1. Introducción

En el marco de la teoría de control, algunos de los temas de mayor relevancia para la comunidad científica son los relacionados con el análisis de estabilidad y estabilización de sistemas, donde, la teoría de Lyapunov juega un papel fundamental, ya que es empleada para la obtención de propiedades tanto cuantitativas como cualitativas de sistemas lineales y no lineales. Sin embargo, la presencia de ciertas dinámicas difíciles de modelar, como perturbaciones, cambios de carga, variación en los parámetros, errores de medición, presencia de ruido, incertidumbres, entre otras, pueden ocasionar que conceptos tradicionales de estabilidad y estabilización no suelan ser satisfechos por sistemas reales (plataformas experimentales). Esto debido principalmente a que los conceptos tradicionales pueden ser muy demandantes y/o poco adecuados para aplicaciones prácticas. Por ejemplo, el concepto clásico de Lyapunov aplicado a un vehículos aéreos no tripulado (VANT), demandaría a las trayectorias del sistema a permanecer “lo suficientemente cercanas” (vecindad arbitraria ∈ > 0) al punto de operación antes de declararlo estable, sin embargo en la práctica es casi seguro y muy aceptado por la comunidad científica, observar que las trayectorias del VANT “solo se encuentren cercanas” al punto de operación para decir que es estable, esto sin duda incumple con el concepto clásico y estricto de estabilidad. En otras palabras, en aplicaciones experimentales las trayectorias no suelen satisfacer estrictamente los conceptos teóricos de estabilidad o estabilización clásica, pero el desempeño de sus dinámicas suele considerarse como aceptable o adecuado, siempre y cuando no se aleje “demasiado” del punto de consigna. Por lo anteriormente expuesto, parece razonable emplear conceptos alternos de estabilidad que correlacionen más apropiadamente la teoría y la práctica. Uno de estos conceptos es el concepto conocido como estabilidad practica introducido en (La Salle, 1976), este concepto es más relajado que el concepto clásico de Lyapunov, ya que propone declarar a un sistema µ-prácticamente estable si sus trayectorias se encuentran dentro de una vecindad fija µ > 0 del punto de operación, a partir de un tiempo fijo T > 0. Posteriormente, en (Lakshmikantham et al., 1990) se realiza un estudio detallado de este concepto.

Por otro lado, el modelado matemático de sistemas dinámicos se propone por lo general, suponiendo que el estado depende únicamente del estado actual y por lo tanto son descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, existen sistemas en los cuales esta suposición no es suficiente, ya que la evolución de sus dinámicas, además de depender del estado actual, dependen de información pasada. Esta clase de sistemas son descritos por ecuaciones diferenciales funcionales y son comúnmente llamados sistemas con retardo. Estos sistemas aparecen un distintas áreas de las ciencias como la biología, economía, sistemas mecánicos, flujo vehicular, entre otros. Para más detalles ver (Sipahi et al., 2011).

Si bien el concepto de estabilidad práctica fue inicialmente propuesto para sistemas libres de retardo, este se ha extendido a sistemas con retardos. Entre las contribuciones más importantes se pueden mencionar los resultados propuestos en (Nenadic et al., 1997). Aquí, se realiza un análisis basado en la matriz fundamental para sistemas con un retardo. Posteriormente, en (Debeljkovic et al., 2000) se estudia una clase de sistemas lineales no autónomos. Mientras que en (Guang-Di and Guang-Da, 2001), se emplean funcionales de Lyapunov-Krasovskii para estudiar una clase de sistemas con retardo de tipo neutral. En (Villafuerte et al., 2011), se introduce la definición de estabilidad practica para una clase general de sistemas con retardo y se establecen condiciones suficientes de estabilidad practica empleando el enfoque de Lyapunov-Krasovskii, las cuales, están dadas por condiciones de factibilidad de un conjunto de LMIs, derivadas de funcionales de Lyapunov-Krasovskii.

Desafortunadamente, este concepto ha sido poco atendido por la comunidad científica. Es por esto que en el presente trabajo se presenta un análisis en el marco temporal empleando funcionales de Lyapunov-Krasovskii, que incluyen términos exponenciales, con las cuales se busca la estabilización practica de una clase de sistemas no lineales con retardos. Este análisis permite obtener condiciones suficientes, vía desigualdades lineales matriciales, para el diseño y la sintonización de leyes de control que incluyen un término retardado y una acción integral, (Boyd et al., 1994), las cuales tienen como objetivo la atenuación de ruido (Mondie et al., 2011) y la reducción del error en estado estacionario (Åström and Hägglund, 2009), mientras que los términos exponenciales en la funcional garantizan una cota de decaimiento de la respuesta del sistema en lazo cerrado (Mondie and Kharitonov, 2005). Para ilustrar la efectividad y el campo de aplicación de los resultados teóricos propuestos, se presenta la simulación numérica de vuelo de un modelo matemático de un helicóptero de 3-GDL ante perturbaciones aéreas (Tischler and Remple, 2006) y la posterior implementación en un prototipo experimental desarrollado por Quanser, (QUANSER, 2020).

El presente documento se organiza de la siguiente manera: en la Sección 2 se presentan algunos conceptos básicos relacionados con la estabilidad práctica de sistemas con retardos, los cuales son necesarios para el desarrollo de la investigación propuesta. En la Sección 3 se dan los resultados principales para el diseño y sintonización de una ley de control con acciones retardada e integral. La implementación de los resultados teóricos propuestos son dados en la Sección 4. Aquí, se presentan simulaciones de un modelo matemático no lineal de un helicóptero de 3-GDL con perturbaciones de barrido de frecuencia automático, además de ratificar los resultados en una plataforma experimental. Por último, en la Sección 5 se dan las conclusiones y observaciones de los resultados teóricos y las implementaciones presentadas en la presente investigación.

2. Resultados preliminares

En esta sección se introducirán los conceptos básicos relacionados con la estabilidad práctica.

Considere un sistema con retardo de la forma

donde f : [−h, ∞] × → es una función suave que satisface la condición de Lichitz respecto a su segundo argumento, es la solución del sistema con una función inicial es el estado del sistema definido como el segmento: y es una función continua en el espacio de Banach con norma , donde es la norma euclidiana. La estabilidad del sistema (1) típicamente es determinada empleando el siguiente concepto clásico de Lyapunov.

Definición 1. Gu et al. (2003) La solución trivial del sistema (1) se dice estable en el sentido de Lyapunov, si para todo ∈ > 0 existe δ:= δ (∈) > 0 tal que < δ implica < ∈

Sin embargo, como ya se mencionó anteriormente, este concepto suele ser demandante para aplicaciones prácticas. Ya que en este caso la vecindad de convergencia de las trayectorias es arbitraria (para todo ∈ > 0). Esta condición puede ser relajada si se pide la convergencia solo para algún µ > 0, como se muestra a continuación.

Definición 2. (Villafuerte et al., 2011) La solución trivial del sistema (1) se dice µ-prácticamente estable, si para algún µ > 0, existe T = T (µ, ) tal que ≤ µ para t ≥ T.

Este concepto de estabilidad práctica, también suele denominarse como ultima cotado (ultimate boundedness) Corless and Leitmann (1981).

Lema 1. (Villafuerte et al., 2011) Dado un sistema con retardo de la forma (1). Entonces, si existe una funcional v(t, xt) definida como tal que

y su derivada a lo largo de las trayectorias del sistema es

para constantes positivas α1, α2, σ y κ; entonces la solución del sistema satisface, para una condición inicial ϕ, satisface

por lo cual el sistema (1) es µ-prácticamente estable, con

y

2.1. Estabilidad Práctica de Sistemas con un Retardo

En esta sección se obtienen condiciones suficientes de estabilidad práctica para sistemas lineales con un solo retardo.

Considere el sistema

donde A0, A1 , h ≥ 0 es el retardo, η(t) es una perturbación externa que satisface ≤ γ, t ≥ 0 y se considera que la función inicial es (θ), θ ∈ [−h, 0].

Teorema 1. (Villafuerte et al., 2011) Suponga que existe σ > 0 y las matrices definidas positivas P, Q ∈ , entonces si la desigualdad

se mantiene, entonces se dice que el sistema (6) es µ-prácticamente estable con

y

Donde λmáx. (P) ∈ y λmín. (P) ∈ son los valores propios máximo y mínimo de la matriz P, respectivamente,

Las matrices M(P, Q) y M(P) se definen de la siguiente forma

Además, la solución del sistema (6) satisface

3. Diseño y sintonización de la ley de control

En esta sección se presentan los resultados principales del trabajo, en donde se propone el diseño y la sintonización de una ley de control retardada con acción integral para reducir el ruido de la medición, el error en estado estacionario y estabilizar prácticamente el sistema con una cota de decaimiento asegurada. Estos resultados son una reformulación del Corolario 3 presentado en (Villafuerte et al., 2011) y utilizando una ley de control con acciones retarda e integral.

Considere un sistema no lineal, invariante en el tiempo y libre de retardos de la forma

donde x(t) ∈ es el estado, u(t) ∈ es el vector de entrada, y(t) ∈ es el vector de salida. Demás, A ∈ , B ∈ y C ∈ .

