Introducción

En proyectos hidráulicos que requieren de un diseño hidrológico es primordial estudiar las precipitaciones mediante un proceso que se conoce como determinación de los eventos de lluvia. La determinación de dichos eventos se realiza mediante un análisis que establezca una relación entre la intensidad de lluvia, duración y frecuencia (IDF). En esta relación, los datos generalmente se presentan con un gráfico donde el eje horizontal corresponde a la duración y el eje vertical a la intensidad, cada período de retorno considerado (frecuencia) se muestra a través de una serie de curvas (Chow et al., 1994).

Para la elaboración de las curvas IDF se puede recurrir a registros de precipitación de estaciones pluviográficas o estaciones pluviométricas, instrumentos cuya presencia en algunos sitios puede ser escasa o nula. Estos instrumentos pueden volverse obsoletos de manera temprana cuando no hay un correcto mantenimiento, provocando ausencia de datos en los registros; además, la información generada por las estaciones no es de libre acceso en su totalidad. Este escenario es muy común en el Ecuador y se puede corroborar con los anuarios meteorológicos del Instituto Nacional de Meteorología e Hidrología (INAMHI), considerando el período de 1990-2013; los registros incompletos son evidentes según varios trabajos de investigación (Carrera V. et al., 2016; INAMHI, 2008).

El objetivo de esta investigación es crear un modelo de regionalización de las constantes de la ecuación de las curvas de IDF en las provincias de Santa Elena y Manabí, mediante un análisis estadístico de datos de precipitación para obtener parámetros hidrológicos en sitios con información escasa o inexistente.

Materiales y Métodos

Curvas de Intensidad-Duración-Frecuencia (IDF)

Las curvas de intensidad-duración-frecuencia son gráficas que representan las características de las tormentas que tienen ocurrencia en una zona o región. La lluvia es un evento definido por tres variables: magnitud (lámina de precipitación), duración y frecuencia (período de retorno); sin embargo, para un análisis más completo se toma en consideración la intensidad en lugar de la lámina de precipitación (Campos A., 1998).

Período de Retorno

El período de retorno hace referencia a un intervalo promedio de tiempo dentro del cual un evento puede suceder en igual o mayor magnitud (Varas C. & Bois, 1998).

El estudio de las precipitaciones a través de un análisis de curvas IDF es fundamental en las primeras etapas de proyectos que demanden diseños hidrológicos e hidráulicos. Para trazar estas curvas, la intensidad se expresa en mm/hr, la duración en minutos y la frecuencia o período de retorno en años. La Figura 1 muestra un esquema general de presentar las curvas IDF en escala aritmética (Chow et al., 1994).

Una de las expresiones para representar las curvas IDF fue presentada por Bernard (1932):

Donde:

$I$:intensidad, en mm/hr;

$D$:Duración de lluvia, en minutos;

$T$:Período de retorno en años;

$\mathit{k,\; m,\; n}$:Parámetros de ajuste.

Para el desarrollo de un mapa de zonificación de las curvas de intensidad, duración y frecuencia (IDF), primero se deben obtener los parámetros de la ecuación para tales curvas. En la Figura 2 se presenta un esquema de las fases involucradas en el proceso de regionalización de las curvas IDF.

Recolección de Información Pluviométrica

Las mediciones de lluvia pueden variar de un lugar a otro, y en un mismo lugar según el tiempo. Antes de emplear métodos estadísticos para modelar este comportamiento espacio-temporal, es necesario constatar que los registros sean completos, consistentes y con una extensión suficiente (Chereque M., 1989).

En esta investigación se recopilaron datos de 42 estaciones meteorológicas, con información que acumula entre 10 y 24 años de registros. Parte de esta información meteorológica fue proporcionada directamente por el Instituto Nacional de Meteorología e Hidrología y, otra parte, se obtuvo a partir de los anuarios disponibles en la biblioteca virtual de tal institución. Como producto de completar los registros, empleando el método de regresión lineal, el 47,62% tienen 20 o más años con registros completos, un 69,05% cuentan con 15 o más años y un 30,95% tienen entre 10 y 14 años de información. En la Tabla 1 se pueden visualizar los datos generales de cada estación: código, nombre, provincia, ubicación en sistema de coordenadas geográficas (grados, minutos y segundos), entre otros.

