Introdução
O desenvolvimento do Raciocínio Combinatório faz parte de um conjunto de habilidades relacionadas ao letramento estatístico. Desta maneira, é fundamental a discussão de estratégias didáticas e metodologias que permitam ao estudante, ainda no Ciclo de Alfabetização, a apropriação dos conceitos e ideias da Combinatória, conforme exposto nos estudos de Borba (2013) e Pessoa e Borba (2010).
O texto traz uma situação prática que engloba a associação entre instrumentos didáticos de perspectiva lúdica e a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas[3](ONUCHIC; ALLEVATO, 2014) para compreensão dos fazeres da Combinatória no Ciclo de Alfabetização, a qual faz parte de uma pesquisa, em nível de pós-graduação, que buscou subsídios à elaboração de um caderno de atividades lúdicas, contextualizado pela obra literária “Alice no País das Maravilhas” de Carroll (2013).
A prática apresentada, analisada de forma quanti-qualitativa, traz os resultados obtidos quando os conceitos elementares de Análise Combinatória foram ensinados, por meio de materiais lúdicos de visualização denominados de “Jogo de Vestir” e “Máquina de Possibilidades”, para os estudantes do 3º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do Meio Oeste Catarinense.
Revisão de Literatura: Aspectos lúdicos na
Resolução de Problemas de Combinatória
A Resolução de Problemas, segundo abordagem de Onuchic e Allevato (2014), fundamenta-se na apresentação de situações desafiadoras aos estudantes que, por meio da criação de estratégias, levem a assimilação de conceitos matemáticos, concebendo o Ensino, a Aprendizagem e a Avaliação em um processo integrado em que o professor é o sujeito que pensa e gere o processo e o aluno é ativo na construção de seus próprios conhecimentos. Essa metodologia é composta de dez etapas: proposição do problema, leitura individual, leitura em equipe, resolução do problema, observar e incentivar, registro da resolução na lousa, plenária, busca de um consenso, formalização de conteúdo e proposição e resolução de novos problemas.
Para utilização de atividades lúdicas associadas à Resolução de Problemas, há que se situar as diversas etapas na dinâmica de um jogo. Assim, o problema gerador pode ser o próprio jogo e as demais etapas se caracterizam pelo momento lúdico em si. Em cada uma delas o professor poderá integrar materiais de visualização ou jogadas à proposta da brincadeira. A plenária pode ocorrer após a atividade lúdica, na perspectiva de questionar o aluno para fins de formalização de conteúdo. A quinta etapa (Observar e incentivar) ocorre concomitantemente à propositura da atividade. Os novos problemas são ofertados como problematizações do próprio jogo, as quais para Smole, Diniz e Cândido (2007), estão ligadas à ideia de que a aprendizagem depende da possibilidade de estabelecer o maior número possível de relações entre o que se sabe e o que se está aprendendo.
Atividades lúdicas, na forma de jogos e brincadeiras, podem ser associadas às situações desafiadoras que permitam ao aluno criar e avaliar estratégias que o levem a resolução. Smole, Diniz e Cândido (2007) abordam que o conceito de problema pode ser ampliado, devendo ser considerado como todas as situações que não possuem solução evidente, que exigem que o resolvedor combine seus conhecimentos em busca da solução.
Em consonância a essa abordagem, Borin (2007) afirma que em uma situação de jogo, o processo de busca por uma estratégia, exige dos alunos habilidades como testar, observar, analisar e conjecturar. Tudo isso compõe o desenvolvimento do raciocínio lógico, que é um dos objetivos do ensino de matemática.
Considerando sua prática educativa, Borin (2007) aborda que é possível verificar técnicas de resolução de problemas durante uma atividade lúdica, como a tentativa e erro, redução a um problema mais simples; resolução de um problema de trás para frente, representação do problema através de desenhos, gráficos ou tabelas, analogia a problemas semelhantes.
Silva (2008) defende que os processos cognitivos que são requeridos para a compreensão de problemas matemáticos são similares aos necessários em uma atividade lúdica, pois o movimento que se faz para atingir o objetivo lúdico poderá se configurar como uma situação desafiadora que promoverá conflitos cognitivos que propiciam a aquisição de novas e melhores formas de pensamento, cujos modelos podem ser aplicados na resolução de problemas.
Jogos, brincadeiras e materiais lúdicos, associados à Resolução de Problemas, potencializam a aprendizagem de matemática, uma vez que o aluno participa motivado não só pelo ato de brincar, como também pelos incentivos dos colegas, que socializam os conhecimentos e descobertas uns com os outros. Nesse sentido, Pironel (2002) defende que, na Resolução de Problemas, é possível utilizar instrumentos auxiliares como materiais didáticos, calculadoras, jogos, assim como papel, tampinhas e outras coisas.