Proposición 1. Suponga que existen matrices positivas definidas Q0, Q1 ∈ , matrices Y0, Y1 ∈ , un retardo h > 0 y una constante σ > 0, tales que la siguiente desigualdad lineal matricial es satisfecha

Entonces la ley de control retardada con acción integral de salida dada por

estabiliza µ−prácticamente al sistema (13) con

Más aun, la solución x(t, ) del sistema (13) satisface

Demostración 1. Considere la ley de control dada en (15),

Así, la representación del espacio de estado extendido, z(t) y z(t − h), del sistema (13) en lazo cerrado con la ley de control (15), toma la forma

donde

Siguiendo el Teorema 1 que establece que si existen matrices definidas positivas P, Q ∈ , un retardo h > 0 y una constante σ > 0 tal que

donde

Entonces se asegura que el sistema (19) es µ−prácticamente estable. Por otro lado, para obtener la sintonización de las ganancias del controlador propuesto, se pre-multiplica y pos-multiplica por la matriz diag{P −1, P −1} ∈ Importar imagen la desigualad lineal matricial (20), donde, definiendo Q0 = P −1 , Q1 = P −1QP−1 , Y0 = KpiP −1 y Y1 = KpihP −1 , se obtiene

con

Además, la ley de control u(t) puede expresarse como

Finalmente, las expresiones (16), (17) y (18) se determinan a partir de (8), (9) y (12) respectivamente.

4. Implementación de Resultados

En la presente sección se presentan: el modelo matemático del sistema, los detalles técnicos tanto del hardware y software empleados y por último se presentan los resultados obtenidos de la implementación en simulación y en la plataforma experimental.

4.1. Modelo Matemático de un helicóptero 3-GDL

El banco experimental consiste en un helicóptero 3-GDL de la marca Quanser, el cual representa una plataforma similar a un helicóptero con rotores en configuración tándem, cuyo diagrama de cuerpo libre es mostrado en la Figura 1.

El modelo dinámico del helicóptero de 3-GDL se toma de (Apkarian, 2006), donde se sigue el formalismo de EulerLagrange. El modelo matemático del sistema se expresa de la siguiente forma

donde ∈ (t) representa el Angulo de elevación, φ(t) el Angulo de dirección y ψ(t) es el Angulo de rotación. El momento de inercia del sistema respecto al eje de elevación se define como J∈, mientras que Jφ es el momento de inercia respecto al eje de dirección. Jψ representa el momento de inercia respecto al eje de rotación. Los voltajes aplicados en el motor frontal y posterior se denotan como Vf(t) y Vt(t), respectivamente. La constante de fuerza de la combinación motor-propela queda definida por Kf, mientras que Kp es la constante de proporcionalidad de la fuerza gravitacional. La distancia entre el eje de elevación al cuerpo del helicóptero y la distancia entre el eje de dirección hacia cada motor se describen por La y Lh, respectivamente. Finalmente Tg representa el par gravitacional efectivo.

Ahora, definiendo el vector de estado del helicóptero como

y la entrada

con

el sistema (21) toma la forma

Aquí Ahora, linealizando el sistema (26) alrededor del punto de equilibrio x(t) = [0, 0, 0, 0, 0, 0]T , se obtiene el siguiente sistema

donde y(t) representa la salida del sistema y las matrices A, B y C están dadas por

Ahora, considere el sistema lineal (27) más una perturbación, de tal manera que el sistema se representa ahora como

donde A, B y C están dadas por (28) y η(t) es una perturbación que afecta a las velocidades angulares del helicóptero y está definida como

La perturbación se considera como el modelo de un barrido de frecuencia automático el cual es un método efectivo para simulaciones de vuelo ante perturbaciones (Tischler and Remple, 2006) y está definido como

donde G representa la amplitud del barrido, y se considera como el 10 % de los límites máximos de deflexión del vehículo aéreo. Además, ϑ(t) se define de la siguiente manera

Aquí, Trec representa el tiempo de simulación y ω(t) la frecuencia de progresión, la cual está dada por

ωmín es el límite para frecuencias bajas, ωmáx el límite para frecuencias altas y Qω se expresa como

donde q1 = 4.0 y q2 = 0.0187 son valores viables para una gran variedad de aplicaciones como pruebas de control de vuelo, identificación de la respuesta dinámica de rotores en túneles de viento, por nombrar algunos (Tischler and Remple, 2006).

4.2. Descripción de la plataforma experimental

La plataforma experimental bajo consideración, consiste en un helicóptero de 3-GDL de la marca Quanser la cual se muestra en la Figura 2 y sus parámetros están dados en la Tabla 1.

