Resumen: El objetivo de este artículo es estudiar una clase especial de operadores en espacios de Hilbert, los cuales llamaremos Operadores Fuertes de Fredholm, y demostrar un resultado que nos permita construir estos operadores, el cual se fundamenta en la bien conocida alternativa de Fredholm para el caso de sistemas de ecuaciones lineales.
Palabras clave: Operadores lineales acotados, alternativa de Fredholm, espacios de Hilbert, operadores fuertes de Fredholm.
Abstract: The objective of this paper is to study a special class of operators in Hilbert spaces, which we will call Fredholm Strong Operators, and to show a result that allows us to construct these operators, which is based on the well-known Fredholm alternative for the case of systems of linear equations.
Keywords: Bounded linear operators, Fredholm alternative, Hilbert spaces, Fredholm strong operators.
Operadores Fuertes de Fredholm
Fredholm Strong Operators
Recepción: 16 Agosto 2018
Aprobación: 15 Octubre 2018
Una manera interesante de visualizar los operadores compactos es mostrar que el conjunto de los operadores compactos es la clausura del conjunto de los operadores lineales de rango finito con la norma fuerte de los operadores. Una propiedad de los operadores de rango finito que no se generaliza bajo este análisis es el teorema del algebra lineal que dice que si
es un operador lineal, entonces
Este problema nos lleva a estudiar los operadores de Fredholm y los operadores fuertes de Fredholm.
Iniciaremos este artículo con la presentación de algunos resultados fundamentales de los operadores lineales acotados en espacios de Hilbert y la definición del índice de un operador, necesarios para probar ciertas propiedades de los operadores de
Fredholm. Posteriormente se definen los operadores fuertes de Fredholm y se muestran algunos ejemplos de operadores fuertes de Fredholm. Por último, se prueba un resultado que permite construir operadores fuertes de Fredholm, a partir de un isomorfismo y un operador lineal acotado de rango finito.
Sean
espacios de Hilbert y
un operador lineal acotado. El operador adjunto de Hilbert (o simplemente operador adjunto)
de 𝑇 se define por la propiedad
Para todo
(Kubrusly, 2000), (Fernández, 2015).
es un operador lineal acotado que satisface las siguientes propiedades:
Además
Sean
espacios de Hilbert y
un operador lineal acotado de rango finito. Entonces el operador adjunto
es un operador de rango finito y
Demostración:
Consideremos una base ortonormal
para
entonces
para todo
Luego
se tiene que
por lo tanto
para todo
Esto implica que
es un operador lineal acotado de rango finito y
Finalmente, como
es de rango finito, se tiene que
por lo tanto
Sean
El operador
se dice de índice finito, si dim(𝑁(𝑇)) < ∞, 𝑐𝑜𝑑𝑖𝑚(𝑇(𝑋)) < ∞ (Fabian, 2001).
Sean 𝑋, Y espacios normados sobre 𝐾 y 𝑇: 𝑋 → 𝑌 un operador lineal acotado. 𝑇 es un operador de Fredholm si 𝑇(𝑋) es un subespacio cerrado de 𝑌 y dim(𝑁(𝑇)) < ∞, 𝑐𝑜𝑑𝑖𝑚(𝑇(𝑋)) < ∞; es decir, si 𝑇(𝑋) es cerrado y 𝑖𝑛𝑑(𝑇) < ∞.
Sean
espacios de Banach y
un operador lineal acotado tal que
Entonces 𝑇 es un operador de Fredholm; o sea, 𝑇(𝑋) es un subespacio cerrado de 𝑌
(Giles, 2000), (Ramm, 2001).
Sean
espacios de Banach. Si
es un operador de Fredholm y
es un operador compacto. Entonces 𝑇 + 𝐿 es un operador de Fredholm (Saxe, 2000).
Sean
espacios de Hilbert,
un operador lineal biyectivo y
un operador compacto. Entonces 𝑇 + 𝐿 es un operador de Fredholm.
Sean
espacios de Hilbert,
un operador lineal acotado.
𝑇 es un operador de Fredholm, si y sólo si, existen operadores lineales acotados
y operadores compactos
tales que:
Sean
espacios de Hilbert de dimensión finita y
un operador de Fredholm. Entonces por el teorema de las dimensiones, se tiene que:
Por lo tanto,
Sean
espacios de Hilbert y
un operador lineal acotado. 𝑇 es un operador de Fredholm si y sólo si existe un operador lineal acotado
son operadores de rango finito.
Sean
Sean
espacios de Hilbert y
un operador lineal acotado. 𝑇 es un operador fuerte de Fredholm si
es cerrado en
Observación:
Sean
espacios de Hilbert y
un operador fuerte de Fredholm. Como
y
(Kesavan, 2009), (Fernández, 2015).