Diante das discussões, a associação da ludicidade à Resolução de Problemas amplia as possibilidades metodológicas para o ensino de diversos conteúdos matemáticos, dentre eles a Análise Combinatória, como parte dos conceitos necessários para consolidação do Letramento Estatístico.
Borba (2013) aponta que, até bem pouco tempo, a Análise Combinatória, era ensinada, geralmente, por fórmulas algébricas na finalização da Educação Básica. No entanto, pesquisas com base no desenvolvimento psicológico da criança, como as de Inhelder e Piaget (1976), indicam que no Ciclo de Alfabetização, as crianças podem desenvolver diversas representações combinatórias de forma intuitiva. Nessa perspectiva Pessoa e Borba (2009, p. 109) comentam que:
É necessário, portanto, que se ofereçam situações diversas para a resolução de problemas para que os alunos possam fazer reflexões, a fim de estabelecerem relações e, assim, construírem novas aprendizagens, ampliando suas redes de conhecimentos. Saberes vão, dessa forma, desenvolvendo-se, e relações entre conhecimentos podem tornar-se mais conscientes.
Conforme estudos de Pessoa e Borba (2009), Pessoa e Borba (2010) e Borba (2013) o Raciocínio Combinatório faz parte das habilidades relacionadas à Alfabetização Estatística e dessa forma, entendemos ser relevante o entendimento conceitual do termo. Assim, Raciocínio Combinatório, caracteriza-se pela análise de situações nas quais são dados elementos de um ou mais conjuntos e estes elementos devem ser agrupados em combinações que atendem a relações específicas de escolha e ordenação.
Esses agrupamentos − Produto Cartesiano, Arranjo, Combinação e Permutação são associados por relações combinatórias básicas e devem ser tratados por meio de representações simbólicas que permitem o adequado levantamento de possibilidades. Porém, no Ciclo de Alfabetização, os professores precisam trabalhar de forma a permitir o desenvolvimento das noções intuitivas que podem ser desenvolvidas por meio de atividades lúdicas e pelo uso de materiais manipuláveis, conforme argumenta Borba (2013, p. 13):
[...] um bom caminho de construção de estratégias de resolução de situações combinatórias é o de uso de materiais manipulativos e desenhos (na Educação Infantil e primeiros anos do Ensino Fundamental); utilização de listagens, árvores de possibilidades e operações aritméticas simples para representar situações combinatórias variadas (no 3º, 4º e 5º anos do Ensino Fundamental); uso amplo do princípio fundamental da contagem auxiliado por outras formas de representação, como árvores de possibilidades (nos anos finais do Ensino Fundamental); e construção de fórmulas da Análise Combinatória a partir do princípio fundamental da contagem (no Ensino Médio).
As abordagens realizadas permitem interpretar que o Raciocínio Combinatório, se trabalhado em convergência à construção do conhecimento matemático, pode estabelecer uma série de relações que auxiliam o educando no desenvolvimento de estratégias para resolução de situações-problema, culminando em novas aprendizagens.
Metodologia
Esta pesquisa buscou informações, por meio de um Estudo de Caso, em uma turma do terceiro ano do Ensino Fundamental, de uma Escola da Rede Municipal do Meio Oeste Catarinense, de modo a conhecer suas reais necessidades de aprendizagem por meio da experimentação dos protótipos dos jogos e materiais de visualização concebidos para o Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Análise Combinatória.
Os objetivos da pesquisa convergiram para a elaboração de um caderno de atividades de caráter lúdico para Ensino de Análise Combinatória (ROSTIROLA, 2018a). Os caminhos metodológicos assumidos foram a investigação da realidade escolar, por meio de um estudo de caso, que envolveu a análise do livro didático utilizado pela turma e a entrevista a professores alfabetizadores da Escola Participante, além da oferta de práticas lúdicas, fundamentadas na Resolução de Problemas de Onuchic e Allevato (2014). Todas as práticas lúdicas consideraram os objetivos do Letramento Estatístico como base para a construção de atividades e jogos de caráter cooperativos, que foram contextualizadas por meio do livro “Alice no País das Maravilhas” (CARROLL, 2013), numa abordagem envolvendo literatura e matemática. Essas práticas foram aplicadas à turma pela primeira autora deste texto.
A pesquisa foi realizada em uma classe com vinte e três estudantes do terceiro ano do Ciclo de Alfabetização, cujos responsáveis expressaram concordância na participação na pesquisa por meio do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido. Os alunos são distinguidos no texto pela letra maiúscula “A” acompanhado de número com o intuito de preservar a identidade dos participantes.