En la Figura 3 se aprecia la distribución espacial de las estaciones meteorológicas.

Curvas IDF a partir de Datos de Precipitación Máxima en 24 Horas

El procesamiento estadístico de las precipitaciones máximas en 24 horas (eventos extremos de precipitación) tiene como propósito obtener una estimación de las lluvias máximas diarias para determinados períodos de retorno, acorde a las necesidades de diseño de obras hidráulicas. Los datos estimados sirven de base para la construcción de curvas IDF (Campos A., 1998).

Para el análisis estadístico, de los datos pluviométricos de una estación meteorológica, se seleccionan los valores máximos diarios por cada año (dentro del intervalo de tiempo considerado, en el cual se posean datos pluviométricos). Esta colección es la que se emplea para la determinación de la precipitación máxima probable, aplicando métodos como la distribución de probabilidad Tipo I o de Gumbel.

Distribución de Probabilidad para Valores Extremos Tipo I o de Gumbel

Gumbel (1958) ha demostrado que al suponer un número de muestras, que a la vez contienen eventos cada una, y seleccionar el máximo de los eventos, se puede exponer que, a medida que incrementa, la función de distribución de probabilidad de tiende a:

es la función de la probabilidad de no ocurrencia (o de no excedencia) de acuerdo con la distribución de Gumbel.

Donde:

y son los parámetros de la función y se estiman como (Aparicio M., 1992):

y son la desviación estándar y media de orden estadístico, , de una muestra de tamaño ordenada de tal modo que para el mayor de los eventos extremos y para el evento extremo con menor magnitud. Estos parámetros son función del tamaño de la muestra.

es la desviación estándar de la muestra y se obtiene como:

es la media de los eventos máximos.

En la Tabla 2 se muestran los diferentes valores que adoptan y para distintos tamaños de muestra:

Para obtener un evento máximo , dado su período de retorno , se utiliza la fórmula correspondiente a la distribución de Gumbel:

Mediante la ecuación [6], se determinan las precipitaciones máximas probables para distintos períodos de retorno, con respecto a cada una de las estaciones sujetas a estudio. Segú el U.S. Weather Bureau, se recomienda aplicar, a estas precipitaciones máximas probables, un factor de corrección de 1,13 para convertir datos medidos en intervalos fijos (pluviómetros) a mediciones en intervalos continuos (pluviógrafos). El factor 1,13 es un valor empírico, producto de un análisis de series anuales de valores máximos de precipitación; concretamente, fue obtenido como la media de la razón entre los valores de precipitación acumulada (diaria) de intervalos continuos y los de intervalos fijos de una medición cada 24 horas (Hershfield, 1961).

Los valores obtenidos de precipitación máxima probable son validados mediante lo que se denominan pruebas de bondad de ajuste: Test Kolmogorov – Smirnov y Coeficiente de determinación.

Test Kolmogorov – Smirnov

Esta prueba de bondad de ajuste parte de la comparación entre las funciones de distribución acumulativa (frecuencia observada), que se aprecia al ordenar la muestra, y la distribución propuesta o frecuencia teórica (Canavos, 1994).

La prueba se basa en la diferencia absoluta máxima , entre los valores de la distribución acumulativa observada de una muestra cualquiera de tamaño , y una distribución acumulativa teórica (Johnson et al., 2012):

Donde:

1. frecuencia observada;

2. frecuencia teórica (Distribución normal, log-normal, Gumbel, entre otras).

El valor es comparado a un valor crítico que varía según el número de datos y de acuerdo con el nivel de significancia.

La frecuencia observada se obtiene como:

Donde:

1. m: número de orden del dato ;

2. : número total de datos.

El nivel de significancia es una probabilidad de error, un nivel de significancia de 0,05 representa una confianza del 95%, por ejemplo.

Finalmente, si , la distribución utilizada es aceptada. Los valores que puede adoptar , se muestran en la Tabla 3.

