INTRODUCCIÓN

La importancia de la integración de la historia de las matemáticas en los procesos de su enseñanza y aprendizaje comprende diversos argumentos que consideran una mejora en la aprehensión de las matemáticas por parte de los estudiantes, así como el fortalecimiento del conocimiento del contenido por parte de los profesores. Por ejemplo, los resultados de Gençkaya y Tan-Şişman (2021) muestran que los profesores reconocen que el uso de la historia posibilita en los estudiantes experiencias de aprendizaje significativas y una mayor comprensión del proceso de formación del conocimiento matemático. Asimismo, dado que las matemáticas se desarrollaron en un contexto social y son el resultado de un proceso evolutivo (Queiroz, 2020), se vuelve necesario que el profesor tenga conocimiento de su historia (Gençkaya y Tan-Şişman, 2021), en ese sentido, puede favorecer en una mayor apreciación de cómo los contenidos matemáticos enseñados en un nivel específico están conectados con el currículo de otros niveles educativos (Jankvist et al., 2015). También se reconoce que cuando el conocimiento de los orígenes y los contextos históricos ofrecen conexiones matemáticas significativas puede favorecer al desarrollo de ideas matemáticas (Fleener et al., 2002).

Por otra parte, en relación con el álgebra abstracta, la historia de la matemática muestra que la clasificación de los grupos finitos fue uno de los problemas de mayor relevancia en el desarrollo de la teoría de grupos. Un análisis del origen de este problema histórico sugiere que su tratamiento en la enseñanza actual debería ser considerado como fuente de construcción de conocimiento. Por lo que, en esta investigación la historia de la matemática juega un papel fundamental como un medio para la contribución al conocimiento matemático y a la exploración de formas posibles en que este conocimiento puede utilizarse para favorecer en los procesos de enseñanza y aprendizaje, es decir, para desarrollar una comprensión más profunda de las matemáticas en los estudiantes, así como al diseño y análisis de actividades para la enseñanza (Bütüner, 2016, 2020; Bütüner y Baki, 2020; Mendes, 2020; Wang et al., 2018). Específicamente, a partir de un estudio histórico y epistemológico del concepto de grupos isomorfos en la obra de Cayley (1854) “On the theory of groups, as depending on the symbolic equation ${\mathrm{\theta }}^n=1$”, se lleva a cabo la recuperación de las ideas y significados que subyacen a este concepto en un momento histórico específico.

Relativo a las conexiones matemáticas, se ha identificado que los estudiantes deben establecer conexiones conceptuales precisas para resolver tareas con estructuras desconocidas y clases generales de objetos, con la finalidad de mejorar su comprensión (Melhuish y Fagan, 2018), y se ha identificado también que una sólida comprensión conceptual se caracteriza por un conocimiento rico en conexiones (Hiebert y Lefevre, 1986). Asimismo, la comprensión conceptual puede ser más sustentable para el aprendizaje de las matemáticas (Borji, Radmehr y Font, 2019). Por lo que, para alcanzar una alta comprensión conceptual, las conexiones matemáticas deben fomentarse en los estudiantes de cualquier nivel educativo, ya que permiten conocer a la matemática como un campo sistemático e integral de conocimientos. Sin embargo, en el proceso de enseñanza-aprendizaje se favorece una presentación acabada y puramente formal de los conceptos e ideas matemáticas, mientras que los aspectos epistemológicos y los procesos de construcción teórica no son priorizados, lo cual incide en la comprensión de los estudiantes de cómo se interrelacionan los conceptos.

En este artículo se presenta una caracterización de las conexiones intramatemáticas que emergen en la resolución de tareas asociadas a la clasificación de grupos finitos de orden cuatro, considerando para su diseño la fuente primaria Cayley (1854) a partir de un estudio de caso.

1. REFERENTES TEÓRICOS

1.1. Conexiones matemáticas

Las conexiones matemáticas son un enlace o puente entre ideas matemáticas (Businskas, 2008; Singletary, 2012) y el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), las definió como:

“the ability to recognize and use connections among mathematical ideas; understand how mathematical ideas interconnect and build on one another to produce a coherent whole; recognize and apply mathematics in contexts outside of mathematics” (NCTM, 2000, p. 64).

