1. Introducción

El concepto de funciones que preservan la métrica aparece por primera vez en el artıculo (Wilson, 1935) y a partir de ese momento es investigado por muchos autores; ver, por ejemplo, (Borsik and Dobous, 1988; Corazza, 1999; Pongsriiam and Termwuttipong, 2014). Aquí no es la excepción, grosso modo, la idea central en esta temática es la que establece el problema siguiente:

Pregunta. ¿Bajo qué condiciones, f: [0, ∞) → [0, ∞) satisface que, para cualquier espacio métrico (X, d), se tiene que f o d es una métrica?

En la actualidad, existen otros tipos importantes de distancias que aún no han sido exploradas o desarrolladas en relación con las funciones que preservan las m éticas, a saber, el trimétrico, .–distancias, y τ–distancias. Estas distancias tienen muchas aplicaciones en matemáticas; ver, por ejemplo, aplicaciones de .–distancias y τ–distancias en (Włodarczyk and Plebaniak, 2013; Suzuki, 2008).

Luego, una inquietud natural, motivada por la pregunta anterior, es:

Pregunta general. ¿Bajo qué condiciones, f: [0, ∞) → [0, ∞) satisface que, para cualquier .b–métrica, .w–distancia, o τ–distancia

d en x, se cumple que, f ◦ d es una b–métrica, w– distancia o τ–distancia en x?

El objetivo de este trabajo es analizar el problema general, centrados particularmente en el caso del ultramar cas, ultra métricas d ediles y b–métricas extendidas. El trabajo está inspirado, en su mayor ya, en las obras (Khemaratchata kumthorn and Pongsriiam, 2018) y (Khemaratchatakumthorn and Pongsriiam, 2019). Ellos investigan algunas relaciones entre las métricas, ultra métricas y b–métricas, y proporcionan una descripción completa entre estas familias.

Nosotros, en este trabajo, presentamos algunos resultados originales: la Nota 2.2 es muy importante, ya que (Khemarat chatakumthorn and Pongsriiam, 2018, Lema 13) comentan que, la demostración, se sigue del hecho que, todo espacio métrico es b–métrico, aquí incluimos su prueba. La Nota 2.6 y Lema 3.2, fáciles de demostrar, sus pruebas son obtenidas como un eje dijo que nos planteamos en su momento. Sobre las funciones que preservan la ultra métrica, ultra métricas dediles, se encuentra: la Nota 4.2, Definición 4.3 inciso (b), s embolo UD, Proposición 4.4, Corolario 4.6 y Corolario 4.8. Respecto a b–métricas extendidas: Observación 5.2, Observación en 5.3, símbolo BE, Definición 5.4, Teorema 5.5, Observación 5.6 y Teorema 5.7

Deseamos que este trabajo motive o estimule la curiosidad para ampliar la información acerca de este tópico y contribuya al desarrollo de esta área.

Para llevar a cabo esta investigación, hemos contemplado cinco secciones como indicamos a continuación. En la sección de preliminares proporcionamos los conceptos, notas y resulta dos importantes que serán de utilidad en el desarrollo de esta tarea. En la sección de definiciones y propiedades b asicas, incluimos el estado actual de las funciones que preservan la métrica, .b– métrica, .b–métrica–m ética y métrica–.b–métrica. En la sección de ultra métricas y ultra métricas d ediles buscamos alguna conexión entre ellas y con las b–métricas. En la sexi en de espacios .b–métricos y b–métricos extendidos generalizamos algunas propiedades de las familias de funciones que preservan la .–métrica al espacio de funciones que preservan la b–métrica extendida.

Finalmente, comentamos que la noción de b–métrica aparece por primera vez en el artıculo (Bakhtin, 1989) y, a partir de ahí, muchos autores lo referencian, ver por ejemplo (Czerwik, 1993; Khemaratchatakumthorn and Pongsriiam, 2019).

2. Preliminares

Empezamos esta sección recordando las definiciones de métrica y b–métrica

Definición 2.1. Sea X un conjunto cualquiera no vacío.

A) Una métrica en X es una función d: X ×X → [0, ∞) que satisface las siguientes propiedades: para cada x, y, z ∈X se tiene que

(M1) d (x, y) =0 si y solo si x =y,

(M2) d (x, y) =d (y, x) (simetría),

(M3) d (x, y)d (x, z) + d (z, y) (desigualdad triangular).

B) Una b–métrica en X, es una función d que satisface (M1), (M2) y, la desigualdad triangular se sustituye por la desigualdad s triangular:

(B3) existe

C) El par (X, d) es llamado espacio métrico si d es una métrica en X, y dicho par es un espacio b–métrico cuando d es una b– métrica en X.

Observemos que si (X, d) no es un espacio b–métrico, entonces para cada s 1, existen puntos x, y, z X tales que d (x, y) >s (d (x, z) + d (z, y)). En particular, para s = 1 obtenemos que, existen x, y, z X tales que d (x, y) > d (x, z) + d (z, y). En otras palabras, (X, d) no es un espacio métrico. Hemos verificado:

Nota 2.2. Si (X, d) es un espacio métrico, entonces es también un espacio b–métrico.