4.3. Especificaciones técnicas de la plataforma experimental

4.3.1. Actuadores

El helicóptero de 3-GDL cuenta con dos actuadores que son motores de corriente directa (CD): el motor frontal y el motor trasero los cuales son de la marca Pittman Modelo 9234. El motor tiene una resistencia eléctrica de 0 .83 Ω y una constante de corriente-par de 0.0182 . El voltaje nominal es de 12 V pero su voltaje pico puede llegar hasta 22 V sin que llegue a dañar al dispositivo (Pittman, 2002).

4.3.2. Encoders

El banco experimental cuenta con tres encoders (codificador rotatorio): el encoder que mide el ángulo de dirección φ respecto al cuerpo del helicóptero, el encoder que mide el ´ ángulo de elevación ∈ y por último el encoder que mide el ángulo de rotación ψ. En modo cuadratura los encoders de dirección y elevación tienen una resolución de 4096 pulsos por revolución y el encoder del ángulo de rotación tiene una resolución de 8192 pulsos por revolución. Por lo tanto, la resolución de posición efectiva es de 0.0879 grados con respecto al eje de dirección y elevación y 0.0439 grados con respecto al eje de rotación (Apkarian, 2006).

4.3.3. Tarjeta de adquisición de datos

El cRIO−9024 es un controlador embebido en tiempo real, encargado de monitorear y controlar el helicóptero 3-GDL cuenta con un CPU de 800 MHz y está estructurado con memoria RAM de 512 MB. Este controlador consta de una variedad de puertos de conectividad incluyendo dos Ethernet, uno USB y uno serial. Se encuentra combinado con dos módulos de entradas y salidas (E/S) Q1−cRIO los cuales se encargan de adquirir la señal de los tres encoders y de generar la señal de salida analógica para controlar los dos actuadores (NI, 2015).

4.4. Simulación

La siguientes simulaciones fueron realizadas empleando el software Matlab-Simulink (MATLAB, 2010). Siguiendo los resultados de la Proposición 1 y utilizando el sistema (29) se realiza el cambio de las matrices A → , B → y η → dando por resultado

posteriormente y mediante el toolbox Yalmip se comprueba que la LMI (14) es factible para valores σ = 0.30, h = 0.01 y definiendo η1 = η2 = η3, con Gj = 0.003, Trecj = 500, j = 1, 2, 3, ωmín = 0.3rad/s, ωmáx= 12rad/s se tiene que || || < 0.003. Así, la solución del sistema es µ−prácticamente estable con µ = 0.49 y T = 31.11. Además, de que las ganancias de control K0 = Y0Q0−1 y K1 = Y1Q0−1 tienen los valores de

En la Figura 3 se presenta la estabilización de la posición sin ninguna perturbación de los ángulos de elevación ∈, φ y ψ para una posición deseada [∈d, φd, ψd] = [0, 0, 0].

En la Figura 4 se muestra a las velocidades angulares del helicóptero de 3-GDL y posteriormente en la Figura 5 se muestra las señales de control u1(t) y u2(t) que estabilizan al helicóptero.

En la Figura 6 se presenta la estabilización práctica de la posición de los ángulos de elevación ∈, φ y ψ para una posición deseada [∈d, φd, ψd] = [0, 0, 0] en donde la perturbación es aplicada durante los intervalos t1 ≤ t ≤ t2, t3 ≤ t ≤ t4 y t5 ≥ t.

En la Figura 7 se muestra a las velocidades angulares del vehículo aéreo y posteriormente en la Figura 8 se muestran las señal de control u1(t) y u2(t) que estabilizan prácticamente al helicóptero.

4.5. Plataforma Experimental

En la Figura 9 se presenta la estabilización sin perturbación de la posición de los ángulos de elevación ∈, φ y ψ para una posición deseada [∈d, φd, ψd] = [0, 0, 0] en el helicóptero de manera experimental.

En la Figura 10 se muestra a las velocidades angulares del helicóptero y posteriormente en la Figura 11 se muestran las señales de control que estabilizan al sistema.

En la Figura 12 se presenta la estabilización con perturbación de la posición de los ángulos de elevación∈, φ y ψ para una posición deseada [∈d, φd, ψd] = [0, 0, 0] en el helicóptero de manera experimental en donde la perturbación es aplicada durante los intervalos t1 ≤ t ≤ t2, t3 ≤ t ≤ t4 y t5 ≥ t, por medio de corrientes de aire suministradas por un ventilador.

En la Figura 13 se muestra a las velocidades angulares y posteriormente en la Figura 14 se muestran las señales de control u1(t) y u2(t) que estabilizan prácticamente al sistema.

