1. Introducción

Un problema de interés en el estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales que admiten una perturbación externa con recursos acotados, consiste en determinar, o en el mejor de los casos, en estimar los conjuntos de alcanzabilidad D(T). Estos conjuntos describen la región en el espacio de estados a la cual las soluciones pueden acceder en un instante T>0 considerando las diferentes acciones de las perturbaciones admisibles. Algunas propiedades conocidas de tales conjuntos en el caso de sistemas lineales se pueden consultar en (Lee and Markus,1967; Boyd et al., 1994). Uno de los métodos que con mayor frecuencia se emplean en la estimación de los conjuntos de alcanzabilidad, consiste en el empleo de aproximaciones mediante elipsoides, ver Kurzhanski and Valyi (1999). En este contexto, el problema sobre la búsqueda de la mejor estimación es ampliamente estudiado en la literatura, ver por ejemplo los trabajos (Sabin and Summers,1990; Shen and Zhong, 2011; Pitarch et al., 2015). El problema sobre la búsqueda de estimaciones numéricas de los conjuntos de alcanzabilidad de sistemas no lineales se puede consultar en (Kumkov and Zharinov, 2004; Vinnikov, 2015). En el caso particular de la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes y una perturbación externa:

(1)

Donde denota el conjunto de funciones continuas a trozos definidas en , en Chernousko (1988) se analiza la aproximación de la frontera de sus conjuntos de alcanzabilidad D(T) para cada instante T>0 usando el método de elipsoides. Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes y una perturbación externa equivalente a (1):

(2)

Donde representa su solución, de nota el símbolo de transposición, y

Es conocido en la literatura que los conjuntos de alcanzabilidad D(T) de (2) son conjuntos acotados, simétricos y conexos para cada T>0, y que cuando T→ ∞, la frontera del conjunto D(T) tiende a una única trayectoria cerrada C∗; en tal caso, dicha trayectoria corresponde a un ciclo lımite que es orbital y asintóticamente estable que se obtiene de (2) bajo la acción de la peor perturbación externa u∗(t)=δsigny2(t), ver (Zhermolenko, 1980; Aleksandrov et al., 2007; Zhermolenko, 2007,2012).

2. Frontera de los conjuntos de alcanzabilidad

Siguiendo el desarrollo que se presenta en (Formals’kii,1974; Blagodatskikh, 2001; Bugrov and Formals’kii, 2017), se considera de forma alternativa el problema de hallar la frontera de los conjuntos de alcanzabilidad Dz(T) para el sistema de ecuaciones diferenciales equivalente a (2):

(3)

el cual se obtiene de considerar la transformación lineal no singular y=Cz, con

y donde Se sigue como consecuencia que para cada instante T>0:

(4)

Se conoce de (Formals’kii, 1974; Bugrov and Formals’kii,2017) que los conjuntos Dz(T) dependen del instante T>0considerado, que estos poseen dos puntos esquina, y que la frontera de D (∞) no existe si μ=0. Es claro de (4) que estas propiedades son tambien validas para los conjuntos de alcanzabilidad D(T) de (2). De lo anterior, se supone en lo sucesivo que los parámetros de (2) satisfacen la desigualdad 0< μ < ω. Por otra parte, de la misma referencia que se ha citado, se sabe que la frontera del conjunto de alcanzabilidad Dz(T) de (3) definida en un instante T>0, consiste de los puntos z(T) que tienen la propiedad de que la distancia ρ(η) del origen de coordenadas a la recta tangente soporte Π(η) del conjunto ∂Dz(T) en el punto z(T), satisface

Donde η(θ)=(cos(θ),sin(θ)),θ∈[ ̄θ, ̄θ], ver la Figura 1. Aquí [ ̄θ, ̄θ] se elige de tal manera que η es una función periódica. Se sigue que la perturbación externa que da solución al problema de optimización anterior es u∗(T−τ) =δsign[η(θ)eAτb]. Por consiguiente, los puntos z(T) que pertenecen a la frontera del conjunto de al canzabilidad Dz(T), se pueden describir de forma paramétrica por la función vectorial

(5)

Figura 1:
Esquema de construcción del conjunto de accesibilidad Dz(T).