Luego por el teorema 2.4,
es un subespacio cerrado de
es un operador de Fredholm. Además
lo que implica que
De lo anterior se tiene que 𝑇 es un operador de Fredholm y
es un operador fuerte de Fredholm.
Sean 𝐻 un espacio de Hilbert de dimensión finita y
un operador lineal. Por la observación anterior y por el teorema de las dimensiones se tiene que
y y
son operadores fuertes de Fredholm.
Sea 𝐻 un espacio de Hilbert y
un isomorfismo, entonces
es un isomorfirmo y
∗ (Schechter, 2002). Luego
es cerrado y
Por lo tanto 𝑖𝑛𝑑(𝑇) = 0 y 𝑇 es un operador fuerte de Fredholm.
Sea 𝐻 un espacio de Hilbert de dimensión finita y
un operador lineal, entonces 𝑖𝑛𝑑(𝑇) = 0 (Galaz, 2006). Y como
se tiene que
es cerrado en 𝐻 y 𝑇 es un operador fuerte de Fredholm.
Consideremos el operador linea
definida por
Note que 𝑇 es un operador lineal acotado biyectivo. Por lo tanto,
En el siguiente teorema presentaremos un resultado que nos permite construir operadores fuertes de Fredholm.
Sean 𝐻 un espacio de Hilbert, 𝐿: 𝐻 → 𝐻 un isomorfismo y 𝐹: 𝐻 → 𝐻 un operador lineal acotado de rango finito. Entonces el operador 𝑇: = 𝐿 + 𝐹 es un operador fuerte de Fredholm.
Demostración:
𝐹 es un operador compacto (Galaz, 2006), y por el ejemplo 3.2, 𝐿 es un operador fuerte de Fredholm. Luego por el teorema 2.5, 𝑇: = 𝐿 + 𝐹 es un operador de Fredholm. Por lo tanto 𝑇(𝐻) es un subespacio cerrado de 𝐻 y
Por otro lado, por el teorema 2.1,
es un operador lineal acotado de rango finito. Además
es un isomorfismo y
Esto implica que
es un operador de Fredholm. Así pues
es un subespacio cerrado de 𝐻 y
Consideremos ahora la ecuación
note que
es equivalente a la ecuación (1), (Takessaki, 2002). Además, note que 𝑆 es un operador lineal acotado de rango finito y
También tenemos que
y
Consideremos ahora la ecuación
donde, por el teorema 2.1,
es un operador lineal acotado de rango finito y
Similar al caso anterior, se tiene que
Hemos probado que la ecuación (1) es equivalente a la ecuación (2); o sea, equivalente a la ecuación
es decir que la ecuación (1) es equivalente a la ecuación
De igual manera la ecuación (3) es equivalente a la ecuación
Consideremos el sistema de ecuaciones
o sea
Sean
luego el sistema de ecuaciones (7) se puede escribir de la siguiente forma
donde
es la matriz asociada al sistema (8)
Probemos que la ecuación (5) [o ecuación (2)] es equivalente al sistema de ecuaciones
(7) [o sistema de ecuaciones (8)].
Por la forma como se construyó el sistema (7), es claro que cada solución de la ecuación
(5) [o ecuación (2)] genera una solución del sistema de ecuaciones (7); a saber,
donde 𝑤 es la solución de (5). Probemos que toda solución del sistema (7) genera una solución de la ecuación (5). En efecto, sea
una solución del sistema de ecuaciones (7) y definamos
Entonces
o sea
lo que implica que 𝑤 es una solución de la ecuación (2) [o de la ecuación (5)]. Así, la ecuación (2) es equivalente al sistema de ecuaciones (8).
Es fácil probar que si
son 𝑘 soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada a la ecuación (2), entonces las correspondientes 𝑘 soluciones
del sistema homogéneo asociado al sistema (7) son también linealmente independientes, y viceversa.
De igual manera se prueba que la ecuación (6) es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones:
Tomando
se tiene que la ecuación (6) [y por lo tanto la ecuación (3)] es equivalente al sistema de ecuaciones
es la matriz asociada al sistema (9). Note que
Luego los sistemas de ecuaciones lineales (8) y (9) satisfacen la bien conocida Alternativa de Fredholm para el caso de sistema de ecuaciones lineales.
Así pues, como el sistema de ecuaciones lineales (8) es equivalente a la ecuación (2) y el sistema de ecuaciones lineales (9) es equivalente a la ecuación (4), se tiene que
por lo tanto
Se ha probado así que 𝑇 es un operador fuerte de Fredholm.