Para a prática abordada, foram elaborados dois problemas geradores relacionados à Análise Combinatória para o Ciclo de Alfabetização e, construídos materiais lúdicos, que auxiliassem na visualização de possíveis soluções. Também foram ofertados três problemas complementares, conforme a proposta da décima etapa da Resolução de Problemas.
Os dados observados foram registrados em Diário de Campo utilizado na pesquisa, recolhidas as atividades dos estudantes participantes para análise, além de registros fotográficos e áudios de falas dos estudantes. Quanto ao tempo, para esta etapa foi reservado dois blocos de três aulas, totalizando seis aulas. As resoluções escritas foram analisadas por métodos quanti-qualitativos, traduzindo o pensamento de Ritchie e Lewis (2003), que defendem que a realidade é multifacetada e que por essa razão, para a compreensão integral do fenômeno, é necessária a associação entre o pragmatismo dos modelos de análise quantitativos e o interpretativismo dos qualitativos.
Resultados
Dendrograma
Uma dos aspectos fundamentais da Resolução de Problemas é o trabalho em equipe. Dessa maneira, os estudantes foram organizados em dez duplas e um trio, pelo critério de junção à carteira do colega mais próximo. Foi ofertado um total de cinco problemas, sendo que os dois primeiros foram trabalhados como problemas geradores, e os demais foram problemas complementares para cumprir a décima etapa da Resolução de Problemas, sugerida por Onuchic e Allevato (2014).
Os problemas geradores abordaram a Análise Combinatória, contextualizados pela obra literária Alice no País das Maravilhas (CARROLL, 2013), a qual foi trabalhada em aulas introdutórias, sempre de forma lúdica e cooperativa. No Quadro 01, podem ser encontrados os dois problemas trabalhados na turma:
Para a resolução de cada um dos problemas foram
disponibilizados aos estudantes materiais lúdicos de visualização e
manipulação. O primeiro problema gerador foi associado a um material de
visualização que adaptava os jogos virtuais de vestir à releitura da personagem
Alice em espuma venílica acetinada (EVA), a qual os
alunos poderiam testar possibilidades, vestindo a personagem com as roupas
(Figura 01):
Outro instrumento utilizado foi denominado de “Máquina de Possibilidades”
(IMENES; LELLIS; MILANI apud AZEVEDO; BORBA, 2010) e era composto por copos
descartáveis nos quais eram colados agrupamentos de possibilidades. Os alunos, rotacionando os copos, poderiam visualizar as
possibilidades questionadas nos problemas, como ilustra a Figura 02:
Também foram utilizados cartões que continham o nome dos personagens
citados na história para manipulação no momento de realizar a permutação. Este
instrumento foi utilizado nos problemas complementares e pode ser visualizado
na Figura 03.
Após o conhecimento e prévia manipulação dos cartões, da “Máquina de Possibilidades” e do “Jogo de vestir, os alunos foram reunidos em equipes, sendo dez duplas e um trio e iniciaram o processo da Resolução de Problemas, com leitura individual e em equipes do primeiro problema gerador e cumprimento das demais etapas da Resolução de Problemas, com a utilização do “Jogo de vestir”. Para análise dos dados relacionados às atividades foram recolhidas todas as resoluções escritas dos alunos. Embora estivessem em equipes, as respostas continham diferenças na resolução, o que nos levou a análise individual de cada atividade.
Quanto ao primeiro problema gerador, a qual apresentava como material lúdico de visualização o “Jogo de vestir”, todas as crianças apresentaram algum agrupamento possível, sendo que onze crianças atingiram o total de seis possibilidades, que representava a solução completa do problema. Algumas crianças apresentaram possibilidades repetidas, sendo essas, consideradas apenas uma vez na mensuração dos acertos. O resultado pode ser visualizado no gráfico relativo à Figura 04:
Figura 04
Número de
possibilidades alcançadas no primeiro problema gerador
Rostirola (2018b)
O resultado informa que o instrumento lúdico utilizado e a proposta em Resolução de Problemas permitiu aos alunos a visualização das possibilidades, auxiliando-os, a entenderem o que a situação-problema solicitava.
Embora no dia-a-dia o levantamento de possibilidades não ocorra necessariamente de maneira sistemática, o desenvolvimento de um pensamento como o utilizado em situações combinatórias é útil no pensar matemático e de outras áreas do conhecimento. Se bem trabalhada na escola, os alunos poderão perceber o valor da Combinatória para resolver situações cotidianas – escolares e extra-escolares (sic). (PESSOA e BORBA, 2010, p.20).