Luego, de acuerdo con la definición de la matriz exponencial de A en (3),

se puede verificar que

Donde

y, por consiguiente, la frontera del conjunto Dz(T) se describe por la función definida por

(6)

Se observa de (6), que h es una función continua en el intervalos y diferenciable a trozos en el mismo intervalo. Los puntos en los cuales h no es diferenciable, son los puntos en los cuales el integrando no está definido, es decir, en los puntos del conjunto que pertenecen al conjunto de rectas

Por tanto, para analizar de forma explıcita la frontera de los conjuntos Da(T), es necesario determinar aquellos puntos en los cuales h no es diferenciable. Como caso particular, se elige el conjunto de rectas`0, `1, `2, definidas en ΩT, y se consideran instantes T>0 que satisfacen las desigualdades (ν−1) π≤θT≤νπ para cada ν ∈IN. De esta manera, se define la sucesion de intervalos:

en los cuales se analiza la función (6) cuando T ∈ Jν para cada ν ∈ IN.

2.1. Construcción inicial

Se supone como primer caso particular queT∈J1. Entonces se puede verificar que en ΩT se hallan definidas lasrectas`0, `1, `2y`3. Por consiguiente, se divide la región rectangular ΩT de tal manera que ΩT= Ω1∪ ··· ∪Ω4, donde Ωk= [θk−1, θk]× [0, T], y

son las abscisas de los puntos de intersección de las rectas`0, `1, `2y`3con las rectas τ=0 yτ=πen el sistema de coordenadas Oθτ. Se observa que los intervalos [θ0, θ1] y [θ2, θ3] se reducen a los puntosθ0yθ2cuando se toma el siguiente limite latera lθT→π−.Considerando los valores del integrando de la función (6) en cada regiónΩk, se obtiene la representación de h:

dondeτ1=(m+32π−θ) /θyτ2=(m+52π−θ) /θ describen las ordenadas de los puntos (θ, τ1) y (θ, τ2) enΩT que pertenecen a las rectas`1y`2. Después de efectuar la integral anterior, se obtiene

(7)

donde las componentesh1yh2son funciones que se definen por tramos, y que se representan por:

Con

Y

Se observa que la función (7) satisface las siguientes igualdades: p−0(T)=h(θ0) =h(θ4) yp+0(T)=h(θ2) para cadaT∈J1, dondep±0: J1→IR2 se definen por

(8)

Lo anterior muestra que [ ̄θ, ̄θ]= [θ0, θ4] define uno de los posibles intervalos donde la función h es periódica. Se observa además que la imagen del intervalo [θ0,θ4] bajo la función h, describe una trayectoria cerrada simple en el sistema de coordenadasOz1z2que es diferenciable a trozos, y que la imagen de los intervalos [θ0,θ1] y [θ2,θ3] bajo h, en los cuales h es constante, son puntos de la formap±0(T) para cadaT∈J1.Resulta que los puntos en los cuales h no es diferenciable, son precisamente los puntos de la formap±0(T) para cadaT∈J1.Por otra parte, de la definición de las componentesh1yh2en (7), se sigue que si se eligen instantesT1,T2>0 tal que0< θT1< θT2< π, entonces ∂Dz(T1)∩∂Dz(T2)=∅y que Dz(T1)⊂Dz(T2).Finalmente, las funcionesp±0satisfacen los siguientes limites laterales:α0=p±0(0+)=(0,0)>, y

Se concluye que para cadaT∈J1, la frontera de los conjuntos de alcanzabilidad D(T) de (2) se describen por la función vectorial ˆh: [θ0, θ4]→IR2definida por

Es claro también que la imagen de [θ0,θ4] bajo ˆh, describe una trayectoria cerrada simple en el sistema de coordenadasOy1y2que es diferenciable a trozos, que la imagen de los intervalos[θ0,θ1] y [θ2,θ3] bajo ˆh, en los cuales ˆh es una función constante, son puntos de la forma C p±0(T) para cadaT∈J1, y que los puntos en los cuales la función ˆh no es diferenciable, son precisamente los puntos de la forma C p±0(T) para cadaT∈J1.Ademas, si se eligen instantesT1,T2>0 que satisfacen la desigualdad 0< θT1< θT2< π, entonces los correspondientes conjuntos ∂D(T1) y∂D(T2) son disjuntos, lo cual se sigue de la relación (4).