Para concluir esta sección, recordaremos algunas nociones que serán empleadas en el resto del trabajo, entre otras, la de función que preserva la m ética. Para el lector interesado en profundizar en esta temática, le recomendamos el capıtulo: Funciones que preservan la métrica, que puede consultar en (Martínez et al., 2011).

Definición 2.3. Sea f: [0, ∞) → [0, ∞) una función. Se dice que:

(a) f preserva la métrica si para cualquier espacio métrico (X, d), se tiene que f ◦d es una métrica en X. Además, f preserva la métrica fuertemente, si para cualquier métrica d, se tiene que, f ◦d es equivalente a d.

(b) f es flexible si y solo si f −1({0}) = {0}.

(c) f es su aditiva si para cualesquiera x, y ∈ [0, ∞) se cumple que f (x + y) ≤ f (x) + f (y).

(d) f es casisubaditiva si existe s ≥ 1 tal que se cumple f (x + y) ≤ s (f (x) + f (y)) para toda x, y ∈ [0, ∞).

(e) f es convexa si f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t) f (x) + t f (y) para cualesquiera x, y ∈ [0, ∞) y t ∈ [0, 1].

(f) f es cóncava si (1 − t) f (x) + t f (y) ≤ f ((1 − t) x + ty) para cualesquiera x, y ∈ [0, ∞) y t ∈ [0, 1].

(g) f es creciente en un intervalo I ⊆ [0, ∞) si para cada x, y ∈ I con x < y, tenemos que f (x) ≤ f (y).

(Dobous, 1998), hace el siguiente comentario: es fácil ver que, toda función que preserva la métrica es flexible. Incluimos la prueba.

Nota 2.4. Si f: [0, ∞) → [0, ∞) es una función que preserva flexible.

Demostración. Supongamos que, para cada espacio métrico (X, d), tenemos que, f ◦ d es una métrica. En particular, se cumple que,

x =y si y solo si 0 =( f ◦d)(x,y) =f (d(x,y)). De aquí se desprende que, f (0) =0.

Nuevamente, se debe a (Dobous, 1998), parte de la demostración de la siguiente Nota.

Nota 2.5. Si f: [0, ∞) → [0, ∞) es cóncava y flexible, entonces f es su aditiva y creciente.

Demostración. Para establecer el resultado, sean Consideremos dos casos.

Caso 1. Si x = y, entonces de la concavidad y flexibilidad de f se sigue que

s decir, f (x + y) ≤ 2 f (x) = f (x) + f (y).

Caso 2. Si x < y, entonces existe t ∈ [0,1] tal que x = (1 t) y y, por consiguiente, y = t (x + y) +(1 t) x. Una vez más, la concavidad y la flexibilidad de f implican que

(1 − t) f (y) = t f (0) + (1 − t) f (y) ≤ f ((1 − t)y) = f (x),

y

t f (x + y) + (1 − t) f (x) ≤ f (t(x + y) + (1 − t)x) = f (y).

De estas desigualdades se sigue que

t f (x + y) + (1-t)( f (x) + f (y)) ≤ f (x) + f (y),

lo cual es equivalente a f (x + y) ≤ f (x) + f (y).

Ambos casos implican que f es subaditiva.

Veamos ahora que f es creciente. Supongamos que existen a, b ∈ [0, ∞) tales que a < b y f (a) > f (b). Pongamos

Como f es cóncava, se sigue que

o, equivalentemente,

De aquí f (y) ≤0. Pero f (y) ≥0, así que f (y) = 0, lo cual nos da una contradicción al hecho de que y > 0 y f es flexible.

Por otra parte, si f no es casi-subaditiva, entonces para cada s 1, existen x, y [0,) tales que f (x + y) > s (f (x) + f (y)). En particular, para s =1, obtenemos que, existen y [0,) tales que f (x + y) >f (x) + f (y). En otras palabras, f no es su aditiva. Hemos demostrado

Nota 2.6. Si f: [0, ∞) → [0, ∞) es su aditiva, entonces f es casisubaditiva.

Algunos resultados relacionados con funciones que presar van la métrica son los siguientes:

Lema 2.7. Si f es una función que preserva la métrica, entonces f es su aditiva.

Demostración. La prueba puede ser consultada, por ejemplo, en (Corazza, 1999, Proposición 2.1)

Lema 2.8. Si f es una función que preserva la métrica, entonónces f es casisubaditiva.

Lema 2.9. Si f: [0, ∞) → [0, ∞) es cóncava y flexible, entonces f preserva la métrica.

Demostración. Supongamos que f es cóncava y flexible. Por la Nota 2.5, tenemos que f es su aditiva y creciente. Sea (X, d) un espacio métrico. Verificaremos que f ◦d es una métrica. Sean x, y, z ∈X. Entonces

(1) Por ser f flexible, tenemos que, (f ◦ d) (x, y) = 0 si, y solo si, x = y.

