1. Introducción

El regulador PID es un controlador ampliamente utilizado en la industria debido a su simplicidad y robustez. Actualmente el PID todavía es favorable para ser usado con más del 90% de controladores industriales(Moharam, Mostafa, & Al-Hosseini, 2016). Sin embargo, encontrar los parámetros óptimos del regulador PID es difícil especialmente en modelos de sistemas no lineales, un ejemplo de estos son sistemas de control de nivel de líquido. Se han desarrollado varios métodos para realizar la sintonización del controlador PID, uno de estos métodos es Ziegler y Nichols (Z-N)(Dorf C. R. & Bishop R., 2016). Es el método más antiguo y el más sencillo. Sin embargo, es muy difícil determinar los parámetros óptimos del PID con Z-N en las plantas industriales. El método (Z-N) no proporciona un rendimiento aceptable, ya que presenta un sobre impulso y un tiempo de establecimiento largo, por lo que los valores de los parámetros PID a menudo se perfeccionan posteriormente de acuerdo con la experiencia del operador. (Moharam, Mostafa, & Al-Hosseini, 2016)

Los Algoritmos Genéticos (AG) son métodos adaptativos que pueden usarse para resolver problemas de búsqueda y optimización. Están basados en el proceso genético de los organismos vivos. A lo largo de las generaciones, las poblaciones evolucionan en la naturaleza de acorde con los principios de la selección natural y la supervivencia de los más fuertes. (Universidad el Pais Vasco)

El desarrollo de los AG, se debe en gran medida al profesor investigador John Holland de la Universidad de Michigan. A finales de la década de los 60 desarrolló una técnica que imitaba en su funcionamiento a la selección natural, aunque originalmente esta técnica recibió el nombre de “planes reproductivos”, a raíz de la publicación en 1975 de su libro “Adaptation in Natural and Artificial Systems” (Holland, 1975) se conoce principalmente con el nombre de AG (Gestal & Rivero, 2010). Básicamente, un AG consiste en una población de soluciones codificadas de forma similar a cromosomas; cada uno de estos cromosomas tendrá asociado un ajuste, valor de bondad o fitness, que cuantifica su validez como solución al problema; en función de este valor se le darán más o menos oportunidades de reproducción. Los AG tienen una fuerte base biológica, en sus orígenes los algoritmos evolutivos consistieron en copiar procesos que tienen lugar en la selección natural, este concepto había sido introducido, por Charles Darwin. A pesar de que aún hoy en día no todos los detalles de la evolución biológica son completamente conocidos existen algunos hechos apoyados sobre una fuerte evidencia experimental. (Gestal & Rivero, 2010)

Algunas de las alternativas para el cálculo de las constantes del controlador PID son las técnicas de computación emergentes entre los cuales están los AG y como ejemplo podemos mencionar: Genetic Algorithm-based PID Parameters Optimization for Air Heater Temperature Control, aplica AG para la regulación de un sistema de calefacción mediante un controlador PID, el cual se utiliza para controlar la temperatura de salida del calentador de aire.(Wati & Hidayat, 2013). On Lime Kiln Temperature System Based on GA Fuzzy PID Algorithm and Optimal Control, diseñado un plan para el control inteligente de la temperatura en la cámara de combustión del horno que utiliza un AG para determinar en conjunto con lógica difusa para determinar las constantes del controlador PID. (Shaoming, Peng, Fan, & Guoli, 2014).The PID Control System of Steam Boiler Drum Water Level Based on Genetic Algorithms, se aplican AG al diseño del regulador PID del nivel de agua de la caldera de vapor, se obtienen los parámetros PID relativamente óptimos que no solo cumplen los exigentes requisitos de control, también optimizar el rendimiento dinámico y hacen que el sistema tenga una fuerte capacidad anti interferencia.(Zhao, Wang, & Teng, 2014) Genetic Algorithm-Based Adaptive PID Controller, desarrolla un controlador PID adaptativo basado en algoritmos genéticos (AG-APID) con el fin de lograr un rendimiento y regulador adecuado; estimando los parámetros para lograrlo. (Verma & Mudi, 2015). Optimal Tuning of PID Controller for Centrifugal Temperature Control System in Sugar Industry Using Genetic Algorithm, presenta un ajuste óptimo de los parámetros PID para regular la temperatura en un intercambiador de calor de máquinas centrífugas en la industria azucarera mediante algoritmo genético. (Singh, Boolchandani, Modani, & Katal, 2016).