O item A da Figura 05 ilustra os agrupamentos relacionados pelo aluno A1, que agrupou todas as possibilidades, conforme textualização: “1ª possibilidade: saia azul e blusa azul. 2ª possibilidade: saia vermelha e blusa verde. 3ª possibilidade: saia azul e blusa verde. 4ª possibilidade: saia vermelha e blusa azul. 5ª possibilidade: saia amarela e blusa verde. 6ª possibilidade: saia amarela e blusa azul”.
O aluno A2 (Item B - Figura 05) identificou quatro agrupamentos corretos: “1ª possibilidade: Plusa (sic) azul e saia azul. 2ª possibilidade: Plusa (sic) azul e saia vermelha. 3ª possibilidade: Plusa (sic) azul e saia amarela. 4ª possibilidade: Plusa (sic) verte (sic) e saia amarela”.
O Aluno A3 (Item C – Figura 05) listou as seguintes possibilidades: “1º possibilidade: camisa azul e saia vermelha. 2º Possibilidade: Camisa verde e saia amarela. 3º: Possibilidade Camisa azul e saia azul. 4º Possibilidade: Camisa azul e saia amarela. 5º Possibilidade: Camisa azul e saia amarela”.
Para o aluno A4 (Item D – Figura 05), temos agrupadas cinco possibilidades corretas: “Camiseta verde saia amarela, camiseta azul e saia azul, camiseta azul e saia vermelha, camiseta verde e saia azul, camiseta azul e saia vermelha”.
A Figura 05 ilustra atividades realizadas pelos quatro alunos analisados nesse texto em relação ao primeiro problema gerador:
Os principais erros foram decorrentes das fragilidades na percepção de
que era preciso esgotar as possibilidades, isto é, listar todos os grupos
possíveis. O estudante A4, que listou cinco possibilidades corretas na Figura
05 (item d) relacionou uma repetição, que foi o equívoco mais comum dos
estudantes.
Foram observadas também dificuldades na obtenção dos agrupamentos solicitados nas atividades, em três alunos participantes da pesquisa, os quais identificaram apenas um agrupamento, situação que pode ser atribuída a déficits em leitura e escrita como exemplificado pela textualização da atividade do aluno A5: “1ª possibilidade azul com vermelho” e, observado na Figura 06.
No momento da Resolução de Problemas, no primeiro problema gerador, quatro alunos tiveram repetições em grupos de possibilidades na mesma ordem. É possível interpretar isso como um indício de que os alunos ainda precisam desenvolver a compreensão de exaustão no número de agrupamentos possíveis entre elementos de dois ou mais conjuntos.
A Figura 07 traz uma situação em que o estudante encontrou quatro possibilidades corretas, e mais três repetidas[4], sendo essas desconsideradas no que tange aos acertos, mas analisadas para fins de compreensão de seu raciocínio. Os elementos contidos nas repetições verificadas estavam na mesma ordem, conforme textualização do aluno A6: “1º blusa azul e saia vermelha, 2º uma blusa azul e uma saia amarela, 3º uma blusa azul e uma saia vermelha, 4º uma blusa verde e uma saia azul, 5º uma blusa azul e uma saia amarela, 6º uma blusa verde e uma saia azul, 7º uma blusa verde e uma saia rosa”.
Na análise das respostas, verificou-se que aqueles que seguiram um mesmo esquema (como iniciar de uma mesma cor), em sua grande maioria, não repetiram, mesmo não tendo encontrado todas as possibilidades. Os que realizavam apenas a descrição incorriam na repetição, não interpretando quando chegavam à exaustão das respostas, como na atividade destacada na Figura 07, em que o aluno chegou erroneamente a sete possibilidades sem cumprir o número de possibilidades possíveis, solicitado na situação-problema, sendo considerado então como resposta, apenas as cinco possibilidades corretas.
Para o segundo problema gerador, os estudantes utilizaram a “máquina das possibilidades”, ilustrada na Figura 02, com três agrupamentos de dois alimentos a serem combinados. Este problema era de um grau de complexidade maior que o anterior, considerando a faixa de escolarização, em análise.
O gráfico da Figura 08 indica a quantidade de possibilidades alcançada para cada um dos estudantes, no segundo problema gerador:
A Figura 09 demonstra uma resolução completa, pelo aluno A7, para o
problema gerador 02, indício de que as situações propostas, alicerçadas pelos
instrumentos utilizados e noções intuitivas do educando representaram
importância na experiência em relato.