(2) (f ◦ d) (x, y) = f (d (x, y)) = f (d (y, x)) = (f ◦ d) (y, x)

(3) Pongamos a = d (x, y), b = d (x, z) y c = d (z, y). Se sigue por la desigualdad triangular que, a ≤ b + c. Ahora, por ser f creciente y su aditiva, se concluye que, f (a) ≤f (b) +f (c).

3. Definiciones y propiedades básicas

Para comenzar proporcionamos las nociones básicas que serán el objeto de estudio del presente trabajo. Recomienda mes al lector la cita (Khemaratchatakumthorn and Pongsriiam, 2018).

Definición 3.1. Sea f: [0, ∞) → [0, ∞). Se dice que

i) f preserva la b–métrica si para cada espacio b–métrico (X, d), tenemos que f ◦ d es una b–métrica sobre X;

ii) f preserva la métrica–b–métrica si para cada espacio métrico (X, d), tenemos que f ◦ d es una b–métrica sobre X;

iii) f preserva la b–métrica–metica si para cada espacio b–métrico ( X, d), tenemos que f ◦ d es una métrica.

Al igual que en el Lema 2.8, obtenemos algo similar para funciones que preservan la b–métrica y cuya prueba no se encuentra en la literatura.

Lema 3.2. Si f es una función que preserva la b–métrica, en tones f es cuasi-subaditiva.

Demostración. Sean x, y ∈ [0, ∞) y d (x, y) =|y −x|. Entonces

f (x + y) = (f ◦ d) (0, x + y)

≤ s ((f ◦ d) (0, x) + (f ◦ d) (x, x + y))

= s (f (x) + f (y)).

Denotamos por M el conjunto de funciones que preservan la métrica, por B la colección de funciones que preservan la b– métrica, por MB el espacio de funciones que preservan la métrica–b–métrica, y por BM la familia de funciones que pre ser van la b–métrica–métrica.

Una primera inquietud o interrogante que podríamos hacernos es la siguiente

Pregunta. ¿Existe alguna relación entre estas clases?

La proposición siguiente da una respuesta a la pregunta en terror, y su demostración se debe a (Khemaratchatakumthorn and Pongsriiam, 2018, ver Teorema 15 y Ejemplo 16), agregamos aquí la prueba con el fin de hacer completa la exposición del tema.

Proposición 3.3.

Las siguientes relaciones se satisfacen: BM ⊆ M ⊆ B ⊆ MB, M ⊈ BM y B ⊈ M.

Demostración. Veamos que BM ⊆M. Sea f ∈BM. Vamos a verificar que f ∈M o, equivalentemente, para cada espacio métrico (X, d), se debe cumplir que f ◦d es una métrica.

Sean x,y,z ∈ X. Por la Nota 2.2, tenemos que (X, d) es un espacio b–métrico. Como f ∈BM, entonces f preserva la b– métrica–métrica. As ı, de acuerdo con la Definición 3.1 inciso iii), f ◦d es una métrica. Luego, f ∈M.

Ahora mostramos que M ⊆B. Sea f ∈M, entonces para cada espacio métrico (X, d), se tiene que f ◦ d es una métrica. Por la Nota 2.2, (X,d) es un espacio b–métrico. Es suficiente demostrar que existe s ≥1 tal que

(f ◦ d) (x, y) ≤ s ((f ◦ d) (x, z) + (f ◦ d) (z, y))

para cualesquiera x, y, z ∈ X.

Procedamos por contradicción. Para cada s ≥ 1, existen puntos x, y, z ∈ X tales que

(f ◦ d) (x, y) > s ((f ◦ d) (x, z) + (f ◦ d) (z, y)).

En particular, para s = 1 obtenemos que

(f ◦ d) (x, y) > (f ◦ d) (x, z) + (f ◦ d) (z, y).

Pero, esta última desigualdad estricta contradice la desigualdad triangular de f◦d. Luego, f ∈ B.

Finalmente, se muestra que B ⊆MB. Sea f ∈B. Verificaremos que f ∈MB o equivalentemente, para cada espacio métrico (X, d), se debe satisfacer que, f d es una b–métrica sobre X. Sean x, y, z X. Por la Nota 2.2, (X,d) es un espacio b–métrico. Dado que f ∈ B, de acuerdo con la Definición 3.1 inciso i), f d es una b–métrica sobre X. Luego, f MB.

A partir de la Proposición 3.3, tenemos una imagen casi completa de las relaciones de subconjuntos entre BM, M, B y MB, excepto que no sabemos si MB B. (Khemaratcha - takumthorn and Pongsriiam, 2019) demuestran que MB = B. Antes de compartir su demostración, iniciamos con algunas nociones y resultados auxiliares.

Definición 3.4. Una tripleta triangular es una terna (a, b, c) con a, b, c ≥ 0 tales que a ≤ b + c, b ≤ a + c y c ≤ a + b. Se denota por △ el conjunto de las tripletas triangulares.

En la siguiente definición, introducimos un tipo especial de tripletas triangulares que nos serán de utilidad para caracterizar funciones que preservan las b–métricas.

Definición 3.5. Sean s ≥ 1 y a, b, c ≥ 0. Una tripleta (a, b, c) será llamada tripleta s–triangular si a ≤ s (b + c), b ≤ s (c + a) y c ≤ s (a + b). El conjunto de tripletas s–triangulares se denota por △ s.

En la cita Khemaratchatakumthorn-2018, se establece una caracterización de las funciones que preservan la métrica– b– métrica en términos de tripletas s–triangulares. Veamos cómo es esto

Teorema 3.6. Suponga que f es flexible. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes

1) f ∈ MB.

2) Existe s ≥ 1 tal que (f (a), f (b), f (c)) ∈ △ s para cada (a, b, c) ∈ △.

Demostración. 1) → 2). Sea f ∈ MB y sea d la métrica Euclidiana sobre R2. Tenemos que f ◦ d es una b–métrica. Así, existe s ≥ 1 tal que f (d (x, y)) ≤ s (f (d (x, z)) + f (d (z, y))) para cualquier x, y, x ∈ R2. Sea (a, b.c) ∈ △. Por un argumento de la geometría Euclidiana, existen puntos u, v, w ∈ R2 tales que a = d (u, v), b = d (u, w) y c = d (v, w). Entonces

f (a) = f (d (u, v)) ≤ s (f (d (u, w)) + f (d (w, v))) = s (f (b) + f (c)). Similarmente f (b) ≤ s (f (a) + f (c)) y f (c) ≤ s (f (a) + f (b)). Por lo que (f (a), f (b), f (c)) ∈ △ s.

2) → 1). Supongamos que existe s ≥ 1 tal que la tripleta (f (a), f (b), f (c)) es un elemento de △ s para cada (a, b, c) ∈ △. Sea (X, d) un espacio métrico. Como f es flexible, tenemos que (f ◦ d) (x, y) = 0 si, y solo si, x = y. Por otra parte, se sigue que (f ◦ d)(x, y) = ( f ◦ d)(y, x) para cada x, y ∈ X. Finalmente, si para x, y, z ∈ X se fijan a = d(x, y), b = d(x, z) y c = d(z, y), entonces por hipótesis resulta que, ( d(x, y), d(x, z), d(z, y)) ∈ △ y ( f (d(x, y)), f (d(x, z)), f (d(z, y))) ∈ △ s . Esto es,

(f ◦ d) (x, y) ≤ s ((f ◦ d) (x, z) + (f ◦ d) (z, y)) para cualesquiera x, y, z ∈ X.

De aquí que, f ∈ MB. La prueba está completa.

Nuevamente en la cita (Khemaratchatakumthorn and Pongsriiam, 2018, ver Teorema 20), se demuestra el siguiente resultado.

Procedemos a demostrarlo de una manera distinta.

Teorema 3.7. Sea f: [0, ∞) → [0, ∞). Si f ∈ MB, entonces f es flexible y casi-subditica.

Demostracion. Supongamos que f ∈ MB. Para demostrar que f es flexible, sea x ∈ [0, ∞) tal que f (x) = 0. Se elige

Sean d2 la métrica euclidiana de

R2 y d = d2 |X la restricción de d2 sobre X. Entonces

d (A, B) = d (A, C) = d (B, C) = x.

Por hipótesis f ∈ MB, entonces se tiene que f ◦ d es una b– métrica sobre X. En particular, se satisface la propiedad (M1),

0 = f (x) = f (d (A, B)) = (f ◦ d) (A, B) si, y solo si, A = B.

Por otra parte, si f no es casi-subaditiva, entonces por el Lema 3.2, se tiene que f no preserva la b–métrica. Así, existe un espacio b–métrico tal que f ◦ d no es una b–métrica. Pero, f ∈ MB implica que, para cada espacio métrico y, por lo tanto, b–métrico de acuerdo con la Nota 2.2, tenemos que, f ◦ d es una b–métrica, y esto nos da una contradicción. Así, f tiene que ser casi-subditica.

Una vez reunidas las herramientas necesarias, pasamos a difundir la prueba que MB = B.

Teorema 3.8. Una función f: [0, ∞) → [0, ∞) preserva la métrica–b–métrica si, y solo si, f preserva la b–métrica.

Demostración. Vimos en la Proposición 3.3 que B ⊆ MB, resta ver que MB ⊆ B. Sea f ∈ MB y (X, d) un espacio b–métrico. Ahora, demostraremos que f ◦ d es una b–métrica. Por el Teorema 3.7, f es flexible y casi-subditica. Así, (f ◦ d) (x, y) = 0 si, y solo si, x = y y f (d (x, y)) = f (d (y, x)) para cualesquiera x, y ∈ X.

Por otra parte, Como f es casi-subditica, existe t ≥ 1 tal que, para cualquier a, b ∈ [0, ∞),

Además, dado que d es una b–métrica, existe s1 tal que d (x, y) ≤ s1 (d (x, z) + d (z, y)) para cualesquiera x, y, z ∈ X. Por la propiedad Arquimediana, existe n ∈ N tal que s1 < n, de aquí que, para cada

Por hipótesis f ∈ MB, así por el Teorema 3.6, existe s2 ≥ 1 tal que, para cualquier (a, b, c) ∈ △, se tiene que,

Pongamos s = 2s2 ntn, y para x, y, z ∈ X, sean a = d (x, y), b = d (x, z) y c = d (z, y). Por la desigualdad (2), a ≤ n (b + c). Así, (a, nb + nc, nb + nc) ∈ △. Ahora, por la expresión (3),

Obtenemos la siguiente desigualdad

En lo que sigue demostraremos que, para todo x ∈ [0, ∞) y m ∈ N,

Sea x ∈ [0, ∞). Aplicaremos el principio de inducción matemática sobre m para demostrar la desigualdad (5). Para m = 1, se obtiene que f (x) ≤ f (x). Sea m > 1, y supongamos que la desigualdad (5) se satisface para m, esto es, f (mx) ≤ mtm−1 f (x).

Como 1 ≤ t, entonces

Por la desigualdad (1) y la hipótesis inductiva, obtenemos que

Finalmente, por (4), (5) y (1), obtenemos

(Khemaratchatakumthorn and Pongsriiam, 2019) utilizan los Teorema 3.6 y 3.8, para obtener el siguiente corolario.

Corolario 3.9. Sea f : [0, ∞) → [0, ∞) flexible. Las siguientes afirmaciones son equivalentes

(i) f ∈ B.

(ii) f ∈ MB.

(ii) Existe s ≥ 1 tal que (f (a), f (b), f (c)) ∈ △ s para cada (a, b, c) ∈ △.

(Dobous, 1998) aplica el principio de inducción matemática, para obtener el siguiente lema.

Lema 3.10. Sea f: [0, ∞) → [0, ∞) una función subaditiva.

Entonces para todo entero positivo n y cada x ∈ [0, ∞), se tiene que f (nx) ≤ n f (x) y 2−n f (x) ≤ f (2−n x).

Demostración. Sea x ∈ [0, ∞) y supongamos que f es subaditi-va. Para n = 1, tenemos que Supongamos que se cumple para n = k. Se demuestra que la desigualdad se satisface para n = k + 1.

La otra desigualdad se demuestra de manera similar.

(Borsik and Dobous, 1988), demuestran el siguiente hecho.

Lema 3.11. Sea f : [0, ∞) → [0, ∞) una función que preserva la métrica y h > 0. Si f es convexa en el intervalo [0, h], entonces f es lineal en [0, h].

Demostración. Como f preserva la métrica, entonces por la Nota 2.4, f es flexible. Además, por ser convexa en el intervalo [0, h], se tiene que, para cada a, b ∈ (0, h] con a ≤ b,

De aquí que,

Mostraremos que

Sea x ∈ (0, h]. Por la propiedad Arquimediana, 2−nh ≤ x. Entonces de acuerdo a (6) y el Lema 3.10, f(2−nh) = 2 −n f(h). Por lo que

De aquí que

El siguiente Teorema se debe a (Khemaratchatakumthorn and Pongsriiam, 2018), y nos es de utilidad, ya que nos permite adaptar un resultado y su demostración para espacios b–métricos extendidos vea Teorema 5.7.

Teorema 3.12. Sea α > 0 y defina f: [0, ∞) → [0, ∞) por f(x) = x α. Entonces las siguientes afirmaciones son válidas. (i) Si 0 < α ≤ 1, entonces f es una función que preserva la métrica. (ii) Si α > 1, entonces f es una función que preserva la b–métrica, pero no preserva la métrica. Demostración. Si 0 < α ≤ 1, es fácil ver que f es flexible y cóncava. Así, por Lema 2.9, f preserva la métrica. Suponemos que α > 1 y definimos g: [0, ∞) → R por

Tenemos que

Por lo que

Así g es creciente en el intervalo [0, 1] y decreciente en [1, ∞). De aquí que, para cada x ∈ [0, ∞),

Para mostrar que f es una función que preserva la b–métrica, sea d una b–métrica sobre el espacio X, y s ≥ 1 una constante tal que d (x, y) ≤ s (d (x, z) + d (z, y)) para cada x, y, z ∈ X. Verificaremos únicamente que, f ◦d satisface la propiedad (B3) de b–métrica, ya que las otras propiedades son inmediatas. Sean a, b, c ∈ X. Si a = c, entonces

Si a, c, entonces d (a, c) > 0. Así, por la desigualdad (7), obtenemos que,

lo cual es equivalente a

Es decir, [d (a, c) + d (c, b)]α ≤ 2 α−1 [(d (a, c)) α + (d (c, b)) α]. De aquí que

Por lo que, f es una función que preserva la b–métrica

se sigue que f es convexa en el intervalo [0, 1]. Pero, f no es lineal en [0, 1], obtenemos por el Lema 3.11 que f no es una función que preserva la métrica. Esto completa la prueba

Para finalizar con esta sección, proporcionamos los ejemplos dados por (Khemaratchatakumthorn and Pongsriiam, 2018), para evidenciar que, las contenciones BM ⊆ M y B ⊆ M dadas en la Proposición 3.3 son propias.

