1. Introducción

La teoría de los procesos de nacimiento y muerte está inspirada en la Biología. Esta teoría se desarrolló en los inicios del siglo XX, y pretendía modelar el crecimiento de una población, considerando factores demográficos estocásticos. Con el tiempo, esta teoría se ha ido desarrollando y generando nuevas líneas de análisis de procesos estocásticos.

El primer ejemplo de un proceso de nacimiento y muerte, considerado por Yule y Feller (Novazhilov and Koonin, 2006) provee un marco teórico natural para diversas áreas de la Biología moderna, como la estimación de la edad de los alelos, la reconstrucción de filogenias y la modelación de varios aspectos de la evolución del genoma.

Un proceso de nacimiento y muerte es un proceso estocástico en donde las transiciones de un estado solo ocurren con los vecinos cercanos. Un estado puede ser el número de personas, el número de células, por citar dos ejemplos. Una transición a la derecha significará un incremento en uno, que también puede pensarse como un nacimiento, mientras que una transición a la izquierda implicará un decremento en uno, que puede inter prestarse como una muerte. Esta propiedad simplifica el análisis matemático, pero es un buen modelo para representar muchos sistemas de la vida real.

Los modelos de nacimiento y muerte, permiten plantearse preguntas en términos de transiciones del proceso, de la media, de la varianza, de la distribución de tiempo de llegada a ciertos estados, probabilidades de extinción, tiempo de vida media, etc.

Un modelo que ha sido ampliamente utilizado es el proceso logístico. La versión determinista fue originalmente planteada por Verhulst (Brauer et al., 2008). Este es un modelo poblacional denso-dependiente, y se basa en la hipótesis de que la tasa neta de crecimiento es una función cuadra ‘tica del tamaño de la población. Una de las primeras versiones estocásticas del modelo logístico se le atribuye a Feller, y fue formulado como un proceso de nacimiento y muerte de estados finitos (Novazhilov and Koonin, 2006).

Los procesos de nacimiento y muerte se han empleado para construir otro tipo de procesos, como los procesos nacimiento, muerte-inmigración, que se han usado en ecología y epidemiologia para modelar una dinámica estocástica en poblaciones de interés (Allen et al., 2008). Múltiples procesos de nacimiento y muerte pueden describir trayectorias de enfermedades en pacientes, permitiendo la estimación de los efectos de las variaciones en las tasas de nacimiento y muerte del proceso (Doss et al., 2013). Dichas estimaciones se completan analizando datos de los pacientes, recolectados en intervalos irregulares de tiempo, conocidos en bioestadística como panel de datos (zu Donnaand Pineda-Krch, 2010) .

Algunos procesos de nacimiento y muerte siguen el tamaño de una población univariada, pero muchos sistemas biológicos involucran interacciones entre poblaciones, haciendo necesario emplear modelos para dos o más poblaciones. Un proceso de nacimiento/nacimiento-muerte, es una extensión bivariada de los modelos de nacimiento y muerte (Ho et al., 2018).

2. El proceso general de muerte y nacimiento

El crecimiento de una población puede representarse por un proceso de Markov. Esto significa que el estado de la población al tiempo t puede describirse por el valor de la variable aleatoria X(t), con la propiedad

para toda La naturaleza de la variable aleatoria es diferente para cada modelo.

Si interpretamos a la variable aleatoria Importar imagen como el tamaño de la población, entonces el proceso de nacimiento y muerte es un proceso de Markov tal que en el intervalo cada individuo de la población tiene la probabilidad de generar el nacimiento de un nuevo miembro de la población y µn∆t + o(∆t) probabilidad de morir. Los parámetros λn y µn son llamados tasas de nacimiento y muerte, respectivamente. El subíndice n se refiere al tamaño de la población.

La aplicación de la teoría de los procesos de nacimiento y muerte requiere que los parámetros λn y µn están definidos

claramente, es decir, que se correspondan con parámetros del mundo real, para que los resultados del modelo den información sobre el comportamiento del sistema real.