Más recientemente, García-García y Dolores-Flores (2018) definieron las conexiones matemáticas como un proceso cognitivo por el cual una persona relaciona o asocia dos o más ideas, definiciones, conceptos, procedimientos, teoremas, representaciones y significados entre sí, con otras disciplinas o con la vida real. Y, aquellas conexiones que emergen al interior de la matemática misma y entre entidades matemáticas son denominadas conexiones intramatemáticas (García-García y Dolores-Flores, 2018, 2021a, 2021b; Rodríguez-Nieto et al., 2020), mismas que son objeto de estudio de esta investigación.

A continuación, se muestra la categorización utilizada para estudiar las conexiones intramatemáticas, en donde las componentes de la conexión A, B y . corresponden a ideas, conceptos, definiciones, teoremas, procedimientos, representaciones o significados, según corresponda (ver Cuadro 1).

1.2. Historia como una herramienta

Diversas investigaciones en Educación Matemática enfatizan que el uso de la historia de la matemática es un auxiliar en los procesos para la enseñanza y el aprendizaje de conceptos, teorías, métodos y algoritmos matemáticos, y con ello, se logra mejorar no solo los procesos correspondientes sino también la compresión de los estudiantes sobre los contenidos matemáticos curriculares (Fauvel y van Maanen, 2000; Furinghetti, 2020; Jankvist, 2009). De acuerdo a Bütüner (2020), el uso de la historia de la matemática como una herramienta tuvo sus inicios en la década de los 70’s, con investigaciones como la de McBride y Rollins (1977) en la que se sugirió incorporar actividades en el salón de clase derivadas de la historia de la matemática como un medio para mejorar las actitudes de los estudiantes hacia las matemáticas, estrategia, además, avalada por el NCTM, y la investigación de Fraser y Koop (1978) en la cual uno de los resultados obtenidos fue que, los profesores manifestaron no estar preparados para utilizar materiales diseñados con base en la historia de la matemática en su propia enseñanza. No obstante, investigaciones recientes, enfatizan que, el conocimiento de los profesores puede subir de nivel luego de tomar lecciones de historia de las matemáticas (Mersin y Durmus, 2021), aunque, se reconoce también que al hablar de historia de la matemática los profesores piensan en su desarrollo histórico o en personajes famosos, y además se sienten inadecuados en utilizarla, lo que lleva al resultado de no incluirla suficientemente en sus clases, sin embargo, resalta que usan la historia de la matemática para desarrollar características afectivas de los estudiantes (Başibüyük y Şahin, 2019), así como profundizar en las creencias de los estudiantes acerca de la matemática, revelarles actividades divertidas, interesantes y útiles (Bütüner y Baki, 2020). Otro uso de la historia de la matemática es el diseño instruccional, que bien puede ser desde la consideración de aspectos históricos para diseñar actividades aplicables en el proceso de enseñanza y aprendizaje (Bütüner, 2020; Goktepe y Ozdemir, 2013).

1.3. La clasificación de los grupos de orden cuatro

En la obra “On the theory of groups, as depending on the symbolic equation ${\mathrm{\theta }}^n=1$ ” de 1854, Arthur Cayley abordó la clasificación de grupos finitos según su forma y, a partir de un enfoque de generadores y relaciones para grupos, ejemplificó la distinción entre la ecuación ordinaria $x^n-1=0$ y la ecuación simbólica $\textcolor{red}{}{\mathrm{\theta }}^n=1$. También consideró un grupo finito 1, α, β, γ, … (n símbolos diferentes, donde 1 es la identidad) como un sistema de raíces de la ecuación simbólica ${\mathrm{\theta }}^n=1\textcolor{red}{}$ y exploró la naturaleza de n en dicha ecuación. En particular, para el caso de $\textcolor{red}{}n=4$ , Cayley identificó dos grupos esencialmente distintos de orden cuatro, donde uno de ellos es análogo (isomorfo) al sistema de las raíces de la ecuación ordinaria $\textcolor{red}{}{X}^4-1=0$, es decir, uno de los grupos es cíclico y el otro no lo es.

En el artículo, Cayley inicia el análisis considerando un grupo G con símbolos (elementos) distintos entre sí {1,a,β,γ}. Excepto por la identidad, los otros tres elementos o bien son de orden 2 o de orden 4, pues el orden de cualquier elemento α de G es un divisor del orden del grupo: “if any symbol α of the group satisfies the equation θr=1, where r is less than n then that r must be a submultiple of n” (Cayley, 1854, p. 41). Sin embargo, si todos los elementos de G excepto la identidad fueran de orden 4, es decir, generadores, entonces el grupo G es cíclico de orden primo, pero el orden de G es cuatro, por tanto, G debe contener un elemento de orden 2. Sin pérdida de generalidad, Cayley consideró a β como el elemento de orden 2, esto es, β2=1, de donde se puede verificar que H=<β>={1,β} es un subgrupo de G y si a ∈ G, donde a ≠ 1, β, entonces aH = {a, aβ}. Por lo tanto, G = {1, a, β, aβ}, , ya que se satisface que H ∩ αH = ∅. A continuación, al multiplicar cada término del grupo G por la izquierda (o un factor más lejano como refiere Cayley) por α, se obtiene el conjunto o {a, a2 , aβ, a2β}. Estos elementos resultantes corresponden a alguno de los términos originales , de modo que o a² = 1 o a² = β.