Ejemplo 3.13. (i) M ⊈ BM. Sea f(x) = x para cada x ∈ [0, ∞). Se sigue que, f es flexible, subaditiva y creciente; así por el Lema 2.9, f ∈ M. Pongamos

Sea g(x) = x 2 para cada x ∈ [0, ∞). Dado que d = g ◦ ρ, por el Teorema 3.12 obtenemos que, d es una b–métrica. Pero, f ◦ d = d no es una métrica sobre R. Por lo que f < BM. (ii) B ⊈ M. Sea f: [0, ∞) → [0, ∞) definida por f(x) = x 2. Entonces por el Teorema 3.12, f ∈ B, pero f < M. 4.

4. Ultrametrica y ultra métrica débil

Existen otros conceptos de los que conviene hacer una aclaración: algunas métricas tienen nombres diferentes, pero en realidad son iguales. Por ejemplo, la b–métrica también se conoce como casi métrica. Investigadores utilizan la infra métrica (o la ultra métrica débil) y parece ser diferente al de b–métrica ver (Czerwik, 1993). La definición de inframetrica y de ultra métrica es la siguiente.

Definición 4.1. Sea X un conjunto no vacío. Una infra métrica (o ultra métrica débil) en X es una función d: X×X → [0, ∞) que satisface las siguientes tres condiciones: para cada x, y, z ∈ X se tiene que

(I1) d (x, y) = 0 si, y solo si, x = y,

(I2) d (x, y) = d (y, x) (simetría),

(I3) existe C ≥ 1 tal que d (x, y) ≤ C Max {d (x, z), d (z, y)}.

Una ultra métrica en X es una función d que satisface (I1), (I2) y la desigualdad ultra métrica

(U3) d (x, y) ≤ Max {d (x, z), d (z, y)}, para x, y, z ∈ X. El par (X, d) es llamado espacio ultra métrico débil si d es una ultra métrica débil en X y dicho par es un espacio ultra métrico cuando d es una ultra métrica en X. En la siguiente observación proporcionamos una relación entre la ultra métrica y ultra métrica débil. Comentamos que, aunque la prueba es fácil, esta no se encuentra en la Bibliografía. Nota 4.2. Todo espacio ultra métrico (X, d) es un espacio ultra métrico débil.

Demostración. Supongamos que para cada C ≥ 1, existen puntos x, y, z ∈ X tales que

En particular, C = 1 implica que existen puntos x, y, z ∈ X tales que

d (x, y) > Max {d (x, z), d (z, y)}.

O sea, (X, d) no es ultra métrico.

La definición siguiente inciso (a) nos impulsó a definir la del inciso (b), así como la notación UD.

Definición 4.3. Sea f: [0, ∞) → [0, ∞). Se dice que:

(a) f preserva la ultra métrica si para cada espacio ultra métrico (X, d), tenemos que f ◦ d es una ultra métrica;

(b) f preserva la ultra métrica débil si para cada espacio ultra métrica débil (X, d), tenemos que f ◦ d es una ultra métrica débil.

Denotamos por U la familia de funciones que preservan la ultra métrica y por UD la colección de funciones que preservan la ultra métrica débil.

Pregunta. ¿Existe alguna relación entre estas clases? En la proposición siguiente damos respuesta a la pregunta, y conectamos por primera vez, las colecciones U con UD.

Proposición 4.4. Tenemos que U ⊆ UD.

Demostración. Sean f ∈ U, entonces para cada espacio ultra métrico (X, d), tenemos que f ◦ d es una ultra métrica en X. La Nota 4.2 implica que, (X, d) es un espacio ultra métrico débil. Supongamos que f ◦d no es una ultra métrica d edil en X, entonces para cada C ≥ 1 existen puntos x, yaz ∈ X tales que

(f ◦ d) (x, y) > C Max {(f ◦ d) (x, z), (f ◦ d) (z, y)}.

En particular, para C = 1 existen x, y, z ∈ X tales que (f ◦ d) (x, y) > Max {(f ◦ d) (x, z), (f ◦ d) (z, y)}. O sea, f ◦ d no es una ultra métrica, lo cual nos da una contradicción. En la referencia (Khemaratchatakumthorn and Pongsriiam, 2019) se demuestra que B = UD.

Teorema 4.5. Supongamos que X es un conjunto no vacío y d: X × X → R una función. Entonces d es una b–métrica si, y solo si, d es una ultra métrica débil. Demostración. Supongamos que d es una b–métrica. Entonces existe s ≥ 1 tal que d (x, y) ≤ s (d (x, z) + d (z, y)) para cada x, y, z ∈ X. Basta verificar la propiedad I3), ya que las otras propiedades coinciden. Sean x, y, z ∈ X, entonces

Pongamos C = 2s, tenemos que C ≥ 1 y

d (x, y) ≤ C Max {d (x, z), d (z, y)} para cualesquiera x, y, z ∈ X.

