1. Introducción

Una manera interesante de visualizar los operadores compactos es mostrar que el conjunto de los operadores compactos es la clausura del conjunto de los operadores lineales de rango finito con la norma fuerte de los operadores. Una propiedad de los operadores de rango finito que no se generaliza bajo este análisis es el teorema del algebra lineal que dice que si

es un operador lineal, entonces

Este problema nos lleva a estudiar los operadores de Fredholm y los operadores fuertes de Fredholm.

Iniciaremos este artículo con la presentación de algunos resultados fundamentales de los operadores lineales acotados en espacios de Hilbert y la definición del índice de un operador, necesarios para probar ciertas propiedades de los operadores de

Fredholm. Posteriormente se definen los operadores fuertes de Fredholm y se muestran algunos ejemplos de operadores fuertes de Fredholm. Por último, se prueba un resultado que permite construir operadores fuertes de Fredholm, a partir de un isomorfismo y un operador lineal acotado de rango finito.

2. Resultados fundamentales de los operadores lineales acotados en espacios de Hilbert

Sean

espacios de Hilbert y

un operador lineal acotado. El operador adjunto de Hilbert (o simplemente operador adjunto)

de 𝑇 se define por la propiedad

Para todo

(Kubrusly, 2000), (Fernández, 2015).

es un operador lineal acotado que satisface las siguientes propiedades:

Además

Teorema 2.1:

Sean

espacios de Hilbert y

un operador lineal acotado de rango finito. Entonces el operador adjunto

es un operador de rango finito y

Demostración:

Consideremos una base ortonormal

para

entonces

para todo

Luego

se tiene que

por lo tanto

para todo

Esto implica que

es un operador lineal acotado de rango finito y

Finalmente, como

es de rango finito, se tiene que

por lo tanto

Definición 2.2:

Sean

El operador

se dice de índice finito, si dim(𝑁(𝑇)) < ∞, 𝑐𝑜𝑑𝑖𝑚(𝑇(𝑋)) < ∞ (Fabian, 2001).

Definición 2.3:

Sean 𝑋, Y espacios normados sobre 𝐾 y 𝑇: 𝑋 → 𝑌 un operador lineal acotado. 𝑇 es un operador de Fredholm si 𝑇(𝑋) es un subespacio cerrado de 𝑌 y dim(𝑁(𝑇)) < ∞, 𝑐𝑜𝑑𝑖𝑚(𝑇(𝑋)) < ∞; es decir, si 𝑇(𝑋) es cerrado y 𝑖𝑛𝑑(𝑇) < ∞.

Teorema 2.4:

Sean

espacios de Banach y

un operador lineal acotado tal que

Entonces 𝑇 es un operador de Fredholm; o sea, 𝑇(𝑋) es un subespacio cerrado de 𝑌

(Giles, 2000), (Ramm, 2001).

Teorema 2.5:

Sean

espacios de Banach. Si

es un operador de Fredholm y

es un operador compacto. Entonces 𝑇 + 𝐿 es un operador de Fredholm (Saxe, 2000).

Teorema 2.6:

Sean

espacios de Hilbert,

un operador lineal biyectivo y

un operador compacto. Entonces 𝑇 + 𝐿 es un operador de Fredholm.

Teorema 2.7:

Sean

espacios de Hilbert,

un operador lineal acotado.

𝑇 es un operador de Fredholm, si y sólo si, existen operadores lineales acotados

y operadores compactos

tales que:

Ejemplo 2.8:

Sean

espacios de Hilbert de dimensión finita y

un operador de Fredholm. Entonces por el teorema de las dimensiones, se tiene que:

Por lo tanto,

Teorema 2.9:

Sean

espacios de Hilbert y

un operador lineal acotado. 𝑇 es un operador de Fredholm si y sólo si existe un operador lineal acotado

son operadores de rango finito.

3. Operadores fuertes de Fredholm

Sean

Definición 3.1:

Sean

espacios de Hilbert y

un operador lineal acotado. 𝑇 es un operador fuerte de Fredholm si

es cerrado en

Observación:

Sean

espacios de Hilbert y

un operador fuerte de Fredholm. Como

y

(Kesavan, 2009), (Fernández, 2015).

Luego por el teorema 2.4,

es un subespacio cerrado de

es un operador de Fredholm. Además

lo que implica que

De lo anterior se tiene que 𝑇 es un operador de Fredholm y

es un operador fuerte de Fredholm.

Ejemplo 3.2:

Sean 𝐻 un espacio de Hilbert de dimensión finita y

un operador lineal. Por la observación anterior y por el teorema de las dimensiones se tiene que

y y

son operadores fuertes de Fredholm.

Ejemplo 3.3:

Sea 𝐻 un espacio de Hilbert y

un isomorfismo, entonces

es un isomorfirmo y

∗ (Schechter, 2002). Luego

es cerrado y

Por lo tanto 𝑖𝑛𝑑(𝑇) = 0 y 𝑇 es un operador fuerte de Fredholm.