Coeficiente de Determinación

El coeficiente de determinación se expresa como (Pizarro & Novoa, 1986):

Donde:

1. : coeficiente de determinación ;

2. frecuencia observada;

3. frecuencia teórica;

4. : media de las frecuencias acumuladas observadas.

Mientras el coeficiente de determinación sea más cercano a 1, mejor es el grado de asociación o correlación de la distribución empleada.

Las precipitaciones máximas probables, para cada período de retorno establecido (2, 5, 10, 25, 50, 100, 150, 200, 300 y 500 años), son convertidas de duraciones diarias a duraciones en horas, esto se logra por medio de los coeficientes propuestos por Campos A. (1998) que se muestran en la Tabla 4:

Las precipitaciones obtenidas son divididas por sus duraciones para obtener las respectivas intensidades de precipitación.

Regresión Lineal Múltiple

La ecuación [1] en su forma logarítmica se convierte en la ecuación [10]:

Al realizar un cambio de variables a la ecuación [10], se obtiene la ecuación [11]:

Donde:

Resolviendo el sistema de ecuaciones [12], se obtienen los parámetros y

Regionalización

Conforme a la Comisión Nacional para el Conocimiento y Uso de la Biodiversidad (CONABIO) del gobierno de México, la regionalización es una metodología que involucra la modificación del orden territorial de un Estado para obtener componentes territoriales más pequeños (CONABIO, 2017).

En la hidrología, la regionalización se sustenta en un concepto de homogeneidad hidrológica en una región. Dicho de otro modo, consiste en la división de una zona de estudio en regiones menores con características similares en los aspectos climáticos, orográficos, entre otros (Acosta C. & Caro C., 2016).

Esta metodología permite trasladar los datos hidrológicos observados en un lugar a otro sitio donde la información es nula.

Métodos de Análisis Espacial para Regionalización de Parámetros

La espacialización incluye un conjunto de métodos que describen como un conjunto de datos en un sistema de coordenadas, generalmente cartesianas, dependen de los datos de estaciones vecinas. Los principales objetivos de la espacialización son la condensación y la visualización de datos, permitiendo la obtención de información nueva o ampliada, partiendo de información existente (Schöner & Tveito, 2002).

Método de Ponderación Inverso a la Distancia

El método de ponderación inverso a la distancia o Inverse Distance Weighting (IDW) es un tipo de interpolación que hace la suposición de que los puntos medidos tienen una influencia local, que va disminuyendo conforme aumenta la distancia, permitiendo que un número de estaciones vecinas sean incluidas en la estimación del valor interpolado. Cuanto más cerca están las estaciones, el método pondera con un mayor peso, dado que es el inverso de la distancia.

El peso de la distancia es elevado a una potencia de ponderación que tiene, en general, valores que van de 0 a 2.

Le corresponde la siguiente expresión (Shepard, 1968):

1. : valor interpolado en la localización (ubicación sin datos)

2. : valor medido en la localización

3. : distancia entre la i-ésima ubicación medida (estación vecina) y la ubicación

4. : función indicadora con valor de 1 si y con valor 0 si .

Donde r denota el radio de las estaciones vecinas; es decir, la región alrededor de la ubicación predicha, desde la cual se toman en cuenta los valores medidos para la interpolación espacial.

Kriging Ordinario

La predicción obtenida por Kriging Ordinario es una combinación lineal de valores medidos debido a que es un promedio pesado de tales datos:

Donde:

1. : representa los pesos o ponderaciones de los valores medidos, calculados en función de la distancia entre los puntos muestreados y el punto a estimar;

2. : valor interpolado en la localización (ubicación sin datos);

3. : valor medido en la localización .

Los coeficientes lineales () se calculan bajo la condición de insesgadez (que los valores teóricos sean idénticos a los reales; es decir, con error = 0) de tal manera que la suma de estos pesos sea igual a 1:

De este modo, la esperanza del predictor se supone idéntica a la esperanza real de la variable, respectivamente:

Otra restricción es de la varianza mínima del error de predicción (varianza kriging):

Los detalles de esta teoría pueden ser observados en Cressie (1991) y Wackernagel (2003).

Los métodos de interpolación o análisis espacial descritos son empleados por medio de softwares SIG (Sistema de Información Geográfica) como QGIS.

Validación de los Métodos de Análisis Espacial

La muestra ha sido dividida en 2 partes: una muestra para realizar el modelo de interpolación, correspondiente al 95% de los datos y otra muestra de prueba, con el 5% restante para la validación. La distribución de las estaciones asignadas en cada parte se ilustra en la Figura 4.

Las estaciones M0005 y M0780 son las consideradas para la muestra de prueba. Los valores de y (calculados por medio de regresión lineal múltiple), correspondientes a estas estaciones, son comparados a los obtenidos mediante la lectura de los mapas generados por Distancia Inversa Ponderada y Kriging Ordinario para el cálculo del error relativo. El error se calcula con la ecuación [18].

Estándares del Open Geospatial Consortium (OGC)

El Open Geospatial Consortium (OGC) es una organización dedicada a la creación de estándares geoespaciales abiertos, esto hace referencia a determinado conjunto de normas cuyo propósito es impulsar que la información y servicios geoespaciales sean accesibles, interoperables, reutilizables y fáciles de encontrar. La interoperabilidad hace referencia a la capacidad de intercambiar información y utilizarla (OGC, 2022a).

Los servicios que técnicamente obedecen a las normas establecidas por la OGC, son reconocidos como estándares OGC y hacen posible que organizaciones de carácter público puedan intercambiar la información geoespacial de manera interna o de manera abierta a la ciudadanía.

Servicio de Mapas Web (WMS)

El Servicio de Mapa Web o Web Map Service Interface Standard (WMS) es un estándar OGC que permite servir y solicitar un conjunto de imágenes georreferenciadas, por medio de internet. JPEG y PNG son los formatos de imagen típicos que devuelve tal solicitud, esto hace posible (indirectamente) que los mapas puedan ser mostrados en un navegador web (OGC, 2022b).

Servicio de Cobertura Web (WCS)

El Servicio de Cobertura Web o Web Coverage Service (WCS) es un estándar OGC que posibilita servir y solicitar por medio de internet un conjunto de archivos en diferentes formatos de ráster (píxeles) (OGC, 2022c).

Los servicios WMS y WCS pueden ser generados a partir de QGIS con ayuda del complemento de Gisquick. Para compartir mapas desde los servidores de Gisquick, es necesario registrarse en https://projects.gisquick.org/user/.

Resultados y Discusión

Los datos de precipitación máxima diaria, de cada estación meteorológica, fueron evaluados para comprobar si se ajustan a la distribución de Gumbel, esto a través de las pruebas de bondad de ajuste: Kolmogorov – Smirnov y Coeficiente de Determinación.

Para la prueba de Kolmogorov – Smirnov se ha considerado un nivel de significancia de 0,05 (confianza del 95%), este es uno de los dos parámetros requeridos para obtener el valor crítico a partir de la Tabla 3, el otro parámetro es el número de datos de cada estación y que corresponde a los años con registros completos. Los resultados de esta prueba se contemplan en la Tabla 5.

Como se observa en la Tabla 5, la prueba de Kolmogorov – Smirnov no admite la distribución de Gumbel para la estación M0169, puesto que para tal estación . En el resto de las estaciones sí se cumple con .

Los resultados de la prueba del Coeficiente de Determinación () se muestran en la Tabla 6.

De acuerdo con la Tabla 6, la prueba del Coeficiente de Determinación no valida la distribución de Gumbel Tipo I para las estaciones M0169 y M0452 (no son recomendables coeficientes por debajo de 0.70). En el resto de las estaciones, el adopta valores superiores a 0,88 y esto indica que la distribución de frecuencias se ajusta bastante bien.

Debido a los resultados de las pruebas de bondad de ajuste, se ha decidido excluir las estaciones M0169 y M0452 en el proceso de zonificación de las curvas de intensidad, duración y frecuencia.

La Tabla 7 evidencia los parámetros y obtenidos para las 40 estaciones que se ajustan a la distribución de Gumbel.

