1. ENUNCIADO

Teorema 1 (Fundamental del Algebra). Todo polinomio no constante P(z) E C [z] con coeficientes complejos tiene alguna raiz compleja.

La demostracin se basa en los siguientes puntos elementales:

■ Quitando a C un ntimero finito de puntos queda un conjunto conexo.

Esto resulta de que el conjunto resultante es conexo por arcos, pues siempre se pueden unir dos puntos mediante una linea poligonal que evita el conjunto finito de puntos eliminados. Por supuesto, esta propiedad es falsa para la recta real r, para la cual cualquier punto es un punto de corte.

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

■ Todo polinomio tiene un nitmero finito de races.

Esto resulta de poder dividir P por z — a cada vez que a E C es una raiz.

■ El Teorema de la Funcion Implicita.

El cual es un teorema basico de un primer curso de Calculo Diferencial.

2. DEMOSTRACION DETALLADA

Basta considerar un polinomio monico P de grado d > 1. Sea C el conjunto finito de los puntos criticos de P, estos son las rakes de P', y D = P(C) el conjunto finito de los valores criticos de P. Sea R = {c E C; el polinomio P(z) — c tiene al menos una raiz simple y ninguna doble}. Entonces:

■ R C C — D. Porque si c E D, entonces c = P(zo) para algun punto critic() zo E C, por lo tanto P' (zo) = 0 y P(z) — c = 0 tiene zo como raiz doble. Observese que C — D es abierto y conexo puesto que D es finito.

■ R es abierto. Esto es una aplicacion simple del Teorema de la Funcion Implicita. Sea co ER C C— D, y zo E C una raiz de P(z) — co. Aplicando el Teorema la Funci6n Implicita a la ecuaci6n F(z, c) = P(z) — c = 0, puesto que T(zo,co) = (zo) 0, existe una vecindad U de co tal que para c E U se tiene una raiz z(c) de P(z) — c. Tomando U suficientemente pequefio, y por continuidad de P' y de c H z(c), se tiene que P' (z(c)) 0 y la raiz z(c) es simple. Puesto que C — D es abierto, se puede tomar U C C — D y P(z) — c no tiene ninguna raiz doble, por lo tanto U C R.

■ R es cerrado. en C — D. Se considera una sucesion cn c. E C — D, con c, E R. Se puede elegir

una raiz simple zn de P(z) — cn. La sucesion (z„),EN es acotada puesto que (c„),EN es acotada, en tanto que sucesion convergente y, cuando z 00, P(z)/zd 1 pues P es un polinomio m6nico, por lo tanto, cuando z es grande, z no puede ser raiz de P(z) — cn. Luego, se puede extraer una subsucesion convergente (znk)kEN• Por continuidad, el limite es una raiz de P(z) — co.s, por lo tanto, este polinomio tiene raices. Ademas, todas sus raices son simples pues E C— D.

■ R es un conjunto no vacio. Para cada a e C se tiene que para c = P(a), P(z) — c tiene al menos z = a como raiz. Si se toma a E C — P-1 (D), entonces para cualquier raiz zo de P(z) — c con c = P(a) se tiene P(zo) = P(a) D, luego zo P-1 (D), pero C C P-1 (D), zo C, y la raiz zo es simple.

Por lo anterior, el conjunto R es no vacio, abierto y cerrado en el conjunto conexo C — D, lo cual demuestra que R = C — D. Finalmente, una de dos:

■ Si 0 E D, entonces 0 = P(zo) para un punto critic() zo de P, que tambien es una raiz de P.

■ Si 0 D, entonces 0 E R = C — D y la ecuacion a P(z) — 0 = 0 tiene raices simples. En todos los casos, P tiene una raiz. Q.E.D.

3. COMENTARIOS

La demostracion precedente esta inspirada de una bella demonstracion de Daniel Litt (Litt, D., 2011), que trabaja en el espacio global de polinomios monicos de grado d > 1 (biholomorfo a Cd). Quitando la variedad algebraica Dd de polinomios con una raiz doble, que esta definida por la anulacion del discriminante de los polinomios. Utiliza entonces que el complemento de una varedad algebraica estricta en Cc/ es conexo. Esen- cialemente nuestra demostracion consigue lo mismo de una forma mas elemental trabajando en un espacio de polinomios de dimension 1. En particular, solo se precisa saber que el complemento de un conjunto finito en el piano es conexo (lo cual, para d = 1, es lo mismo que la conexidad del complemento de un subconjunto algebraico propio de Cd). Tambien se evita el use de discriminantes.

Por supuesto, para un Teorema tan fundamental y con tantas demostraciones, es ilusorio pretender origina- lidad. La demostracion mas proxima que se ha encontrado en la literatura es una demostracion publicada en el American Mathematical Monthly de Anindya Sen (Sen, A., 2000) que es ligeramente menos elemental al utilizar la propiedad topologica de un polinomio de ser propio.

Es interesante observar, que todos los argumentos de la demostracion son validos cuando el cuerpo de base es el cuerpo de los reales R, salvo la propiedad fundamental que cuando se quita un punto a III queda un espacio disconexo.

Agradecimientos

Agradezco a mis amigos Marie-Claude Arnaud, Kingshook Biswas, David Blazquez, Alain Chenciner y Yann Levagnini por sus comentarios y sugerencias que han mejorado notablemente la presentaci6n. En particular a Kingshook por una simplificacion.

Referencias

Litt, D. (2011). Yet another proof of the Fundamental Theorem of Algebra [En lineal, Manuscript. Disponible en: www.daniellitt.com/blog/2016/10/6/a-minimal-proof-of-the-fundamental-theorem-of- algebra

Sen, A. (2000). Fundamental Theorem of Algebra-Yet another proof, The American Mathematical Monthly, 107, 9, 842-843.