1. Introducción

A través de los tiempos las propiedades de los triángulos han llamado la atención de una gran cantidad de matemáticos, una de estas propiedades interesantes es la de un triángulo cuyas longitudes de los lados y el área del mismo son números racionales.

La teoría matemática relacionada con los triángulos racionales es muy amplia y enriquecedora, su desarrollo gira en torno a la búsqueda de triángulos con cada vez más parámetros que cumplan determinadas restricciones, ya sea que las longitudes de dichos parámetros sean números racionales, o se exija que sean números enteros; y que, además, las áreas sean enteros o racionales. Teoría que también se generaliza a otras figuras geométricas y en otras dimensiones.

Cuando se restringen los valores de las longitudes de los lados del triángulo y su área a números enteros y, además, se estudia la igualdad de la multiplicidad del área y el perímetro, aparece el concepto de triángulo perfecto. No es sorprendente que los triángulos rectángulos tengan un papel importante en la génesis del estudio de estas propiedades. También es natural preguntarse si existen triángulos no rectángulos con esa s características.

2. Metodología

Motivados por los estudios de los matemáticos griegos, los triángulos racionales ocupan un espacio importante en el campo de la investigación matemática. Restringiendo el campo de estudio a los números enteros positivos, aparece el concepto de triángulos enteros y adicionando restricciones se llega al de triángulo perfecto.

Se definen los conceptos de triángulo de Herón, triángulo entero, triángulo pitagórico, triángulo pitagórico primitivo y triángulo perfecto.

Se prueba la fórmula de Herón, se demuestra que todo triángulo entero tiene perímetro par.

Posteriormente, se demuestra que todo triángulo pitagórico es entero y que cualquier triángulo entero isósceles se divide por la altura de la base en dos triángulos pitagóricos congruentes.

Se prueba que sólo existe un triángulo perfecto cuyo perímetro es numéricamente igual al doble de su área.

Para validar los resultados, se presentan ejemplos en los casos más importantes.

3. Historia

Herón de Alejandría (aproximadamente 10 d. C. -75 d.C.) encontró una fórmula extraordinaria para el área de un triángulo en términos del perímetro del triángulo y la longitud de los lados del triángulo; la cual nos lleva a una ecuación diofántica. Brahmagupta (598-670) encuentra una solución paramétrica que le permite generar una familia infinita de triángulos racionales. Euler (1707-1783) encontró el conjunto completo de soluciones paramétricas para triángulos racionales y Carmichael (1879-1967) exhibe una versión paramétrica más eficiente (Dickson, 1971).

Las soluciones paramétricas nos brindan infinitos triángulos racionales de forma sencilla; estos trabajos iniciales sientan las bases para cultivar resultados similares agregando nuevas restricciones al problema original.

Inmerso en esta bella teoría, se encuentra el problema abierto: ¿Existe un triángulo con aristas, medianas y área entera? (Guy, 2003). Varios autores definen “triángulo perfecto” como un triángulo con estos siete parámetros racionales; sin embargo, en este artículo generalizamos la definición de triángulo perfecto dada por R. R. Phelps (1926-2013) en 1955 y exhibimos los resultados obtenidos por W. A. Whitworth (1840-1905), D. Biddle (1885-1940) y N. J. Fine (1916-1994) (Dickson, 1971).

4. Triángulo racional

Definición 1: Un triángulo con lados de longitud racional y área racional se llama triángulo racional o triángulo de Herón (Dickson, 1971).

Propiedad 1: Fórmula de Herón (Caminha, A. 2018)

Si el triángulo ABC tiene lados de longitudes a, b, c y semiperímetro s , entonces el

área del Δ ABC es

Demostración: Considérese el triángulo de la figura siguiente:

Del lado derecho de la igualdad anterior se tiene que:

Quedando demostrada la fórmula de Herón.

Observación 1: En la búsqueda de triángulos racionales se obtiene la ecuación

on las longitudes de los lados de un triángulo oblicuo cuyas alturas y área son racionales,

el cual está formado por la yuxtaposición de dos triángulos rectángulos con cateto común

a . Este resultado fue descubierto por Brahmagupta (Dickson, 1971).

Supóngase que el perímetro es un número impar.

Entonces, los cuatro factores en el lado derecho de (1)

son números impares y por lo

tanto, su producto también es un número impar; lo cual es una contradicción ya que el lado izquierdo es un múltiplo de 2.

Por lo tanto, el perímetro del Δ ABC es par.

Definición 3: Un triángulo pitagórico es un triángulo rectángulo con lados de longitud entera. Un triángulo pitagórico donde las longitudes de sus lados son números primos relativos se conoce como triángulo pitagórico primitivo (Ore, 2016).

Propiedad 6: Cualquier triángulo pitagórico es un triángulo entero.

Demostración: Sea Δ ABC un triángulo pitagórico.

Si Δ ABC es un triángulo pitagórico no primitivo, entonces por lo menos un cateto es par y por lo tanto, el área es un número entero.

Así, en ambos casos, Δ ABC es un triángulo entero.

Propiedad 7: Cualquier triángulo entero isósceles se divide por la altura de la base en dos triángulos pitagóricos congruentes.

Luego, de la fórmula de Herón se tiene que:

Así, se tiene que los Δ ABD y Δ CBD son triángulos pitagóricos congruentes.

Observación 3: No existen triángulos pitagóricos isósceles.

Propiedad 8: Si los lados de un triángulo entero tienen un factor común k , entonces el área es divisible por k ² ; es decir, el triángulo reducido por el factor k también es entero.

Demostración: Sin pérdida de generalidad supóngase que k es primo y considérese

el triángulo entero cuyas longitudes de los lados son ka, kb, kc .

Luego, de la fórmula de Herón se tiene:

6. Triángulo perfecto

Esta sección se dedica a responder interrogantes como: ¿Existen triángulos enteros cuyo perímetro es numéricamente igual a su área?, ¿Existen triángulos enteros cuyo perímetro es numéricamente igual a un múltiplo de su área?

Definición 4: Un triángulo entero cuyo perímetro es numéricamente un múltiplo de su área es un triángulo perfecto.

Respondiendo a la primera interrogante, William Allen Whitworth y Annie Dale Biddle probaron, en 1904, que los únicos triángulos perfectos cuyo perímetro es numéricamente igual a su área son los siguientes (Dickson, 1971):

Es natural preguntarse en este momento: ¿Existen triángulos enteros cuyo perímetro es numéricamente igual al doble de su área?

En 1956, Nathan Jacob Fine probó que sólo existe un triángulo perfecto cuyo

perímetro es numéricamente igual al doble de su área (Subbarao, 1971).

Propiedad 9: Sólo existe un triángulo perfecto cuyo perímetro es numéricamente igual al doble de su área.

Demostración: Sea (a, b, c) el triángulo perfecto buscado.

7. Conclusiones

Con lo desarrollado y demostrado en este artículo, se puede concluir:

. La fórmula de Herón juega un papel fundamental en la solución de los problemas relacionados a los triángulos racionales, enteros y perfectos.

.Todo triángulo pitagórico es un triángulo entero.

. Existen únicamente cinco triángulos perfectos cuyo perímetro es numéricamente igual a su área.

. Sólo existe un triángulo perfecto cuyo perímetro es numéricamente igual al doble de su área, el cual resulta ser pitagórico primitivo.

. Sólo existen tres triángulos perfectos pitagóricos, de los cuales dos son primitivos.

Referencias bibliográficas

Dickson, L. E. (1971). History of the Theory of Numbers. Volume II. Chelsea Publishing Company, New York.

Caminha, A. (2018). An Excursion Through Elementary Mathematics, Volume II- Euclidean Geometry- Springer Verlag, New York.

Carmichael, R.D. (2008). Diophantine Analysis (1915). Kessinger Publishing, LLC. Montana. Ore, O. (2016). Invitation to Number Theory (2ª ed.). The Mathematical Association of

Ore, O. (2016). Invitation to Number Theory (2ª ed.). The Mathematical Association of America.

Guy, R. K. (2003). Unsolved Problems in Number Theory (3ª ed.). Springer Verlag.

Subbarao, M. V. (1971). Perfect Triangles. The American Mathematical Monthly, 78(4), 384- 385. https://doi.org/10.1080/00029890.1971.11992768