Los resultados de la zonificación de los parámetros de las ecuaciones para las curvas de intensidad, duración y frecuencia (IDF) en las provincias de Santa Elena y Manabí, mediante los métodos de interpolación de Distancia Inversa Ponderada (IDW) y Kriging Ordinario (KO), se muestran en la Figura 5 y Figura 6, respectivamente.

En la Figura 5 y Figura 6 se puede apreciar que el valor de tiene una tendencia creciente en dirección Suroeste – Noreste, mientras que para es todo lo contrario; es decir, tiene una tendencia creciente en dirección Noreste – Suroeste. De los dos términos mencionados, el parámetro es el que mayor influencia tiene en la determinación de las intensidades de lluvia; entonces, es evidente que, en el Norte de la zona estudiada, se presentan las mayores intensidades.

Comparando los métodos IDW (Figura 5) y KO (Figura 6) se deduce que, el primer método de análisis espacial empleado, tiene mayor presencia de picos locales, lo que significa que la interpolación por Kriging Ordinario distribuye de una mejor manera los datos analizados. En términos de homogeneidad y regularidad, la manera en que el método de Distancia Inversa Ponderada concentra algunos valores, lo convierte en el menos adecuado para la regionalización de las curvas IDF en las provincias de Santa Elena y Manabí.

Según lo evidenciado en la Tabla 7, el valor de es constante (0,61639), esto indica que sin importar el método que se aplique para su regionalización, el resultado será un mapa cuya magnitud no difiere en toda su extensión, como se aprecia en la Figura 5 y Figura 6. Por este motivo, en la determinación de errores para los métodos IDW y KO, solo se hace referencia a los parámetros y . Estos errores son en relación con los valores de la Tabla 8 y se muestran en la Tabla 9 y Tabla 10.

Ambos métodos de interpolación presentan errores menores al 10%, por lo que, son completamente válidos. Como se ha indicado en la comparación gráfica, debido a criterios de regularidad y homogeneidad, el método de Kriging Ordinario ha sido considerado como el más apropiado para representar una zonificación de las curvas IDF en las provincias de Santa Elena y Manabí.

Los mapas generados, aplicando Kriging Ordinario para la regionalización de los parámetros de las ecuaciones de las curvas de intensidad-duración-frecuencia en las provincias de Santa Elena y Manabí, han sido publicados como una aplicación web creada en ArcGIS Online. Esta aplicación permite visualizar las capas del mapa a través de un navegador web, accediendo desde el siguiente enlace: https://arcg.is/1CCKeO0. La aplicación, dentro de sus opciones, pone a disposición otro enlace que permite el acceso remoto desde QGIS a cada una de las capas que pertenecen a los mapas mencionados. Las capas se pueden agregar como servicio de imágenes (WMS) o como capas ráster (WCS) añadiendo tal enlace.

Conclusiones

Los métodos de análisis espacial de Distancia Inversa Ponderada y Kriging Ordinario son válidos para generar un modelo de regionalización que represente la variación de los parámetros de las curvas de intensidad, duración y frecuencia (IDF). Ambos presentan un error inferior al 10% en la determinación de tales parámetros, si se los compara a los obtenidos mediante regresión lineal múltiple en estaciones excluidas en las respectivas interpolaciones. Se evidencia que el método de Kriging Ordinario se adapta mejor a la distribución de los datos, dado que no genera picos locales como la Distancia Inversa Ponderada, por ende, el mapa publicado en ArcGIS online se desarrolló a partir de Kriging Ordinario. Este mapa permite leer los parámetros y de las ecuaciones para las curvas IDF en cualquier sitio dentro de las provincias de Santa Elena y Manabí. Para acceder al mapa web se debe visitar el siguiente enlace: https://arcg.is/1CCKeO0, entre sus opciones ofrece un vínculo para integrar el servicio WMS/WCS en softwares SIG de escritorio como QGIS.