Suponer a² = β implica aβ = βa y a⁴ = 1 (a es de orden 4, pues a⁴ = a²a² = β² = 1), por tanto, se obtiene el grupo cíclico {1, a, a² , a³ , (a⁴ = 1)} al realizar la respectiva sustitución en {a, a² , aβ, a²β}. En su artículo, Cayley representa el grupo {1, a, a² , a³ , (a⁴ = 1)} a partir de una tabla denotando al mismo grupo por los símbolos {1, a, β, γ} (ver Figura 1). Como ejemplo de llenado de esta tabla se muestra para la tercera fila, tomando en cuenta que los elementos se obtienen como sigue: para la entrada (i, j), se multiplica el i-ésimo elemento (columna) por el j-ésimo elemento (fila). Por lo tanto, estableciendo la correspondencia $\textcolor{red}{}a\leftrightarrow a,a^2\leftrightarrow \beta ,a^3\leftrightarrow \gamma ,a^4\leftrightarrow 1,$ se Obtiene: $\textcolor{red}{}1\mathrm{\beta }=\mathrm{\beta };a\beta =a{a}^2=a^3=\gamma ;\beta \beta =a^2{a}^2=a^4=1;\gamma \beta =a^3{a}^2=a^{4}a=a.$

Figura 1
El grupo cíclico de orden cuatro
Cayley (1854, p. 42)

Por otra parte, para el caso en que a² = 1, al multiplicar los elementos de G = {1, a, β, aβ, (β² = 1)} por la izquierda (o un factor más lejano) por β, se obtiene el conjunto {β, βa, β², βaβ}, donde cada uno de los elementos se corresponde con alguno de los elementos de G, de lo que se deduce que βα = αβ, por lo tanto, (αβ)² = 𝛼²β² = 1. En la representación de este grupo, Cayley construye su tabla, y como ejemplo de llenado de esta se muestra para la tercera fila, tomando γ = aβ: 1β = β; aβ = γ; ββ = β² =1; γβ = aββ = aβ² = a (ver Figura 2).

Figura 2
El grupo no cíclico de orden cuatro
Cayley (1854, p. 43)

2. METODOLOGÍA

El enfoque es cualitativo, y se realizó un estudio de caso (Creswell, 2014; Njie y Asimiran, 2014). La técnica para recolectar los datos fue la entrevista y el instrumento un cuestionario. Para seleccionar el caso de estudio se llevó a cabo la técnica de observación no participante a un grupo de estudiantes de quinto semestre (20-21 años) de una Licenciatura en Matemáticas, quienes iniciaban un primer curso de Álgebra Abstracta, durante seis meses. Los criterios fueron: 1) que el participante concluyera el curso y; 2) que participara voluntariamente. El caso seleccionado fue Lu. La entrevista constó de dos sesiones de 45 minutos cada una. Además, se videograbaron todas las sesiones y se realizó su transcripción.

2.1. El instrumento

Se diseñó un protocolo de entrevista que consistió en una tarea de carácter intramatemático (ver Figura 3) fundamentada en el análisis de la fuente primaria Cayley (1854). El instrumento se validó tanto por un experto en el área de Álgebra Abstracta con más de quince años de experiencia docente en una Licenciatura en Matemáticas, como por usuarios, considerando los resultados de una prueba piloto aplicado a cinco estudiantes del quinto semestre de la misma Licenciatura, entre ellos Lu.

Figura 3
Tarea correspondiente a la clasificación de grupos de orden cuatro
Elaborada por los autores

2.2. Análisis cualitativo de texto

Se usó el método de análisis cualitativo de texto (Kuckartz, 2014) para analizar los datos (ver Cuadro 2):

3. RESULTADOS

En esta sección se presenta la caracterización de las conexiones intramatemáticas realizadas por Lu al resolver la tarea correspondiente a la clasificación de los grupos de orden cuatro, las conexiones se denotan por C_i, i = 1, 2, 3 (ver Cuadro 3).

