Introducción

El método de Newton-Raphson utiliza demostraciones algebraicas, cálculo diferencial, cálculo vectorial y análisis numérico para la aproximación de raíces. Cabe señalar que este método contiene errores de orden cuadrático. Por otro lado, para determinar las raíces de un polinomio de orden cúbico, se utiliza el método Tartaglia-Cardano. Esta es la razón por la que el algoritmo iterativo que se deduce tiene ventajas, pues, al encontrar la raíz de una función usando la raíz del polinomio cúbico, que se aproxima por series de Taylor, se obtiene un error de orden cuartico. Esto hace que la convergencia sea más segura, a pesar de que se usan puntos de inicio muy alejados con respecto al valor de la raíz. La forma de programación utilizada es sencilla porque el proceso de experimentación simplemente utiliza una hoja de cálculo. Algunas restricciones del modelo son que la función tenga una tercera derivada continua diferente de cero y que existan ciertos intervalos en donde se pueda tener un valor inicial.

Desarrollo

Definición de una función de una variable f(x) en serie de Taylor

Para formular una función f(x), que es m veces derivable, en polinomios por serie de Taylor, se utilizó la ecuación (1) (Leithold, 1998; Burden, Faires, y Burden, 2017):

Al llevar la serie de Taylor hasta un polinomio cúbico se tiene:

Obteniendo:

Definición de una función de dos variables f(x₁ , x₂) en serie de Taylor

Para fromular una función f(x₁, x₂), la cual puede ser m veces derivable, se utiliza su descomposición en polinomios por serie de Taylor (Colley, 2012; Conte, 1980):

Resolución algebraica de Tartaglia-Cardano para polinomios cúbicos

Para el polinomio de orden cúbico, se debe llevar al modelo de polinomio hacia donde este satisface a, b y c (Ivorra, 2020):

Donde una de las raíces reales cumplirá con:

Siendo:

Convergencia del algoritmo iterativo usando el polinomio de orden cúbico para funciones de una variable

Al combinar la serie de Taylor de la ecuación (3) con la resolución de Newton-Raphson f (xn+1)=0 (Burden, Faires, & Burden, 2017), se obtiene:

De la ecuación (10) se tiene que pasar al formato de la ecuación (5), dividiendo para f^III(x_n)/3! todos los términos del polinomio

Encontrando los valores de a, b y c:

Determinando los valores de las ecuaciones (7), (8) y (9):

Al aplicar los valores de las ecuaciones (15), (16) y (17) en la ecuación (5), se determina:

Al despejar x_n se determina el algoritmo iterativo:

Convergencia del algoritmo iterativo usando el polinomio de orden cúbico para funciones de dos variables

Aquí se usa el modelo de Newton-Raphson con el método de Tartaglia-Cardano para una función de dos variables. Para varias variables, se tiene que utilizar la serie de Taylor, en donde se realiza una reducción de términos, asumiendo que xn+1k - xn k= 0 cuando n -> ∞, excepto cuando los índices de las sumatorias sean iguales. Reduciendo la ecuación (4):

Donde: j={1,2}, se obtienen los siguientes valores de la ecuación (5) :

Donde: j={1,2}, se obtienen los siguientes valores de las ecuaciones (6), (7) y (8) :

Al aplicar los valores de las ecuaciones (23), (24) y (25) en la ecuación (5), se determina:

Al despejar x_n, se determina el algoritmo iterativo para una función de dos variables:

Análisis de resultados

Validación de la convergencia del algoritmo iterativo para funciones de una variable

A continuación, en los siguientes gráficos, se presentan los resultados que se obtuvieron de las pruebas que se realizaron con diferentes funciones, cuyas condiciones fueron que estas tengan la tercera derivada diferente de cero y en diferentes puntos de inicio:

A partir de las representaciones gráficas de esta experimentación, se puede deducir que el algoritmo iterativo tiene dos formas de convergencia. Este patrón se puede observarse visualmente cuando se aleja el valor de inicio de la raíz. En resumen, se puede concluir:

1. Al observar las curvas de convergencia, se verifica la formación de una línea recta decreciente entre log log (|f(x_n)|) y n. 1. Este proceso es lento. Lo que llama la atención es que para diferentes valores del punto inicial se obtienen rectas que son casi paralelas.

2. Cuando la curva se acerca a la raíz, su convergencia se acelera cambiando la pendiente de la curva rápidamente por cada iteración.