Em análise ao número de possibilidades alcançadas, além dos estudantes que desenvolveram seus esquemas de agrupamentos com número de possibilidades iguais ou superiores a quatro, também houve três alunos que não identificaram uma possibilidade completa, apenas escrevendo dois alimentos para cada agrupamento, não chegando também ao total de oito agrupamentos possíveis.
Quanto às repetições, relevantes para que posteriormente o estudante consiga distinguir arranjo e combinação, quatro alunos tiveram uma repetição, três alunos tiveram duas repetições e sete alunos, três repetições no problema 02.
Na textualização do aluno A8: “Arroz e alface Batata, Arroz e frango Alface, Arroz e peixe e Alface, Alface e cenoura e Arroz, Peixe e batata e cenoura, Frango batata e Alface, Peixe arroz e alface, frango Batata e alface”, relacionada ao problema gerador 02 e ilustrada pela figura 10, percebe-se, casos de repetição, em que o aluno relacionou um novo agrupamento apenas invertendo a ordem dos elementos.
Sabe-se que conceitos relacionados a agrupamentos cuja mudança na ordem nos termos não gera novas possibilidades, isto é, os problemas de combinação, segundo Pessoa e Borba (2010), são trabalhados apenas no Ensino Médio, e os alunos, não se dão conta dessa característica e acabam repetindo possibilidades. Dessa forma, cabe ao professor um trabalho conceitual de identificação dos casos idênticos que não possam ser contados duplamente como possibilidade. Nesse aspecto, os problemas ofertados na décima etapa da Resolução de Problemas corroboram para o estudante entender essas caraterísticas.
Após cada um dos problemas, as equipes foram convidadas a mostrar suas atividades na “plenária” para buscar o “Consenso” das respostas dadas – ambas as fases da Metodologia de Resolução de Problemas de Onuchic e Allevato (2014):
Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. (ONUCHIC, 2012, p. 13).
Nesta fase, algumas adaptações precisaram ser feitas, em virtude da faixa etária dos estudantes, principalmente na questão do tempo, sendo escolhidas aleatoriamente por sorteio, quatro equipes para exporem suas ideias. As equipes apresentaram suas atividades, na forma de cartazes explicando seu raciocínio (Figura 11).
A plenária permitiu que muitos alunos questionassem os colegas sobre as possibilidades alcançadas e também avaliassem suas próprias respostas, identificando a ausência de agrupamentos ou repetições.
A pesquisadora, primeira autora, também percebeu que os alunos que apresentaram dificuldade procuravam entender o que os colegas haviam feito e copiavam as respostas, evidenciando que a dificuldade de escrita e leitura os prejudicou nas atividades.
Falas como: “Agora falta essa possibilidade: Frango com arroz e batata” ou “Esqueci essa!”, caracterizaram a participação dos colegas na plenária. Também perceberam que haviam repetido possibilidades: “Essa já foi”, diziam eles. A plenária auxiliou a evidenciar ideias de combinações e a entender algumas repetições e erros.
A formalização do conteúdo ocorreu pelo Diagrama de Árvore associado ao material concreto, pois, nesta fase, é imprescindível aos estudantes o material para visualização das possibilidades como demonstrado nos dados comentados alhures. A Base Nacional Curricular Comum (BNCC) traz como um dos objetos de conhecimento nos Ciclos Iniciais:
Resolver, com o suporte de imagem e/ou material manipulável, problemas simples de contagem, como a determinação do número de agrupamentos possíveis ao se combinar cada elemento de uma coleção com todos os elementos de outra, utilizando estratégias e formas de registro pessoais. (BRASIL, 2017, p.291).
Segundo recomendação da BNCC, isto significa encontrar estratégias para resolver problemas que pode ser por desenho, diagrama, tabela ou árvore de possibilidades que levarão a escrita multiplicativa. Essas diferentes estratégias devem ser valorizadas, analisadas e discutidas em sala. A utilização de diferentes recursos para a resolução de problemas de contagem aumenta o grau de compreensão dos alunos sobre o princípio multiplicativo. (BRASIL, 2017).