Así, d es una ultra métrica débil.

Ahora, supongamos que d es una ultra métrica débil, entonces existe C ≥ 1 tal que

d (x, y) ≤ C Max {d (x, z), d (z, y)} para cualesquiera x, y, z ∈ X.

Como Max {d (x, z), d (z, y)} ≤ d (x, z) + d (z, y), entonces se sigue que C Max {d (x, z), d (z, y)} ≤ C (d (x, z) +d (z, y)). Esto demuestra que d es una b–métrica.

Por la Proposición 4.4 y el Teorema 4.5, obtenemos el siguiente corolario. Este resultado es un aporte, ya que relaciona por primera las familias de funciones que preservan la ultra métrica y b–métricas.

Corolario 4.6. Tenemos que U ⊆ B.

A continuación, hacemos un resumen del estado actual que llevamos hasta el momento.

Observación 4.7. i). En la Proposición 3.3, vimos que BM ⊆ M ⊆ B ⊆ MB, y a partir del Ejemplo 3.13 concluimos que las contenciones BM ⊆ M y M ⊆ B son propias. ii). El Teorema 3.8 y Corolario 4.6, implican que, U ⊆ MB. Así, MB = B ∪ M ∪ BM ∪ U. En la Nota 2.4, se demostró que, si f ∈ M, entonces f es flexible. Extendemos este hecho para el caso de cualquier función f ∈ B ∪ M ∪ BM ∪ U.

Corolario 4.8. Sea f: [0, ∞) → [0, ∞). Si f está en M, U, B o BM, entonces f es flexible. Demostración. La Observación 4.7 inciso ii), nos dice que,

MB = B ∪ M ∪ BM ∪ U.

Así, si f pertenece a cualquier colección M, U, B o BM, entonces f ∈ MB. Luego, el resultado se sigue del Teorema 3.7.

5. Espacios b-métricos y b-métricos extendidos

En esta sección se muestra como algunas propiedades que se han descrito anteriormente, son válidas en un nuevo tipo de espacio métrico generalizado, a saber, el espacio b–métrico ex tendido. Invitamos al lector la lectura proporcionada en (Kamran et al., 2017).

Definición 5.1. Sea X un conjunto no vacío y θ: X × X → [1, ∞) una función. Se dice que dθ: X × X → [0, ∞) es una b–métrica extendida si para todo x, y, z ∈ X se satisface:

(dθ1) dθ(x, y) = 0 si, y solo si, x = y;

(dθ2) dθ(x, y) = dθ(y, x);

(dθ3) dθ(x,z) ≤ θ(x,z)[dθ(x, y) + dθ(y,z)]. El par (X, dθ) es llamado espacio b–métrico extendido.

Observación 5.2. Todo espacio b–métrico (X, d) es un espacio b–métrico extendido. Demostración. Supongamos que (X, d) es un espacio b–métrico. Verificaremos únicamente la propiedad (dθ3), ya que las otras dos propiedades coinciden. Sean x, y,z ∈ X. Como d es una b–métrica sobre X, existe una constante s ≥ 1 tal que d (x, z) ≤ s (d (x, y) + d (y, z)). Pongamos θ (x, z) = s y dθ (x, z) = d (x, z). Tenemos que (dθ3) se satisface.

Una consecuencia inmediata de la Nota 2.2 y la Observación 5.2 es lo siguiente Observación 5.3. Todo espacio métrico (X, d) es un espacio b– métrico extendido. La definición que presentamos en seguida, está motivada en la colección B, así como la notación BE.

Definición 5.4. Una función f: [0, ∞) → [0, ∞) preserva la b–métrica extendida si para cada espacio b–métrico extendido (X, dθ), existe θˆ: X × X → [1, ∞) tal que (f ◦ dθ) θˆ es una b– métrica extendida en X.

Denotamos por BE el espacio de funciones que preservan la b–métrica extendida. Una pregunta inmediata es:

Pregunta. ¿Existe alguna relación entre las clases B y BE?

Damos respuesta a esta pregunta, con la demostración del teorema siguiente, y de este modo conectamos por primera vez estas colecciones.

Teorema 5.5. La siguiente contención se satisface: B ⊆ BE.

Demostración. Sea f ∈ B. Por el Teorema 3.8, f ∈ MB. Ahora por el Teorema 3.7, f es flexible y casi-subditica. Además, f ∈ B implica que, para cada espacio b–métrico (X, d), tenemos que f ◦ d es una b–métrica. Por la Observación 5.2, (X, d) es un espacio b–métrico extendido.

Como f es casi-subditica, existe s ≥ 1 tal que

f (x + y) ≤ s(f(x) + f(y)) para cada x, y ∈ [0, ∞).