Referencias

Acosta, P. y Caro, C. (2016). Regionalización De Parámetros Hidrológicos. Aplicación para Intensidad Media de Precipitación. V Congreso Internacional de Ingeniería Civil, 56–62. http://revistas.ustatunja.edu.co/index.php/lingenieux/article/view/1366

Aparicio, F. (1992). Fundamentos de Hidrología de superficie. Limusa.

Bernard, M. (1932). Formulas For Rainfall Intensities of Long Duration. American Society of Civil Engineers. https://doi.org/10.1061/TACEAT.0004323

Campos, D. (1998). Procesos del ciclo hidrológico. Universidad Autónoma de San Luis Potosí. https://repositorioinstitucional.uaslp.mx/xmlui/handle/i/3331

Canavos, G. (1994). Probabilidad y Estadística - Aplicaciones y Métodos. McGraw-Hill Companies.

Carrera, D., Guevara, P., Tamayo, L., Balarezo, A., Narváez, C. y Morocho, D. (2016). Relleno de series anuales de datos meteorológicos mediante métodos estadísticos en la zona costera e interandina del Ecuador, y cálculo de la precipitación media (Vol. 34). http://www.dspace.uce.edu.ec/bitstream/25000/14601/1/Relleno%20de%20series%20anuales%20de%20datos%20meteorol%C3%B3gicos%20mediante.pdf

Chereque, W. (1989). Hidrología para estudiantes de ingeniería civil (2a ed.). PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU. http://repositorio.pucp.edu.pe/index/handle/123456789/28689

Chow, V., Maidment, D., y Mays, L. (1994). Hidrología Aplicada (1a ed.). Mcgraw Hill Interamericana S A.

Comisión Nacional para el Conocimiento y Uso de la Biodiversidad (CONABIO). (2017). Regionalización. http://www.conabio.gob.mx/conocimiento/regionalizacion/doctos/regionalizacion.html#:~:text=La%20regionalizaci%C3%B3n%20implica%20la%20divisi%C3%B3n%20de%20un%20territorio,conocimiento%20de%20los%20recursos%20para%20su%20manejo%20adecuado

Cressie, N. (1991). Statistics for spatial data. John Wiley & Sons INC. https://www.wiley.com/en-us/Statistics+for+Spatial+Data%2C+Revised+Edition-p-9781119115175

Gumbel, E. (1958). Statistics of Extremes. Columbia University Press.

Hershfield, D. (1961). Rainfall Frequency Atlas of the United States, for Durations from 30 Minutes to 24 Hours and Return Periods from 1 to 100 Years. U.S. Weather Bureau Technical Paper No. 40, May 1961, 61. https://reduceflooding.com/wp-content/uploads/2018/09/TechnicalPaper_No40.pdf

Instituto Nacional de Meteorología e Hidrología (INAMHI). (2008). Estudio Hidrológico de Inundaciones en la Cuenca Alta de Chone. https://issuu.com/inamhi/docs/chone

Johnson, R., Miller, I. y Freund, J. (2012). Probabilidad y estadística para ingenieros (8a ed.). Pearson Educación de México.

Open Geospatial Consortium (OGC). (2022a). About OGC. Vision and Mission. https://www.ogc.org/about

Open Geospatial Consortium (OGC). (2022b). Standards. Web Map Service. https://www.ogc.org/standards/wms

Open Geospatial Consortium (OGC). (2022c). Standards. Web Coverage Service. https://www.ogc.org/standards/wcs

Pizarro, M. y Novoa, O. (1986). Elementos técnicos de hidrología. https://issuu.com/patricionovoa9/docs/elementos_t__cnicos_de_hidrolog__a_

Schöner, W. y Tveito, O. (2002). Applications of spatial interpolation of climatological and meteorological elements by the use of geographical information systems (GIS). Meteorologisk institutt. https://www.met.no/publikasjoner/met-report/met-report-2002

Shepard, D. (1968). Two- dimensional interpolation function for irregularly- spaced data. Proc. of 23rd ACM National Conference, 517–524. https://doi.org/10.1145/800186.810616

Varas, E. y Bois, P. (1998). Hidrología Probabilística. Ediciones Universidad Católica de Chile.

Wackernagel, H. (2003). Multivariate Geostatistics (3a ed.). Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-05294-5