlador PID en un solo servomotor, este se replica dos veces para obtener la plataforma de control completa para el CNC, pudiéndose controlar los ejes en forma simultánea. También fue necesario desarrollar un generador de trayectorias y llevar a cabo la cinemática del plotter CNC, como se muestra en la Figura 8.

La primera etapa para el seguimiento de trayectoria en los ejes y la prueba de los controladores, corresponde a un planificador de trayectoria; con este, se obtienen las coordenadas provenientes de la ecuación paramétrica de una circunferencia:

Siendo el centro y el ángulo del punto expresado en radianes.

La cinemática inversa busca encontrar los valores que tienen que tomar las articulaciones de un robot para que su elemento final se encuentre en una posición y orientación dada.

Debido a que la configuración del plotter CNC es cartesiana, está, no presenta alto grado de complejidad para determinar la cinemática inversa, simplemente es necesario saber cuáles son las coordenadas en el plano cartesiano en las cuales se encuentra ubicado el objeto y con estos valores se determina que distancia se debe desplazar cada uno de los eslabones. Esto es,

Donde es la relación entre el desplazamiento angular y lineal.

La cinemática directa se encarga de determinar la posición del elemento final con respecto al sistema de referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos del robot. De la misma forma, dado que la configuración del robot es cartesiana,

Figura 8:
Diagrama a bloques para el seguimiento de una trayectoria en los ejes XY.

Para probar el seguimiento de una trayectoria en la plataforma, se genera un círculo introduciendo como condiciones iniciales el valor del radio de 45 y los valores (50,50) del centro y se hace un cambio brusco a un radio menor de 35, manteniendo el centro constante, resultando la trayectoria que se muestra en la Figura 9.

Figura 9
Trayectoria XY deseada.

Una vez que se activa el controlador para que siga la trayectoria, en la Figura 10, se puede visualizar que cuando se realiza un cambio brusco, el ajuste de la trayectoria es más lenta, este comportamiento ya se había observado cuando se introdujo una perturbación en el controlador, pero finalmente se logra el seguimiento adecuado de la trayectoria, como se muestra en la Figura 10.

Figura 10
Trayectoria XY real.

En la Figura 11, se muestra la implementación final de la plataforma y el resultado obtenido del fresado del seguimiento de trayectoria para cambio del radio de una circunferencia.

Una de las ventajas del sistema propuesto es que permite ir validando de forma iterativa la aplicación de métodos de sintonización más robustos que vayan dando mejores desempeños, fortaleza de la plataforma en la que pueden probarse rápidamente, sin la necesidad de un proceso de programación. De esta manera, se logran obtener mejores resultados, Figura 12, bajo la misma condición de prueba anterior.

Figura 11
Plotter CNC con el control de servomotor implementado.

Figura 12
Otras trayectorias XY reales mejorando el tiempo de respuesta.