Sea θ: X × X → [1, ∞) definida por θ (x, z) = s para cualesquiera x, z ∈ X. Veamos que f ◦ d = (f ◦ d) θ es una b–métrica extendida. Sean x, y, z ∈ X. Como ya es usual, f flexible implica que (f ◦ d) θ (x, z) = 0 si, y solo si, x = y. Además, resulta que (f ◦ d) θ (x, z) = (f ◦ d) θ (z, x).

Falta verificar la propiedad (dθ3). Ya que f es casisubaditiva, se sigue que

Esto completa la demostración

Con la observación siguiente dejamos por hecho la investigación anunciada en el resumen

Observación 5.6. Por el Corolario 4.6 y el Teorema 5.5, obtenemos que

U ⊆ B ⊆.

El siguiente resultado es un aporte a la literatura de espacios b–métricos extendido

Teorema 5.7. Sea α ∈ R con α > 1 y sea f: [0, ∞) → [0, ∞) definida por f(x) = x α. Entonces f es una función que preserva la b–métrica la b–métrica extendida

Demostración. Por el Teorema 3.12 inciso (ii), f preserva la b– métrica. As ı, para cada espacio b–métrico (X, d), tenemos que f ◦ dθ es una b–métrica en X. Además, por la Observación 5.2, (X, d) es un espacio b–métrico extendido

Mostramos ahora que f preserva la b–métrica extendida. Sea θ: X × X → [1, ∞) y (X, dθ) un espacio b–métrico extendido. Definimos θˆ: X×X → [1, ∞) por θˆ (x, z) = 2 α−1 θ (x, z) α para todo x, z ∈ X. Verificamos que (f ◦ dθ) θˆ = f ◦ dθ es una b–métrica extendida en X

Sean x, y, z ∈ X. Como f es flexible, (f ◦ dθ) θˆ (x, y) = 0 si, y solo si, x = y. Además,

Esto muestra que se satisfacen. Mostramos ahora

que (f ◦ dθ) θ satisface (dθˆ3). Si x = y, entonces

Si x, y, entonces dθ (x, y) > 0. Luego, si g: [0, ∞) → R se define por

Del Teorema 3.12 sabemos que para todo t ≥ 0. Así, obtenemos que,

lo cual es equivalente a,

y esto a su vez por,

Es decir,

De aquí que,

Ambos casos muestran que f preserva la b–métrica extendida. Esto completa la prueba.

6. Conclusiones

A continuación, mencionamos lo que a nuestro juicio son los aportes fundamentales de este trabajo: (i) Todo espacio métrico (X, d) es un espacio b–métrico (ver la Nota 2.2). Este hecho lo utilizan (Khemaratchatakumthorn and Pongsriiam, 2018, Lema 13). (ii) Si f: [0, ∞) → [0, ∞) es subaditiva, entonces f es casi-subaditiva (ver la Nota 2.6)

Como consecuencia inmediata de la Nota 2.6 y el Lema 2.7 obtuvimos:

(iii) Si f es una función que preserva la métrica, entonces f es casi-subaditiva (ver el Lema 2.8).

Respecto a espacios b–métricos:

(a) Motivados por el Lema 2.8, demostramos: Si f es una función que preserva la b–métrica, entonces f es casisubaditiva (ver el Lema 3.2). Este resultado es importante, y se refleja en la demostración de los Teoremas 3.7 y 3.8.

Respecto a los espacios ultra métricos y ultra métricos débiles enlistamos:

(1) Todo espacio ultra métrico (X, d) es ultra métrico débil, (ver la Nota 4.2). Además, la Definición 4.3 inciso (b), el símbolo (UD) y la Proposición 4.4.

(2) Aunque el Teorema 4.5 no es de nuestra autoría, este junto con la Proposición 4.4 implican que U ⊆ B (ver Corolario 4.6), y además sin menospreciar el Corolario 4.8.

Respecto a los espacios b–métricos y b–métricos extendidos obtuvimos lo siguiente:

(i) Todo espacio b–métrico (X, d) es un espacio b–métrico extendido (ver la Observación 5.2).

La Nota 2.2 y la Observación 5.2 implican que

(ii) Todo espacio métrico (X, d) es un espacio b–métrico extendido (ver la Observación 5.3).

(iii) La Definición 5.4, la notación BE y la Observación 5.3.

(iv) La contención B ⊆ BE (ver el Teorema 5.5).

(v) Obtuvimos las contenciones U ⊆ UD ⊆ BE (vea la Observación 5.6).

(vi) El Teorema 5.7, así como su demostración es una adaptación a los espacios b–métricos extendidos.

Por supuesto, quedan algunas preguntas por responder.

Problema. (a) ¿La contención B ⊆ BE es propia?, es decir, ¿es posible proporcionar algún ejemplo para el cual BE ⊆ B no se satisface?

(b) ¿Es posible extender el concepto de espacio ultra métrico?, y en caso afirmativo, ¿cuáles son las propiedades de tales espacios?

Agradecimientos

Los autores damos las gracias a los árbitros por la revisión exhaustiva y las sugerencias a nuestro trabajo.

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