Observamos nas resoluções apresentadas pelos estudantes que três alunos tiveram dificuldades em reconhecer o que o problema solicitava, chegando a certo momento a apenas copiarem o nome dos elementos inclusos no problema. No entanto, a maior parte deles conseguiu encontrar agrupamentos, evidenciando entendimento dos princípios elementares do Raciocínio Combinatório, que serão aprofundados em anos posteriores. Pessoa e Borba (2010) definem o que se espera da Análise Combinatória, no mesmo sentido a qual convergem às análises do desempenho dos estudantes participantes da pesquisa:
Entende-se o raciocínio combinatório como um tipo de pensamento que envolve contagem, mas que vai além da enumeração de elementos de um conjunto. Na Combinatória contam-se, baseando-se no raciocínio multiplicativo, grupos de possibilidades, através de uma ação sistemática, seja pelo uso de fórmula, seja pelo desenvolvimento de uma estratégia que dê conta de atender aos requisitos desses tipos de problemas, como a constituição de agrupamentos, a determinação de possibilidades e sua contagem. (PESSOA e BORBA, 2010, p. 2).
Quanto às repetições de agrupamentos, as atividades indicam fragilidades no entendimento de que a ordem não alterava o agrupamento, demonstrando que é necessária a formalização dessa noção. Pessoa e Borba (2010) relatam que os problemas de combinatória necessitam de uma sistematização bastante rigorosa para que o aluno não se perca na organização das possibilidades. Segundo as mesmas autoras, o que tem ocorrido de um modo geral nas soluções desses problemas é que o aluno se dá por satisfeito listando apenas alguns casos e não buscando o esgotamento das possibilidades.
As noções descritas indicam que o estudante do Ciclo de Alfabetização, como mencionado na literatura apresentada, tem condições de aprendizagem de Análise Combinatória, se alicerçadas em instrumentos de caráter lúdico que permitam a visualização dos agrupamentos:
(...) para que os alunos sejam matematicamente competentes e criativos, eles têm que ser capazes não só de resolver os tradicionais problemas de cálculo, mas também usar imagens visuais, como um suporte importante na resolução de todos os tipos de problemas, incluindo aqueles em que a componente visual não é evidente, assim como, recorrendo às capacidades intuitivas em todas as fases do processo do desenvolvimento matemático. (VALE, 2017, p. 133).
A última etapa da Resolução de Problemas, objetiva ofertar problemas adicionais ao aluno para que se consolide e aprofunde os conceitos estudados realizando também uma avaliação contínua e integrada.
Esses possibilitam analisar se foram compreendidos os elementos essenciais do conteúdo matemático introduzido naquela aula, e consolidar as aprendizagens construídas nas etapas anteriores, bem como aprofundar e ampliar as compreensões acerca daquele conteúdo ou tópico matemático, gerando um círculo que se configura pela construção de novos conhecimentos e pela resolução de novos problemas, e assim por diante. (NUNES e SANTANA, 2017, p.11).
O problema complementar 03 solicitava ao aluno para indicar o número de combinações possíveis para um jogo de dardos, conforme Quadro 02:
O jogo de dardos é jogado com uma haste metálica que deve ser arremessada em um alvo. Quanto mais no centro do alvo, o jogador atingir o dardo mais pontos ele faz. Alice está jogando dardos. Na primeira jogada, Alice acertou com o dardo o valor 50. Se fizer mais uma jogada, quais as possibilidades de pontuação que ela pode ter?
O instrumento para análise das combinações foi uma figura representativa
de um alvo (Figura 12), em papel do tipo A4, impresso em cores, para que cada
aluno visualizasse as possibilidades de combinações de pontuação, em um jogo de
dardos.
O número de possibilidades
alcançadas pelos alunos está ilustrado no gráfico da Figura 13:
Figura 13
Número de
possibilidades alcançadas no problema complementar 03
Rostirola
(2018b)
A Figura 14 traz a resolução completa desse problema, realizada pelo
aluno A9, embora na turma dez estudantes não utilizaram a possibilidade “50 no
primeiro dardo e 50 no segundo”, talvez por não estar explícito que poderia ser
repetido algum valor.
O problema complementar 04 trabalhava a questão de permutação, conforme
Quadro 03.
No problema complementar 04, os alunos utilizaram cartões com o nome dos
personagens para realizarem as permutações. Os resultados obtidos constam no
gráfico da Figura 15.
Figura 15
Número de possibilidades alcançadas no problema complementar 04
Rostirola
(2018b)
Na maioria dos casos os estudantes organizaram os nomes dos personagens
na forma de listas indicando as possibilidades de permutação. Alguns estudantes
optaram, no entanto, pela representação simbólica, desenhando os personagens,
como na Figura 16, a qual se visualiza a atividade realizada pelo aluno A10, a
qual possui repetição, porém, ilustra um tipo de representação que facilitou o
raciocínio desse aluno, haja vista que: “o papel das representações simbólicas
também é uma importante questão a ser considerada, pois não apenas significados
dados aos números nos diferentes tipos de problemas, mas também a forma de
representá-los influenciam a sua resolução”. (PESSOA; BORBA, 2009, p. 143):
É importante destacar o caso do aluno A11, que procurou a pesquisadora para falar que conseguia determinar mentalmente os agrupamentos possíveis: “Eu faço tudo na cabeça, não preciso dos cartões” (Aluno A11). Quando a pesquisadora, primeira autora, perguntou sobre o uso dos cartões para os colegas dele, ele disse: “Para eles é importante porque ainda não conseguem imaginar.” (Aluno A11). Mesmo que, na turma, crianças já desenvolveram habilidades de abstração, a maioria deles precisou de material auxiliar, das quais doze delas conseguiram exaurir todos os casos possíveis.