3.1. Conexiones intramatemáticas asociadas al concepto de grupo

(C₁) Un grupo finito de orden par tiene un elemento de orden dos

Basada en su conocimiento de los axiomas de un grupo, Lu estableció una conexión de tipo derivación, ya que utilizó la unicidad del inverso para explicar por qué un grupo . de orden par tiene al menos un elemento de orden 2, así como en la relación de igualdad entre el orden de un elemento y el orden de su inverso. La estudiante argumentó que, en un grupo de orden par, la cantidad de elementos sin considerar al neutro siempre es impar y si ninguno de ellos fuese de orden dos, se tendrían que considerar parejas de elementos donde uno es inverso del otro, en cuyo caso, sobra un elemento, el cual necesariamente es su propio inverso, es decir, hay un elemento de orden dos. Por lo tanto, desde el punto de vista de Lu, “en un grupo no puede haber un único elemento de orden distinto de uno y dos, porque se necesitaría otro del mismo orden con el cual emparejarlo [su inverso]”.

También se considera que Lu hizo una conexión relación parte-todo, debido a que su análisis se basó en los grupos de orden cuatro y seis como casos particulares de grupos de orden par y de esta manera logró establecer una generalización sobre la existencia de un elemento de orden dos.

Investigador: Explica por qué un grupo G de orden par tiene al menos un elemento de orden dos. En particular, G tiene un elemento de orden dos.

Lu: [...] en este grupo de orden cuatro, si hay dos que sean del mismo [orden] y tenemos el neutro, ya llevamos tres. Entonces el que quede es de orden dos y así va a pasar siempre porque vamos a tener el neutro. Entonces, si los demás van a pares, por ejemplo, ... ℤ₆ de orden seis van, por ejemplo, dos de [orden] tres, dos de [orden] seis, son cuatro y tenemos el neutro y entonces nos queda uno de orden dos [...]. En un grupo de orden par como los que ya mencioné, tengo dos elementos que son inversos entre sí, un elemento que es el neutro, entonces el otro debe ser de orden dos, es decir, inverso de sí mismo. [...] Entonces tendría parejas y me queda un sólo elemento, que tendría que ser de orden dos ¿por qué? Porque es su propio inverso.

(C₂) Existen dos formas posibles de llenar una tabla con cuatro elementos

En la construcción de una tabla de operaciones de un grupo de orden cuatro, Lu tenía claro que debía haber un elemento que era su propio inverso, sin embargo, presentó dificultades para realizar el llenado de esta a partir del subgrupo generado por el elemento de orden 2, al cual llamó a. En ese caso, se hizo la sugerencia a Lu de operar por la derecha por β, es decir, efectuar ⟨a⟩β = {β, aβ}, de donde la estudiante pudo explicar por qué el elemento αβ es distinto de los elementos 1, a y β. Además, Lu reconoció que en esta nueva tabla cada uno de los elementos en filas y columnas se deberían corresponder con alguno de los elementos 1, a, β y aβ. En palabras de Lu, “son esos elementos de las filas y columnas porque el grupo es cerrado”, por lo que se puede deducir que tenía claro que ninguna fila o columna de la tabla podía tener elementos repetidos, estableciendo una conexión procedimiento asociada con el concepto de grupo, ya que, por ejemplo, no relacionó que el operar ⟨a⟩β era lo mismo que hallar la clase lateral derecha, módulo el subgrupo considerado.

A partir de la tabla construida, la primera inferencia que Lu hizo fue que el grupo tenía que ser abeliano, es decir, αβ = βα y tomando en cuenta la fila de β inició la exploración de los casos para los cuales {β, βa, β², βaβ} = {1, a, β, aβ}. Lu argumentó que había sólo dos casos posibles para los cuales los elementos se podían relacionar, si: β² = 1 y β² = a (ver Figura 4). Estos dos casos corresponden a las formas posibles de llenar una tabla con cuatro elementos a partir del método propuesto en la tarea.

Investigador: En la tabla que construiste, si consideramos cualquier fila, digamos la de β […] ¿qué relación hay entre éstos y los elementos 1, a, β, aβ?

Lu: […] Deberían de relacionarse con β, 1, a y aβ.

Investigador: ¿Cómo determinas quién es cada uno de ellos?

Lu: Pues si fuera conmutativo, β² sería 1 y así βaβ sería α y éste sería éste [βa = aβ].