2. Controlador PID

Los sistemas de control son capaces de iniciar y detener procesos sin la intervención manual del usuario, para ello es necesario recibir información del exterior, procesarla y emitir una respuesta; en un sistema de control dicha respuesta será siempre la misma pero podemos tener diferentes comportamientos según las circunstancias. (recursostic.educacion.es, 2017). A la información que recibe el sistema del exterior se le denomina de forma genérica entrada o input; a las condiciones que existen en el exterior después de la actuación se les denomina de forma genérica salida u output.

El control retroalimentado o a lazo cerrado tiene la característica de que medimos cierta cantidad de la salida y luego la comparamos con un valor deseado y el error resultante lo utilizamos para corregir la salida del sistema, como se muestra en la figura 1.

Figura 1
Figura 1: Sistema de control lazo cerrado.

El controlador PID está formado por tres parámetros diferentes, los cuales ajustan o corrigen una variable de proceso en relación a una referencia dada por medio de un elemento de control; se encarga de reducir el sobreimpulso de la salida y el tiempo de respuesta mediante el control derivativo y puede eliminar offset de estado estacionario a través del control integral. (Dos Santos Coelho & Victhoff Pessoa, 2014).

La ecuación que describe un controlador PID está dada por:

El control proporcional:

El control integral:

y el control derivativo:

Combinando las tres acciones de control y aplicando la transforma de Laplace, debido a que tenemos un sistema que es variable con respecto del tiempo, del mismo modo es una herramienta para el análisis de sistemas dinámicos lineales; tenemos la ecuación que describe el controlador PID en Laplace, dada por:

Donde $K_p$ es la constante proporcional,$T_i$ es el tiempo integral y $T_d$ el tiempo derivativo. Estas tres constantes definen el control PID.

Una vez modelado el controlador PID en Laplace se conecta con la planta la cual también debe de estar en Laplace; reduciendo el sistema en lazo cerrado, para entonces determinar los parámetros del controlador PID por medio de un AG y posteriormente determinar las raíces del modelo, para fijar ciertos comportamientos en la planta que minimicen la desviación de la respuesta respecto a una referencia establecida, como se muestra en la figura 2.

Figura 2
Figura 2: Integración del controlador PID con la planta.

3. Algoritmos genéticos

Los algoritmos genéticos constituyen una técnica de búsqueda fundamentada en el proceso de evolución natural en la cual los individuos más adaptados tienen mayores probabilidades de sobrevivir y de transferir su material genético a las siguientes generaciones. La idea fundamental de los algoritmos genéticos consiste en encontrar una solución aceptable a un problema por medio del mejoramiento de un conjunto de individuos, cuya función de evaluación corresponde a una solución del problema. Esta optimización se realiza mediante procesos selectivos y de intercambio de información genética. Dichos procesos están dados por operadores genéticos, que definen la estructura de un AG(Goldberg, 1989).

Un AG básico está constituido por la población y el siguiente conjunto de reglas:

Función objetivo: proporciona una medida de desempeño del sistema asociado a cierto individuo en la población.

Operador de selección: busca ciertos individuos de la población, quienes darán origen a las futuras generaciones. Por lo general, la selección depende del valor de la función de evaluación de cada individuo.

Operador de cruce: consiste en mezclar la información genética de dos individuos, a fin de generar nuevos individuos.

Operador de mutación: consiste en alterar las características genéticas de un individuo, con el objeto de aumentar la probabilidad de exploración del espacio de búsqueda y disminuir el riesgo de estancamiento del algoritmo en óptimos locales.

Como los AG se basan en los procesos de evolución de los seres vivos, tienen los siguientes elementos:

· Operadores genéticos, Son los diferentes métodos u operaciones que se pueden ejercer sobre una población que nos permite obtener poblaciones nuevas.

· Población, conjunto de individuos (cromosomas), se debe ir obteniendo de forma sucesiva distintas poblaciones.

· Individuo, es un ser que caracteriza su propia especie, es el cromosoma y es el código de información sobre el cual opera el algoritmo.

Su aplicación al control se fundamenta en el que un proceso complejo se puede a menudo reducir a una aproximación funcional numérica del problema, que se pueden optimizar mediante los AG (Santos, 2011).