2.2. Construcción general

Se extiende la construcción del conjunto de alcanzabilidad de (3), suponiendo ahora que el instante T>0 que define el conjunto alcanzable Dz(T) es tal queT∈Jn+1para algún numero naturaln≥1. En esta situación, se observa que en el conjunto ΩT se hallan definidas las rectas`0, `1, `n+3, lo cual permite representar la región rectangularΩTen el sistema de coordenadas Oθτ, de manera queΩT= Ω1∪···∪Ω4, dondeΩk= [θk−1, kg]× [0, T], y

son las abscisas de los puntos de intersección del conjunto de rectas`0, `2,...,`n+3 con las rectas horizontales τ=0 yτ=(n+1)π. Sobre cada una de las rectas`1, `2,...,`n+2definida enΩT, se eligen puntos de la forma (θ, τj), y se consideran las ordenadas de estos puntos para definir los instantes:

Estos instantes satisfacen las desigualdades

Luego, tomando en consideración el integrando de la función (6) en cada conjuntoΩk, la función h: [θ0,θ4]→IR2quedescribe la frontera de los conjuntos de alcanzabilidad Dz(T)tiene la representación a trozos

donde los correspondientes intervalos de integración se definen a partir de la definición de los instantes τj:

Después de efectuar las integrales correspondientes y realizar las simplificaciones de las expresiones obtenidas, se obtiene La siguiente representación paramétrica de (6):

(9)

donde las componentesh1yh2son funciones escalares definidas por tramos en el intervalo [θ0,θ4] que se representan de la siguiente manera:

Se observa que la función (9) se reduce a la expresión (7) cuando n=0.

Los parámetros θ0,θ2yθ4permiten verificar que la función definida en (9) satisface: p−n(T)=h(θ0)=h(θ4) yp+n(T)=h(θ2), donde las funcionesp±n:Jn+1→IR2se definen por

mientras que los párametrosθ1yθ3se sigue que: q+n(T)=h(θ1) yq−n(T)=h(θ3), donde q±n: Jn+1→IR2son funciones que se definen por

Se observa una vez más que las funciones p±nyq±n coinciden con las funciones p±0 que se definieron en (8) para n=0.Lo anterior muestra que uno de los intervalos donde la función h define una función periódica es precisamente el intervalo[ ̄θ, ̄θ]=[θ0,θ4].Se verifica además que la imagen del intervalo [θ0,θ4] bajo la función h que se define en (9), describe una trayectoria cerrada simple en el sistema de coordenadasOz1z2que es diferenciable a trozos para cadaT∈Jn+1, y que dicha función, es continua en [θ0,θ4] y no diferenciable en los puntos de la forma p±n(T) yq±n(T) para cadaT∈Jn+1.Por otra parte, para cada n∈IN, de la definición de las componentesh1yh2en (9), se sigue que si T1,T2>0 son instantes tales que nπ≤θT1< θT2≤(n+1)π, entonces resulta que ∂Dz(T1)∩∂Dz(T2)=∅yDz(T1)⊂Dz(T2). Además, es claro que Dz(T) es un conjunto acotado para todoT∈Jn+1. En consecuencia, si{Tk}es una sucesión estrictamente creciente de números reales no negativos tales que sus términos satisfacen la desigualdad nπ≤θTk≤(n+1) π, entonces la sucesión de conjuntos alcanzables{Dz(Tk)}es una sucesión de conjuntos monótona creciente y acotada. Se observa también que las funciones p±nyq±n satisfacen los lımites laterales

(10)

(11)

Usando T=(n+1) π/θ. Los resultados que se describen en las secciones 2.1 y 2.2se resumen en el siguiente resultado.

Teorema 1. Si en la ecuación diferencial (2) se eligen los parámetros 0< μ < ω, entonces la frontera del conjunto alcanzable D(T) para T>0, es un conjunto cerrado y acotado cuya frontera se describe por la trayectoria suave a trozos:

Donde se define en (9) y n denota la parte entera de Además, las intersecciones del conjunto ∂D(T) con el eje Oy1 se dan en los puntos ,

es decir,

2.3. Comportamiento asintótico

En este apartado se determina la convergencia de la frontera de los conjuntos de alcanzabilidad D(T) de la ecuación diferencial (2) cuando T→∞. La posibilidad de considerar este límite se debe a la representación de las funciones, para cada T>0 y donde

La definición de las funciones escalaresh1yh2en (9) permite obtener un comportamiento asintótico de los conjuntos de alcanzabilidad Dz(T) cuando T→ ∞ al considerar el límite n→ ∞ en la desigualdad nπ≤θT≤(n+1)π. Este límite describe la frontera del conjunto de alcanzabilidad Dz (∞) de la ecuación diferencial (3). Por tanto, tomando este límite, se obtiene que la función vectorial que describe la frontera del conjunto de alcanzabilidad Dz (∞), es la función vectorial

(12)

Donde

Se puede comprobar que la imagen del intervalo [θ0, θ4] bajo la función h∗ describe una trayectoria cerrada simple en el sistema de coordenadasOz1z2, y que la función h∗ es continua en el intervalo [θ0, θ4] y diferenciable a trozos en dicho intervalo. Más aun, se puede ver que h∗(θ0) =−α∗yh∗(θ2) =α∗, donde±α∗denotan las intersecciones de esta función vectorial con el ejeOz1, y cuyos valores se obtienen del lımite de la sucesión de puntos{±αn} definidos en (10) y (11), es decir,

de donde resulta

(13)

De la definición de la función (12) se puede concluir que el conjunto alcanzable Dz (∞) de la familia de ecuaciones diferenciales (3) es un conjunto cerrado y acotado en el sistema de coordenadasOz1z2. La mayor y menor distancia del origen de coordenadas deOz1z2a las rectas tangentes soporte Π(η)yΠ(−η) del conjunto ∂Dz (∞), se obtiene a partir de las soluciones de la ecuación ρ′(θ)=0, θ∈ [m+π2, m+52π], donde ρ(θ)=η(θ)h∗(θ) yη(θ)=(cos(θ), sin(θ)); es decir, a partir delas soluciones de las ecuaciones

ver Formals’kii (1974).

La observación anterior permite determinar propiedades análogas del conjunto alcanzable D (∞) de la familia de ecuaciones diferenciales (2). Los resultados se resumen en el siguiente resultado.

Teorema 2. Si en la ecuación diferencial (2) se eligen los parámetros 0< μ < ω, entonces el conjunto de alcanzabilidad D (∞) es un conjunto cerrado y acotado, cuya frontera se describe por la trayectoria suave a trozos:

(14)

Donde h∗: [θ0, θ4]→IR2es definida en (12). La intersección del conjunto de alcanzabilidad con el ejeOy1se da en los puntos ±ˆα∗=±Cα∗, es decir,

(15)

Es posible determinar la mayor y menor distancia del origen de coordenadasOy1y2a las rectas tangentes soporte de la frontera del conjunto de alcanzabilidadD (∞) a partir de la solución de la ecuación ˆρ′(θ)=0, θ∈ [m+π2, m+52π], donde ˆρ(θ)=η(θ)ˆh∗(θ).

3. Ciclo lımite máximo

La importancia e interpretación geométrica de los puntos±ˆα∗definidos en (15), así como la trayectoria que describe la función vectorial ˆh∗: [θ0,θ4]→IR2que se define en (14), se debe a que dichos elementos forman parte de la solución del problema de desviación máxima de B. V. Bulgakov, cuya formulación se puede consultar en Elishakoffand Ohsaki (2010).En tal situación, la aplicación del problema de desviación máxima para sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma (2), ha sido analizado exhaustivamente en la literatura, ver por ejemplo los trabajos (Zhermolenko, 1980; Aleksandrov et al., 2007;Zhermolenko, 2007; Aleksandrov et al., 2016). Los resultados se obtienen como un corolario.