O problema complementar 05 trata do conteúdo de Arranjos, conforme ilustra o Quadro 04:
O gráfico da Figura 17 descreve o resultado
quantitativo do número de possibilidades a qual chegaram os estudantes, no
problema complementar 05:
Devido, em parte, ao número maior de casos possíveis, esse problema teve uma grande variedade de possibilidades conseguidas pelos estudantes. Nesse problema, já havia sido formalizado o conteúdo por meio do Diagrama de Árvore, assim, seis alunos o utilizaram, com maior ou menor grau de sucesso, na resolução do problema.
A Figura 18 ilustra a atividade de estudante que optou por uma listagem e um diagrama, encontrando todos os agrupamentos possíveis:
Segundo as pesquisas de Pessoa e Borba (2009), aparentemente os alunos a partir do terceiro ano possuem habilidades melhor desenvolvidas em termos de raciocínio combinatório. Assim, o docente deve trabalhar no sentido de questionar o esgotamento de possibilidades, permitindo um maior desenvolvimento na compreensão dessas situações.
Conforme exposto, a metodologia empregada na pesquisa é a quanti-qualitativa, pois consideramos que é imprescindível analisar o contexto pedagógico das situações, trazendo também as observações pontuais obtidas na análise estatística. Esses dois aspectos explicam o fenômeno integralmente e, portanto, não podem ser dissociados.
Uma das opções de apresentação dos dados foi um gráfico de similaridades – o Dendrograma - que permite evidenciar aspectos comuns de diversos agrupamentos de um mesmo fenômeno, podendo indicar os pontos nos quais os agrupamentos se equiparam. Este gráfico foi escolhido para verificar quais conceitos os estudantes tiveram um desempenho equivalente.
Os problemas geradores (Problemas 01 e 02), ambos de produto cartesiano, foram realizados anteriormente à formalização do conteúdo e, desse modo, esperava-se que os alunos tivessem um desempenho inferior àqueles denominados complementares, uma vez que os estudantes já conheciam o Diagrama de Árvore e estavam um pouco mais familiarizados com a análise combinatória.
No entanto, avaliando as atividades por meio do Dendrograma (Figura 19), comparando três grupos, temos que o desempenho dos alunos foi similar no problema gerador 01 e no problema 04 (Produto Cartesiano e Permutação, respectivamente) e nos problemas 02 e 03 (Produto Cartesiano e Combinação, respectivamente). O problema 05 (Arranjo) teve um desempenho inferior aos demais (mesmo se reduzirmos os grupos para dois, o problema 05, sempre ficará separado dos demais).
Figura 19
Similaridades no
desempenho dos estudantes nos cinco problemas dados
Embora, os resultados apontem que, em crianças na faixa etária do Ciclo de Alfabetização há indícios de desenvolvimento do Raciocínio Combinatório, houve dificuldades especialmente em questões de arranjo. Os dados apontados pelo dendograma (Figura 19) convergem para as pesquisas de Borba (2013) com um grupo de crianças, para as quais foram ofertados problemas de Combinatória:
[...] A relação de escolha de elementos foi mais facilmente percebida pelas crianças. Já a relação de ordem e a de esgotamento de possibilidades foi de mais difícil compreensão. Entender que a ordem dos elementos em arranjos indica possibilidades distintas e que em combinações a ordem não indica diferentes possibilidades foi de mais difícil entendimento”. (Grifos de Pessoa e Borba). ( BORBA, 2013, p.8).
Também, foi utilizado um gráfico do tipo boxplot (Figura 20) para permitir ao leitor o conhecimento das medidas estatísticas do desempenho dos estudantes. Organizando o número de possibilidades atingidas por cada aluno (desconsiderando as repetições), na forma percentual, obtiveram-se dados para analisar o desempenho da turma como um todo nos cinco problemas. O resultado foi o seguinte:
Como o leitor pode acompanhar na Figura 20, a linha da mediana encontra-se pouco acima dos 60% com o 3º quartil em 80%. Isto revela um desempenho satisfatório do ponto de vista quantitativo. Desse modo, os dados apresentados permitem observar indícios favoráveis ao uso da Resolução de Problemas, inclusive nas séries iniciais.
