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20062023
02112023
Eric Hidalgo G. eric.hidalgo@up.ac.pa
Universidad de Panamá,, Panamá
Ángela J. Franco. angela.franco@up.ac.pa
Universidad de Panamá, Panamá
Resumen:
Desde los cursos de cálculo diferencial se sabe que una función continua no necesita ser diferenciable; sin embargo, se tiene la idea errónea que una función continua tiene que ser diferenciable en muchos puntos. Con la idea de corregir este error, en el presente artículo se construye un ejemplo de una función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ que es continua y no diferenciable en todo punto . de ℝ. También se prueba que el conjunto de puntos de continuidad de la derivada de una función diferenciable es enumerable. Además, se presenta un ejemplo de una función diferenciable cuyo conjunto de discontinuidad de la derivada es denso.
Palabras clave: Convergencia puntual,convergencia uniforme,conjunto de continuidad,no diferenciable en todo punto,conjunto denso.
Abstract: From differential calculus courses it is known that a continuous function need not be differentiable; however, there is a mistaken idea that a continuous function must be differentiable at many points. With the idea of correcting this misconception, in this paper an example of a function 𝑓: ℝ ⟶ ℝ that is continuous and nowhere differentiable in ℝ is constructed. It is also proved that the set of point where the derivate of a differentiable function is continuous is enumerable. Furthermore, an example of a differentiable function whose set of discontinuity of the derivate is dense.
Keywords: Pointwise convergence, uniform convergence, set of continuity, nowhere diffentiable, dense set.
FUNCIONES CONTINUAS Y NO DIFERENCIABLES EN TODO PUNTO
CONTINUOUS NOWHERE DIFFERENTIABLE FUNCTIONS
Eric Hidalgo G. eric.hidalgo@up.ac.pa
Ángela J. Franco. angela.franco@up.ac.pa
Recepción: 20 Junio 2023
Aprobación: 02 Noviembre 2023
Después del descubrimiento del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton (1642- 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), los matemáticos de la época comúnmente creían que las funciones continuas poseían derivada en una cantidad significativa de puntos. Esta creencia fue fortalecida por una “demostración” de este hecho presentada por el físico matemático francés André - Marie Ampére (1775-1836), en su artículo de 1806 titulado “Recherches sur quelques points de la theórie des functions derivées qui corduisenta une nouvelle demonstration de la serie de Taylor”. En una demostración típica de su época, el argumento de Ampere no fue escrito en una forma rigurosa como se exige hoy en día. (Dunham, 2018;Edward, 1994).
Probablemente el primer ejemplo de una función continua y no diferenciable en todo punto de un intervalo fue presentado por el matemático checo Bernard Bolzano (1781- 1848) alrededor de los años 1830, pero no fue publicado hasta un siglo después.
En 1872 el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) presentó a la academia de ciencias de Berlín un ejemplo de una función continua que no es diferenciable en todo punto de ℝ, el cual tuvo un gran impacto en el crecimiento del rigor de las demostraciones matemáticas, introducido a finales del siglo XIX y en el siglo XX. Estos tipos de funciones fueron bautizadas con el nombre de monstruos de Weierstrass (W-monstruo) por el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912). (Ciesielski, 2022; Ciesielski, 2018; Jarnicki, 2015).
Motivado por el impacto que han tenido este tipo de funciones (W-monstruos) en la matemática, en este artículo se construye una función continua y no diferenciable en todo punto de ℝ. Por otro lado, se prueba que el conjunto de continuidades de la derivada de una función diferenciable es denso y no enumerable, a pesar de que el conjunto de discontinuidades también puede ser denso.
En esta sección se presentan algunas definiciones y conceptos que aparecen en el desarrollo del artículo; sin embargo, para evitar que la discusión sea muy larga, sólo se presentarán los conceptos más trascendentes para la compresión y desarrollo de los temas expuestos. (Folland, 2007; Gordon, 2001).
Los estudiantes que han completado los cursos de cálculo diferencial e integral al igual que los matemáticos del siglo XIII no están conscientes del hecho contraintuitivo que, una función continua puede ser no diferenciable en todo punto x 𝜖 ℝ . En esta sección se construye una función continua y no diferenciable en todo punto x 𝜖ℝ .
En efecto, sean , a b números reales positivos. Para cada número entero no negativo ndefina la funció fn:ℝ⎯⎯→ ℝ por
Note que
fn es continua en ℝ y
no existe para todo x𝜖ℝ . Así, la función W es no diferenciable en todo punto X0 𝜖 ℝ.Los resultados obtenidos se resumen en el siguiente teorema debido a Weierstrass.
donde 0 <a <1 y ab ≥1 son continuas y no diferenciables en todo punto 𝑥𝜖ℝ .
En la sección anterior se presentó un ejemplo de una función continua y no diferenciable en todo punto 𝑥𝜖 ℝ. Ahora la pregunta es ¿qué tan discontinua puedeser la derivada de una función diferenciable?; más precisamente, ¿existe una funcióndiferenciable cuya derivada sea discontinua en todo punto de su dominio? La respuestaa esta pregunta se presenta en el siguiente teorema.
Por lo tanto,
es una sucesión de funciones continuas que converge puntualmente a f en I . Luego por el Teorema 3, el conjunto Cf ' es denso en I .En el teorema anterior se probó que el conjunto de continuidades de la derivada de una función diferenciable es denso. En el siguiente ejemplo se construye una función diferenciable cuyo conjunto de discontinuidades de su derivada también es un conjunto denso.
Finalmente, se ha visto que el conjunto de discontinuidades de la derivada de unafunción diferenciable puede ser denso; pero el conjunto de continuidades también tieneque ser denso, lo que implica que este conjunto es no enumerable.
1. De los resultados obtenidos en este artículo, se sugiere la siguiente estrategia paraconstruir funciones continuas y no diferenciables en todo punto de un intervalo I .(Hunt, 1994; Wen, 2000).
2. Se ha probado que el conjunto de discontinuidades de la derivada de una funcióndiferenciable puede ser denso. Sin embargo, se puede usar la teoría de categoríasde Baire para probar que este conjunto es “pequeño” comparado con sucomplemento. (Folland, 2007; Gordon, 2001).
3. Un problema interesante es determinar las condiciones necesarias y suficientes paraque un conjunto E sea el conjunto de discontinuidades de la derivada de una función diferenciable. Para resolver este problema se necesita conocer la teoría de categorías de Baire.