En la Figura 3, se muestran los componentes principales de un AG. Una población compuesta de N individuos y cada individuo definido por su cromosoma. Los cromosomas son cadenas de genes, normalmente se usa el sistema binario para esta representación. Por otra parte, está un conjunto de reglas que de una forma metodológica incide sobre la población.

Figura 3
Figura 3: Componentes de un algoritmo genético

La secuencia de ejecución de un AG es la siguiente:

· Generar una población aleatoria en el espacio solución del problema.

· Establecer una función, de modo que se pueda evaluar la adaptación de los nuevos individuos a la nueva población.

· Crear una nueva población efectuando operaciones como selección/ reproducción proporcional a la adaptación, cruce y mutaciones en los individuos en la que ésta acaba de ser medida.

· Reemplazar la antigua población.

· Evolucionar utilizando la nueva población hasta cumplir un número de iteraciones o un determinado número de error.

La figura 4 muestra el diagrama de flujo de la realización de las diferentes etapas de ejecución del AG, donde básicamente el ciclo es evaluar función-seleecionar individuo-cruza-mutación-prueba de terminación de ciclo.

Figura 4
Figura 4: Secuencia de ejecución de un algoritmo genético.

4. Descripción de la planta

Para la prueba en la aplicación real, el PID se utiliza la función de transferencia de un sistema de tres tanques de nivel de líquido tomada de, (Moharam, Mostafa, & Al-Hosseini, 2016), el cual se muestra en la figura 5.

Figura 5
Figura 5: Diagrama de bloques del controlador PID.

La función de transferencia global del sistema de tres tanques está dada por la ecuación [5], tomada de (Davood Mohammadi Souran, Seyed Hamidreza Abbasi, & Faridoon Shabaninia, 2013).

5. Sistema de nivel de líquido con controlador PID genético

El AG se utiliza para buscar los parámetros Kp, Ki y Kd del controlador, La figura 6 muestra la estructura del sistema dinámico con el AG y el criterio de evaluación.

Figura 6
Figura 6: Planta con controlador PID genético.

6. Pruebas y resultados

Con el propósito de comparar el desempeño del algoritmo genético, primeramente se obtuvieron las ganancias del controlador PID, con el segundo método de Ziegler y Nichols, basado en la ganancia crítica Kcr, y el periodo crítico Pcr (Ogata, 2014). Los cuales se muestran en la Tabla 1.

Una vez obtenidas las ganancias se obtiene la respuesta del sistema ante una entrada escalón mediante el software Matlab, obteniéndose la respuesta transitoria en la figura 7.

Figura 7
Figura 7: Diagrama de bloques del controlador PID.

En la figura 7, se observa como el controlador PID sintonizado con Ziegler – Nichols alcanza la referencia a un tiempo de 476.6551 s, con un sobre impulso de 58.5408%.

Los parámetros para realizar la prueba de sintonización del controlador PID usando un AG se muestran en la Tabla

Después de varias pruebas en cuanto al número de individuos de la población, del número de interacciones así como los intervalos de búsqueda se obtienen el valor de las constantes Kp, Ki y Kd del controlador, los cuales se muestran en la Tabla 3.

Ahora la respuesta del sistema ante una entrada escalón con las ganancias de la Tabla 4 se muestra en la figura 8, en la cual se tiene una función de evaluación y la de respuesta de la planta con el controlador PID, se observa como el controlador hace que la función de la planta en un tiempo de 90 segundos alcance dicha función de prueba, además de tener un sobre impulso del 18% con respecto a la función de evaluación.

La Tabla 4 muestra la comparación de los dos métodos, el AG logra un menor sobre impulso, alcanza la referencia de una forma más suave y con un menor tiempo de establecimiento.

La respuesta del controlador PID con un AG se muestra en la figura 8.

Figura 8
Figura 8: Planta con controlador PID genético.

7. Conclusión

Si comparamos los resultados obtenidos que se reportan en la tabla 4, observamos que el controlador PID sintonizado por el AG muestra un desempeño que mejora tanto el sobre impulso máximo como el tiempo de establecimiento; por otra parte en las figuras 7 y 8 se grafican las respuesta del sistema con Ziegler-Nichols y con el AG respectivamente, comparando ambas respuesta se observa que el AG logra una mejor sintonización del control PID.

Referencias

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