A avaliação das atividades se deu essencialmente pelo desempenho notado durante a experimentação, principalmente no decorrer da quinta etapa da Resolução de Problema: observar e incentivar. Etapa de grande valor ao processo de Ensino-Aprendizagem-Avaliação
O professor age, enquanto isso, observando o trabalho dos alunos, incentivando-os a utilizar seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas, e incentivando a troca de ideias. Auxilia nas dificuldades sem, contudo, fornecer respostas prontas, demonstrando confiança nas condições dos alunos. (NUNES; SANTANA, 2017, p.1).
No sentido de avaliar, as atividades realizadas pelos alunos foram recolhidas e analisadas para observação do desempenho nas questões. No momento da plenária e da formalização, questionamentos pontuais foram feitos a fim de avaliar a aprendizagem. Os alunos participavam ativamente desses momentos de oralidade, buscando novas possibilidades até o esgotamento dos agrupamentos possíveis.
Considerações finais
O Raciocínio Combinatório faz parte da esfera do Letramento Estatístico, e desta forma, há que se concentrarem esforços a fim de trabalhar esse Raciocínio, bem como o Probabilístico e Estatístico, de modo a estimular o estudante a desenvolver a interpretação de informações e assim vivenciar a cidadania, conforme aponta Guimarães (2014, p. 46):
Ressaltamos, assim, que o desenvolvimento do raciocínio probabilístico e combinatório são importantes ao desenvolvimento geral das crianças, tanto para a vida escolar, quanto para suas vivências extraescolares, mas é importante destacar o papel do ensino nesses desenvolvimentos. As crianças possuem noções intuitivas, mas a instrução é necessária para o desenvolvimento de conceitos referentes à Probabilidade e à Combinatória.
Retomando os estudos de Inhelder e Piaget (1976), os quais demonstram que conceitos como o da permutação, combinação e arranjos, mesmo presentes de forma intuitiva, precisam de um trabalho pedagógico que permita ao aluno explorar os aspectos conceituais de cada agrupamento. Diante dos resultados analisados, conjectura-se que os instrumentos em material concreto, para visualização das situações-problema de forma lúdica, podem auxiliar a criança no desenvolvimento da compreensão e na generalização dos conceitos de Análise Combinatória.
Os instrumentos lúdicos representaram importantes eixos de contextualização para os problemas geradores, desenvolvendo habilidades relacionadas aos conteúdos de combinatória, uma vez que permitiram trabalhar os conceitos de acordo com as especificidades da criança. Os dados analisados dão indícios que a associação da Resolução de Problemas a uma abordagem lúdica, permite o desenvolvimento do raciocínio combinatório de forma a respeitar os ritmos de aprendizagem de cada criança.
O uso de uma abordagem literária de uma obra infantil foi um instrumento contextualizador eficiente, uma vez que, também há benefícios a aspectos de exercício da leitura e da interpretação de texto, importantes em quaisquer fases e imprescindíveis no Ciclo de Alfabetização.
Os materiais de manipulação e visualização, com características lúdicas demonstraram sua eficácia no que tange a possibilidade de o aluno realizar essa exploração conceitual, desenvolvendo signos representativos do conteúdo. Almeida (2018) ilustra em suas pesquisas que a visualização e representação, permitem ao aluno conjecturar, investigar e organizar o pensamento, o que leva à aprendizagem significativa.
As experimentações permitiram avaliar as potencialidades e fragilidades dos materiais lúdicos em associação à Resolução de Problemas, no sentido de desenvolver o Caderno de Atividades Lúdicas: combinando, arranjando e permutando no Ciclo de Alfabetização (ROSTIROLA, 2018a), adequando a linguagem utilizada nas atividades e os materiais às necessidades educacionais apresentadas pelo educando.
Sendo parte do ato educativo, as atividades lúdicas e materiais de manipulação no âmbito da Resolução de Problemas, propiciam momentos de reflexão, nos quais o aluno atribui significados para os raciocínios desenvolvidos. Desse modo, a aula se torna momento de construção de conhecimento dialógico, em que ensino, aprendizagem e avaliação não se dissociam.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao CNPq (Processo
427352/2016-9) e a Fundação de Amparo à Pesquisa e Inovação do Estado de Santa
Catarina (FAPESC) pelo apoio financeiro aos Grupos de
Pesquisa NEPesTEEM e PEMSA.