Esta es la razón por la que se puede determinar una aceleración al diferenciar cuando esta se encuentra entre los dos patrones. A continuación, se presentan el análisis de los siguientes casos:

a) Si los Δx_n+1 ≠ Δx_n , a) el patrón se encontraría en los siguientes gráficos:

Para acelerar la convergencia, se predice el valor de la distancia del valor de inicio con respecto a la raíz. Si se utiliza la expresión de la recta por número de iteración n:

Obtenemos la pendiente de la recta m:

Obtenemos la intersección de la recta b:

Si se establece que y=0, se obtiene el número de iteraciones n:

Si se convierte n en entero:

De manera que se determina la distancia entre el valor inicial y la raíz al obtener x_i+n*Δx_i

a) Si los Δ x_n+1=Δx_n, se encontraría el patrón en los siguientes gráficos.

Si este patrón se repite, el primer proceso de convergencia puede ser acelerado al considerar el patrón de las iteraciones, lo que, a su vez, puede determinar un procedimiento para calcular la distancia entre el valor inicial y la raíz. Si para esto se utiliza la ecuación de la recta por iteración n:

Obtenemos la pendiente de la recta m:

Obtenemos la intersección de la recta b:

Por lo que el modelo sería:

Si se establece que y=0, se tendría a n:

El valor de n debe ser entero y estar antes de la zona de convergencia, por lo que se le restará 3 iteraciones. Obteniendo:

De manera que se pueda determinar la distancia entre el valor inicial y la raíz al obtener x_i+n*Δx_i. Esto mejora el algoritmo iterativo de la ecuación (27) y permite obtener la expresión:

● Si Δx_n+1≠Δx_n, entonces

● Si Δx_n+1=Δx_n, entonces

Validación de la convergencia del algoritmo iterativo utilizando un predictor de distancia entre el punto inicial y la raíz para funciones de una variable

Considerando los casos anteriores:

a) Si Δx_n+1=Δx_n en la función f(x)=e^x-100, al aplicar el coeficiente de aceleración, se obtienen menos iteraciones.

a) Si Δx_n+1≠ Δx_n en la función f(x)=(x-10)⁶-10⁶, al aplicar el coeficiente de aceleración, se obtienen menos iteraciones.

Obsérvese cómo, sin importar la distancia del punto de inicio, se disminuyen las iteraciones con respecto a la Figura 5.

Validación de la convergencia del algoritmo iterativo para funciones de dos variables

Para f(x,y)=e^x*y-1, se repiten las curvas de convergencia (ver Figura 12).

Conclusiones

Después de las aplicaciones, deducciones algebraicas y aplicaciones de funciones que ayudan a reducir el número de pasos, se puede obtener una generalización del algoritmo iterativo para algunas variables:

Donde j determina las variables y n el número de iteraciones.

El método de uso de resolución de una raíz cúbica es un proceso que converge mientras se cumplan las condiciones de los valores √Δj n, y esto se obtiene si los valores de Δj n ≥0. Esto ayuda a definir intervalos de valores en donde no se puede iniciar.

Utilizar la memoria de los valores de las iteraciones, ayuda a definir modelos matemáticos que permitan acelerar ecuaciones iterativas.

Las funciones encontradas en las curvas de convergencias podrían convertirse en un patrón que determine ecuaciones iterativas para la búsqueda de una raíz en diferentes funciones.

Referencias

Leithold, L. (1998). El Cálculo. México: Oxford University Press.

Artega, J., & Malakhaltsev, M. (2013). Cálculo Vectorial. Mexico: Cengage Learning Editores S.A.

Burden, R., Faires, D., & Burden, A. (2017). Análisis numérico. México: Cengage Learning.

Colley, S. (2012). Vector Calculus. New York: Pearson.

Conte, S. D. (1980). Elementary numerical analysis: algorithmic approach. New York: McGraw-Hill.

Marsden, J., & Tromba, A. (1991). Cálculo vectorial. México DF: Addison-Wesley Iberoamericana.

Taylor, A. E., & Mann, W. R. (1983). Advanced Calculus. New York: Wiley.

Weintraub, S. (1996). Differential forms, a complement to vector calculus. New York: Academic Press.

Ivorra, C. (2020, 10 01). Las fórmulas de Cardano-Ferrari. Retrieved from Universidad de Valencia: https://www.uv.es/ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf