1. Introducción

Motivados por la gran aplicación de los sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos en diversas áreas de las ciencias y la ingeniería, se presenta un estudio sobre el comportamiento a largo plazo, de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales autónomos en el plano

Para este fin, se definirán los conjuntos

a - límite

y w - límite , los cuales

permitirán hacer un estudio cualitativo preciso de los diagramas de fase de los sistemas autónomos.

Para poner en perspectiva el estudio cualitativo de los sistemas autónomos, a continuación, se presenta un resumen de los resultados básicos que ayudarán a lograr los objetivos planteados.

Con el fin de asegurar la existencia y unicidad de soluciones, se considera una función

de clase

y la semi órbita negativa está definida por

periódica (en este trabajo se supondrá que la trayectoria g (x ) consta de más de un punto, o sea que x no es un punto de equilibrio del sistema).

El conjunto de las órbitas o trayectorias en el plano, de un sistema se denomina el

diagrama de fase del sistema (Mac Cluer, 2019).

Esta idea se precisa en la siguiente definición.

Definición 1:

dist( A, B) > 0 (Bamón, 1991).

El siguiente teorema, conocido con el nombre de Teorema del punto fijo de Brower, es de gran utilidad para probar la no existencia de órbitas periódicas o cerradas dentro de ciertas regiones encerradas por curvas de Jordan (Osuna, 2011; Hale, 2009). Recuerde que si

2. Metodología

Uno de los conceptos más importantes en el estudio cualitativo de los sistemas

autónomos de ecuaciones diferenciales son los conjuntos

a - límite

y w - límite , ya que

ellos permiten determinar el comportamiento a largo plazo de las soluciones de los sistemas autónomos. Sin embargo, para maximizar la utilidad de estos conjuntos límites se deducirán sus propiedades topológicas. Así, se probó que, bajo ciertas condiciones, los

conjuntos

a - límite

y w - límite

son conjuntos no vacíos, compactos, conexos e

invariantes; además se probó que ellos están formados por la unión de trayectorias completas del sistema.

Como aplicación, se usaron los conjuntos límites para probar la existencia de órbitas periódicas y además se estudian algunos ejemplos particulares de sistemas autónomos.

Para validar los resultados obtenidos en los ejemplos particulares, se utilizó el Sotfware Wolfram Mathematica, el cual permite la construcción del campo de direcciones y el diagrama de fase de los sistemas autónomos en el plano.

3. Conjuntos Límites

4. Caracterización De Los Conjuntos Límites

Teorema 2: Sea

Demostración:

Por lo tanto, w (x ) es un conjunto cerrado de

Demostración:

De la definición de w(x )

se tiene que

y w (x )

es un conjunto cerrado.

Teorema 3: Sea x

no vacío y compacto.

Demostración:

Considere la sucesión

es acotado, la

Luego, como w(x )

es cerrado y acotado, él es compacto.

Teorema 4: Sea

Demostración:

invariante para el sistema (1).

Teorema 5: Sean

Observaciones:

Teorema 6: Sea

y suponga que g + (x )

Demostración:

Por los Teoremas 2, 3, 4, se tiene que w(x ) es un conjunto no vacío, compacto e invariante para el sistema (1). Suponga que w(x ) no es conexo, entonces existen conjuntos cerrados

no vacíos y disjuntos

Observaciones:

5. Aplicaciones

Teorema 7: Sea

un conjunto cerrado y positivamente invariante del sistema (1).

Suponga que K es homeomorfo a la bola unitaria cerrada de R²

Entonces K contiene al menos un punto de equilibrio del sistema (1).

Demostración:

Ejemplo 1: Considere el sistema

(0, 0) es un punto silla del sistema lineal, lo que implica que (0, 0) es un punto es un punto silla del sistema dado.

El campo vectorial del sistema está dado por

Por lo tanto, la recta

y = 0 está formada por tres trayectorias. Esto implica que no

puede haber una trayectoria cerrada que contenga al punto (0, 0) en su interior. Además, por el Colorario 1, no hay trayectorias cerradas del sistema dado que no contengan a (0, 0) en su interior. Así pues, el sistema dado no posee trayectorias cerradas.

El diagrama de fase del sistema está dado por las figuras 1 y 2.

De los diagramas anteriores se deduce que:

Figura 3. Campo de direcciones del sistema Figura 4. Campo de direcciones del sistema
Elaboración propia

Note que, en este caso,

w( p) = C

está compuesto de cuatro trayectorias no triviales

(heteroclinas) y cuatro puntos de equilibrio.

6. Conclusiones

De los resultados probados en este artículo, se obtienen las siguientes conclusiones:

Referencias bibliográficas

Bamón, R. (1991). Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos. Pro Mathematica. . (9 - 10), 145-168

Hale, J. K. (2009). Ordinary differential equations. Dover Publications, Inc.

Hirsch, M. W. y Smale, S. (2004). Differential equations, dynamical systems and linear algebra. Academic Press, Inc.

MacCluer, B. D., Bourdon, P. S., and Kriete, T. L. (2019). Differential Equations: Techniques, Theory, and aplications. American Mathematical Society.

Ostrovskaya, N. V. and Lusipova, I. A. (2019). Qualitative theory of dynamical Systems for control of magnetic memory elements. Phys. Metals Metallorg, 120 (13). 1291–1298. https://doi.org/10.1134/50031918x19130209.

Osuna, O. y Villaseñor-Aguila, G. (2011). Órbitas periódicas de sistemas planos. AVANZA.

Strogatz,S.H. (2018) Nonlinear dynamics and chaos with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC Press.

Zhang, Z. (2006). Qualitative theory of differential equations. Translations of mathematical monographs, volume 101. American Mathematical Society.