Ejemplo 3.4:

Sea 𝐻 un espacio de Hilbert de dimensión finita y

un operador lineal, entonces 𝑖𝑛𝑑(𝑇) = 0 (Galaz, 2006). Y como

se tiene que

es cerrado en 𝐻 y 𝑇 es un operador fuerte de Fredholm.

Ejemplo 3.5:

Consideremos el operador linea

definida por

Note que 𝑇 es un operador lineal acotado biyectivo. Por lo tanto,

4. Construcción de un operador fuerte de Fredholm

En el siguiente teorema presentaremos un resultado que nos permite construir operadores fuertes de Fredholm.

Teorema 4.1

Sean 𝐻 un espacio de Hilbert, 𝐿: 𝐻 → 𝐻 un isomorfismo y 𝐹: 𝐻 → 𝐻 un operador lineal acotado de rango finito. Entonces el operador 𝑇: = 𝐿 + 𝐹 es un operador fuerte de Fredholm.

Demostración:

𝐹 es un operador compacto (Galaz, 2006), y por el ejemplo 3.2, 𝐿 es un operador fuerte de Fredholm. Luego por el teorema 2.5, 𝑇: = 𝐿 + 𝐹 es un operador de Fredholm. Por lo tanto 𝑇(𝐻) es un subespacio cerrado de 𝐻 y

Por otro lado, por el teorema 2.1,

es un operador lineal acotado de rango finito. Además

es un isomorfismo y

Esto implica que

es un operador de Fredholm. Así pues

es un subespacio cerrado de 𝐻 y

Consideremos ahora la ecuación

note que

es equivalente a la ecuación (1), (Takessaki, 2002). Además, note que 𝑆 es un operador lineal acotado de rango finito y

También tenemos que

y

(Takessaki, 2002)

Consideremos ahora la ecuación

donde, por el teorema 2.1,

es un operador lineal acotado de rango finito y

Similar al caso anterior, se tiene que

Hemos probado que la ecuación (1) es equivalente a la ecuación (2); o sea, equivalente a la ecuación

es decir que la ecuación (1) es equivalente a la ecuación

De igual manera la ecuación (3) es equivalente a la ecuación

Consideremos el sistema de ecuaciones

o sea

Sean

luego el sistema de ecuaciones (7) se puede escribir de la siguiente forma

donde

es la matriz asociada al sistema (8)

Probemos que la ecuación (5) [o ecuación (2)] es equivalente al sistema de ecuaciones

(7) [o sistema de ecuaciones (8)].

Por la forma como se construyó el sistema (7), es claro que cada solución de la ecuación

(5) [o ecuación (2)] genera una solución del sistema de ecuaciones (7); a saber,

donde 𝑤 es la solución de (5). Probemos que toda solución del sistema (7) genera una solución de la ecuación (5). En efecto, sea

una solución del sistema de ecuaciones (7) y definamos

Entonces

o sea

lo que implica que 𝑤 es una solución de la ecuación (2) [o de la ecuación (5)]. Así, la ecuación (2) es equivalente al sistema de ecuaciones (8).

Es fácil probar que si

son 𝑘 soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada a la ecuación (2), entonces las correspondientes 𝑘 soluciones

del sistema homogéneo asociado al sistema (7) son también linealmente independientes, y viceversa.

De igual manera se prueba que la ecuación (6) es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones:

Tomando

se tiene que la ecuación (6) [y por lo tanto la ecuación (3)] es equivalente al sistema de ecuaciones

es la matriz asociada al sistema (9). Note que

Luego los sistemas de ecuaciones lineales (8) y (9) satisfacen la bien conocida Alternativa de Fredholm para el caso de sistema de ecuaciones lineales.

Así pues, como el sistema de ecuaciones lineales (8) es equivalente a la ecuación (2) y el sistema de ecuaciones lineales (9) es equivalente a la ecuación (4), se tiene que

por lo tanto

Se ha probado así que 𝑇 es un operador fuerte de Fredholm.

Referencias Bibliográficas

Fabian, M. (2001). Functional analysis and infinite-dimensional geometry. New York: Springer-Verlag.

Fernández, C. (2015). Introducción a los espacios de Hilbert, operadores y espectros. Madrid: Editorial UNED.

Galaz, F. (2006). Elementos de análisis funcional. CIMAT: México

Giles, J. (2000). Introduction to the analysis of normed linear spaces. Cambridge: Cambridge University Press.

Kesavan, S. (2009). Functional analysis. Hindustan: Institute of Mathematical Science Chennai Press.

Kubrusly, C. S. (2000). Elements of operator theory. Cambridge: Birkhäuser,

Ramm, A.G. (2001). A simple proof of the Fredholm alternative and a characterization of the Fredholm operators. Amer. Math. Monthly 108, 855-860.

Saxe, K. (2000). Beginning functional analysis. New York: Springer-Verla

Schechter, M. (2002). Principles of functional analysis. Providence, R.I: AMS Press

Takesaki, M. (2002). Theory of operator algebras I. New York: Springer-Verlag.

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