5. Conclusiones

En este manuscrito se presenta un enfoque constructivo para la estabilización práctica de una clase de sistemas no lineales mediante el diseño y sintonización de una ley de control con acciones retardada e integral. La acción retardada atenúa el ruido inherente en las plataformas experimentales (Mondie et al., 2011), mientras que la acción integral reduce el error en estado estacionario. Como se puede corroborar en las secciones anteriores, la estabilidad práctica del helicóptero de 3-GDL se preserva ante perturbaciones de vuelo. Para representar las perturbaciones, en simulaciones se empleó la función de barrido de frecuencia automático propuesta en (Tischler and Remple, 2006), mientas que para la parte experimental, se sometió a la plataforma ante corrientes de viento suministradas por un ventilador. Como parte principal de la investigación se puede observar que, en términos prácticos, la plataforma experimental del helicóptero de 3-GDL, permanece dentro de una vecindad de las coordenadas de vuelo deseadas, es decir, se estabiliza prácticamente. Esto sin duda ocurre en la mayoría de las plataformas experimentales de este tipo, por lo que los conceptos y criterios convencionales de estabilidad en el sentido de Lyapunov no corresponden en el sentido teórico-práctico. Así, conceptos y criterios como el de estabilidad y estabilización práctica son una alternativa más adecuada para establecer una correspondencia teórica-practica en prototipos físicos.

Referencias

Apkarian, J., 2006. 3-dof helicopter reference manual. Quanser Consulting Inc, Canada.

Åström, K. J., Hägglund, T., 2009. Control PID avanzado. Pearson, Madrid

Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E., Balakrishnan, V., 1994. Linear matrix inequalities in system and control theory. Vol. 15. Siam.

Corless, M., Leitmann, G., 1981. Continuous state feedback guaranteeing uniform ultimate boundedness for uncertain dynamic systems. IEEE Transactions on Automatic Control 26 (5), 1139–1144.

Debeljkovic, D. L., Lazarevic, M., Koruga, D., Milinkovic, S., Jovanovic, M., 2000. Further results on the stability of linear nonautonomous systems with delayed state defined over finite time interval. In: American Control Conference, 2000. Proceedings of the 2000. Vol. 2. IEEE, pp. 1450–1451.

Gu, K., Chen, J., Kharitonov, V. L., 2003. Stability of time-delay systems. Springer Science & Business Media.

Guang-Di, H., Guang-Da, H., 2001. Stabilization of an uncertain large-scale time-dependent bilinear neutral differential system by memory feedback control. IMA Journal of Mathematical Control and Information 18 (1), 1– 18.

La Salle, J. P., 1976. The stability of dynamical systems. SIAM

Lakshmikantham, V., Leela, S., Martynyuk, A. A., 1990. Practical stability of nonlinear systems. World Scientific.

MATLAB, 2010. version 7.10.0 (R2010a). The MathWorks Inc., Natick, Massachusetts.

Mondie, S., Kharitonov, V. L., 2005. Exponential estimates for retarded timedelay systems: An lmi approach. IEEE Transactions on Automatic Control 50 (2), 268–273.

Mondie, S., Villafuerte, R., Garrido, R., 2011. Tuning and noise attenuation of a second order system using proportional retarded control. IFAC Proceedings Volumes 44 (1), 10337–10342.

Nenadic, Z. L., Debeljkovic, D. L., Milinkovic, S., 1997. On practical stability of time delay systems. In: American Control Conference, 1997. Proceedings of the 1997. Vol. 5. IEEE, pp. 3235–3236.

NI, 2015. NI cRIO-9024 Intelligent Real Time Embedded Controller for CompactRIO. http://www.ni.com/pdf/manuals/375233f.pdf.

Pittman, 2002. Pittman LOGO COG DC Servo Motor Series 8000, 9000 and 14000. http://hades.mech.northwestern.edu/images/3/3c/Pittman-ELCOMSL-4443S013.pdf

QUANSER, 2020. 3 DOF Helicopter. https://www.quanser.com/products/3- dof-helicopter/#overview.

Sipahi, R., Niculescu, S.-I., Abdallah, C. T., Michiels, W., Gu, K., 2011. Stability and stabilization of systems with time delay. IEEE Control Systems Magazine 31 (1), 38–65.

Tischler, M. B., Remple, R. K., 2006. Aircraft and rotorcraft system identification. AIAA education series.

Villafuerte, R., Mondié, S., Poznyak, A., 2011. Practical stability of time-delay systems: Lmi’s approach. European Journal of Control 2 (17), 127–138.