Corolario 1. Bajo la composición de la función definida en (14) y las aplicacionesm+32π−θt7→θym+52π−θt7→θcuandot∈ [0, π/θ), se obtiene una trayectoria cerrada que describe un ciclo lımite C∗ de la ecuación diferencial (2) bajo la acción de la perturbación externa u∗(t)=δsigny2(t), y cuyas ecuaciones paramétricas son:

Del corolario 1 se concluye que la frontera del conjunto de alcanzabilidad D (∞) de (2), se obtiene como solución dela ecuación diferencial (2) cuando se considera la perturbación externa u∗(t)=δsigny2(t), es decir, se cumple: D (∞) =C∗. Se observa además que, a diferencia de los conjuntos D(T) de (2)

para cada T>0, el conjunto D(∞) no posee puntos esquina, ver Bugrov and Formals’kii (2017).En el contexto del problema de desviación máxima de Bulgakov, ˆα∗es llamada desviación maximice oscilación de la solución y∗(t)=(y∗1(t),y∗2(t))>respecto al ejeOy1,u∗(t)=δsigny2(t) es llamada peor perturbación externa, yC∗ es llamado ciclo lımite máximo, ver (Zhermolenko, 1980, 2007;Aleksandrov et al., 2007).Se observa que los puntos±ˆα∗definidos en (15) dependen linealmente del parámetro que describe los recursos disponibles del conjunto de perturbaciones externas Uδ; es decir, admiten como factor el parámetro δ >0. Esta propiedad se observa también de la definición de los parámetros (13) y la definición dela función vectorial (12). Lo anterior significa que el diámetro del conjunto alcanzable D (∞) sobre el ejeOy1se puede ajustar si se consideran valores distintos del parámetro δ >0. Esta característica ha sido aprovechada para establecer un criterio de estabilidad robusta en Aleksandrov et al. (2016). En el siguiente ejemplo se ilustra los resultados obtenidos y se muestra un gráfico que se ha obtenido bajo la colección de macros PSTricks.

Ejemplo 1. Como caso particular para la ecuación diferencial (2) se supone que μ=0.2, ω=1.0 yδ=1.0. Para estos valores se obtieneθ≈0.9797, m≈1.3694 yΛ≈0.7256.

Figura 2:
: Conjunto de alcanzabilidad D (∞) =C∗,

conjuntos de alcanzabilidad D(Tk), y trayectorias p±n y q±n donde no son diferenciables las trayectorias que describen las fronteras de los conjuntos de alcanzabilidad D(Tk) del Ejemplo 1.

En la Figura 2 se muestran diferentes conjuntos de alcanzabilidadD(Tk) que se obtienen como imagen de la función ˆh(θ)=Ch(θ), en los cuales se emplean los valores

es decir, T1≈0.6412, T2≈1. 2825, ..., T15=9.6191. En la Figura 1 se muestran también las gráficas de las funcionesp+0yp−0sobre las cuales la función h no es diferenciable, así como las funciones p±n y q±n para n=1,2.De acuerdo con los resultados del corolario 1, se determina la frontera del conjunto de alcanzabilidad D(∞)=C∗, cuyas intersecciones con el ejeOy1se obtienen en los puntos±ˆα∗=±Cα∗, donde ˆα∗≈(3.2249,0)>.Se verifica también que la menor y mayor distancia del origen de coordenadas deOy1y2a las rectas tangentes soporte dela frontera del conjunto de alcanzabilidad D(∞) se da en los valores ̃θ1≈4.0292, ̃θ2≈5.3336, ̃θ3≈7.1708 y ̃θ4≈8.4752, en los cuales se obtienen las distancias ˆρ( ̃θ1)=ˆρ( ̃θ3)≈3.0760 y que ˆρ( ̃θ2)=ˆρ( ̃θ4)≈3.3057.

4. Conclusiones

Se ha determinado de forma explıcita la frontera de los conjuntos de alcanzabilidad D(T) de la ecuación diferencial (2) definidos para cada instante T>0. Se ha mostrado que la función vectorial que describe tales conjuntos, no es diferenciable sobre un conjunto de puntos que pertenecen a trayectorias definidas en el plano. Se ha analizado también el comportamiento de estos conjuntos cuando T→ ∞y, en particular, se ha mostrado que la frontera del conjunto D (∞) coincide con el ciclo límite máximo C∗ que se obtiene como solución del problema de desviación máxima de Bulgakov, de acuerdo con resultados conocidos en la literatura. Los resultados obtenidos se han ilustrado de forma numérica en un ejemplo.

Agradecimientos

Los autores agradecen las observaciones a este trabajo por parte de los revisores, las cuales ayudaron a enriquecerlo.

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