La probabilidad de que el proceso este´ en el estado n al tiempo t, pn(t) = Prob{ X(t) = n} satisface el sistema de ecuaciones diferenciales conocido como ecuaciones de Kolmogorov

(1)

Note que se está considerando un proceso de nacimiento y muerte con estados en el conjunto 0, 1, 2, . . . , N . En general, hay dos tipos de procesos aleatorios: uno en donde no hay restricciones sobre el conjunto de estados, y otro en el que hay restricciones que tienen que ver con propiedades de los estados.

Figura 1:
Esquema de un proceso de nacimiento y muerte, visto como el movimiento entre estados.

El proceso ilustrado en la figura 1, es un proceso sin restricciones. En un proceso que modela el crecimiento de una población sin migración, una vez que el número de individuos es cero (el proceso llega al estado cero), el proceso de crecimiento termina. Esto significa que el estado n = 0 es un estado especial, puesto que una vez que el proceso alcanza este estado, ya no es posible salir de él. A este tipo de estados se les conoce como

estados absorbentes. Otro tipo especial de estados son los llamados estados reflejantes. En este caso, una vez que el proceso llega a un estado reflejante, el proceso regresa al estado previo. En el caso de las aplicaciones biológicas, los procesos de nacimiento y muerte que se consideran, son del tipo de procesos con restricciones.

El caso más sencillo de solución para el sistema (1) es el proceso de nacimiento, también llamado proceso de Poisson (Allen, 2010). Se conoce como proceso de nacimiento porque = 0. Si = λ y la condición inicial es p0(0) = 1 tenemos

Se sabe que el tiempo entre transiciones en un proceso de Markov de tiempo continuo y espacio de estado discreto, tiene una distribución exponencial (Hansson, 2013). Sea el momento del i-ésimo salto del proceso de nacimiento y muerte del sistema (1), y Ti = Wi+1 Wi el tiempo de permanencia en él estado. Supongamos que X(Wi) = n, entonces, el proceso pasa un tiempo Ti, distribuido exponencialmente en el estado X(t) = n,

con media

Cuando ocurre una transición, con probabilidad λn/(λn +µn) será un nacimiento, y con probabilidad µn/(λn + µn) será una muerte.

Un análisis detallado de la solución del sistema (1) se puede encontrar en (Doob, 1990).

3. El proceso de nacimiento y muerte en epidemiología

La modelación matemática en epidemiologia se ha utiliza- do para describir la dinámica de una enfermedad, para predecir su propagación y para evaluar estrategias para controlar posibles epidemias (Brauer et al., 2008). Algunos modelos epidemiológicos ayudan a describir la propagación de infecciones debidas a bacterias o virus, donde el mecanismo de transmisión es el contacto de persona a persona (Brauer et al., 2014). Enfermedades como sarampión, varicela, influenza y de transmisión sexual, son ejemplos de este tipo de transmisión (Andersson and Britton, 2000).

El proceso de nacimiento-muerte es un proceso de Markov de tiempo continuo, donde los estados representan el número de personas en la población, y las transiciones están limitadas a nacimiento (entrada) o muerte (salida). Sea X(t) el número de personas infectadas al momento t 0 y X(t) : t 0 la secuencia de variables aleatorias que definen el proceso de nacimiento-muerte, con tasa de nacimiento λi y tasa de muerte µi, para cada estado i. Supongamos que X(0) = r, r > 0. Una cadena de Markov tiene función de transición de probabilidad estacionaria dada por

(2)

Usando las propiedades del proceso de Markov, se puede escribir la ecuacio´n de Chapman-Kolmogorov como

(3)

Entonces, las ecuaciones diferenciales de Kolmogorov pueden escribirse, en general, como

(4)

Supongamos que λ j = λ y µ j = µ son constantes para toda j. En este caso, se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo. Si λ y µ no son constantes, se tendría que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales no autónomo. Se asumen constantes, porque en promedio, se puede hacer esa consideración.

En este proceso, el movimiento del estado j sólo puede ser hacia el estado j 1 o hacia el estado j + 1. Para simplificar, supongamos que la transición al estado j es independiente del estado inicial. Sea Pj la probabilidad de transición al estado j.

Entonces, tenemos

(5)

Por lo tanto, tendríamos un sistema de la forma

(6)

que en forma matricial se puede escribir como P, = AP, donde A es la matriz de coeficientes, que es de la forma

(7)

y los vectores P y P’son de la forma

( 8)

La solución del sistema de ecuaciones (6) es de la forma (Doob, 1990)

Si X(t) es el número de personas infectadas al tiempo $\textcolor{red}{}t\ge 0$

y {X(t) : t $\textcolor{red}{}\ge$ 0} es la secuencia de variables aleatorias que definen un proceso de nacimiento y muerte con λ y µ dados, y suponiendo que en una comunidad con r pacientes X(0) = r para algún r > 0, entonces, se puede pensar en estimar el número de personas infectadas en cualquier momento.

Sea N(t) el número promedio de individuos infectados al tiempo t. Para estimar este número, se debe determinar la matriz de probabilidades de transición Pi j(t). Entonces,

Este problema se puede resolver numéricamente con diversos métodos (Eslahchi and Movahedi, 2012).

4. El proceso de dimensión infinita

Supongamos el problema anterior pero ahora para una población muy grande. Podemos escribir el modelo con coeficientes constantes como sigue:

(9)

Es esencial utilizar un espacio con infinitas dimensiones, y para esto definimos el siguiente espacio conocido:

Definición.

El espacio de Hardy-Hilbert, denotado con , es el espacio de todas las funciones analíticas para las cuales su representación en series de potencias es cuadrado sumable, es decir

El producto punto en está definido como

para . La norma del vector es

El sistema (9) se puede escribir como , donde A es la siguiente matriz infinita de coeficientes,

(10)

Donde

Sea un operador con matriz asociada la matriz 10; entonces, el sistema (9) es equivalente al sistema T f=f′. Para resolver este sistema usamos el hecho de que el operador asociado a la matriz (10) puede verse como

donde es el operador desplazamiento hacia atrás sobre , y es el operador desplazamiento hacia adelante sobre . Sabemos que para f en se cumple que:

(11)

Observamos que el sistema (1) visto en dimensión infinita es equivalente a la ecuación . Al resolver la ecuación anterior, es interesante encontrar una interpretación de la solución al problema epidemiológico. Por ahora, queremos encontrar una función tal que . Calculamos

Esta ecuación es equivalente a resolver la siguiente ecuación diferencial:

la cual resolvemos mediante el factor integrante

entonces

(12)

Necesitamos que , esto se cumple si f está bien definida para todos los valores con módulo menor a uno. Es claro que dentro de la integral nuestra solución no está definida encero, por lo cual una función de esta forma no resuelve el problema planteado, pero proporciona un primer paso para resolver el sistema (9) en el caso de tener una población muy grande. Es importante recordar que si la función está en , tiene una serie que la representa. Los coeficientes de esta serie, son la clave en el análisis de la interpretación de la solución del problema real. En el planteamiento mostrado en esta sección, los coeficientes son constantes, mientras que en el caso de dimensión finita, dichos coeficientes dependen de t .Por otro lado se puede estudiar la dinámica del operador T en el espacio . Por ejemplo, hay resultados conocidos paraqué este operador sea hipercıclico y caótico (Jiménez -Munguía,2017)

5. Conclusión

En este trabajo de presenta la idea general de un proceso de nacimiento y muerte. Se presenta un ejemplo de epidemiología, como un caso de la aplicación de la teoría de procesos de nacimiento y muerte. En este caso, es posible obtener soluciones numéricas para el valor esperado del número de personas infectadas, mediante la solución del sistema de ecuaciones diferenciales. Note que las tasas de transición hacia la derecha o hacia la izquierda son valores constantes. Es posible simular el caso en donde, en cada paso de tiempo, la tasa de transición sea una variable aleatoria. En la sección final, se presenta otra alternativa para conocer la dinámica de este problema epidemiológico.

La idea general de esta parte, es resolver la integral que resulta de un proceso de Markov de nacimiento y muerte, empleando una metodología diferente a la presentada en otros trabajos (Hernández-Suárez and Castillo-Chavez, 1999).

Agradecimientos

Este trabajo ha sido realizado gracias al apoyo del Programa para el Desarrollo Profesional Docente, mediante la beca posdoctoral de R.R.J.M.

Referencias

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