Investigador: ¿Sería el único caso?

Lu: No, también puede ser β pues es β, β² sería α nada más y éste [el elemento βaβ] al ser conmutativo pues se puede cambiar. β² , aquí es 1 y G conmutativo [el primer caso]. El elemento βa es igual a aβ. […] Otro caso es β² = a.

Investigador: ¿Serán los únicos casos?

Lu: Sí.

Investigador: ¿Cómo lo sabes?

Lu: Porque […] éste [el elemento βa] no puede ser identidad porque si lo hacemos identidad, aquí diríamos que éste [el elemento βaβ] estaría dividido así, entonces sería β y aquí tenemos β, ya está repetida, así que no se puede [ver Figura 4].

Investigador: Y, ¿cómo sabes que β no es identidad?

Figura 4
Dos casos posibles para {β, βa, β2 , βaβ} = {1, a, β, aβ}
Producciones escritas de Lu

3.2. Conexiones intramatemáticas asociadas a los conceptos de isomorfismo y grupos isomorfos

(C₃) Hay dos grupos estructuralmente diferentes de orden cuatro

A partir de establecer una conexión de comparación a través de características comunes, Lu identificó dos grupos estructuralmente diferentes de orden cuatro, ambos conmutativos: en un grupo todos los elementos diferentes del neutro son de orden dos, mientras que el otro grupo tiene dos elementos de orden cuatro (generadores del grupo) y uno de orden dos. Si bien tener un elemento de orden finito dado es una propiedad invariante de un grupo, es decir, una propiedad de G, tal que cualquier grupo H isomorfo a G tiene la misma propiedad, la explicación de la estudiante no consideró este argumento.

Por otra parte, basados en la producción de Lu se considera que hizo una conexión derivación al señalar que estos grupos no eran similares (isomorfos) porque al intentar realizar un cambio de nombre resulta imposible establecer una relación entre los elementos de los grupos con diferente orden. Es decir, su argumento se basó en su conocimiento de la propiedad de isomorfismo, que permite el cambio de nombre de los elementos a través de una correspondencia biunívoca, aunque no hizo referencia explícita a este concepto.

Investigador: Ahora bien, ¿los grupos resultantes son isomorfos? [ver Figura 5]. Justifica tu respuesta

Lu: No.

Investigador: ¿Por qué?

Lu: En principio, pues si yo quisiera hacer una relación tendría que haber un elemento de un orden igual a otro elemento del mismo orden, podría relacionar a 1 y a con 1 y a, pero β y γ aquí son de orden dos [ver tabla 1 en Figura 5] y aquí son de orden cuatro [ver tabla 2 en Figura 5], así que no los puedo hacer relacionar […] no se puede hacer esa relación entre los elementos para hacer un cambio de nombre.

Investigador: Entonces, ¿cuántos grupos hay de orden cuatro?

Lu: De los grupos de orden cuatro solo hay dos tipos y las otras combinaciones posibles son parecidas a uno de ellos. Bueno, los dos son conmutativos, uno tiene dos elementos generadores y el otro ninguno.

Figura 5
Dos grupos distintos de orden cuatro
Producciones escritas de Lu

CONCLUSIÓN

El objetivo fue caracterizar las conexiones intramatemáticas comprendidas en la clasificación de los grupos de orden cuatro a partir de un estudio de caso. Se identificaron dos conexiones asociadas al concepto de grupo y una con los conceptos de isomorfismo y grupos isomorfos. Cada una de estas conexiones se vinculó con al menos una categoría de conexiones intramatemáticas (ver Cuadro 3). Los resultados indicaron que el caso llegó a ser consciente de las conexiones matemáticas establecidas una vez que resolvió y reflexionó sobre su procedimiento al resolver la tarea. En el proceso de resolución orientado Lu descubría, construía y utilizaba su nuevo conocimiento para avanzar exitosamente, no obstante, se observó que los conocimientos previos o subyacentes, como por ejemplo el concepto de clases laterales y el de grupos isomorfos, fueron obstáculos para lograr responder correctamente la tarea sobre la clasificación de los grupos de orden cuatro, en ese sentido, las conexiones matemáticas establecidas por el caso están íntimamente relacionadas con su comprensión y el uso de su conocimiento en la resolución de la tarea, por ejemplo, analizar una proposición a partir de la examinación de casos particulares para realizar conjeturas y no a través de argumentos generales; llenar una tabla de operaciones que represente un grupo de orden cuatro de forma procedimental, es decir, solo considerando que en filas y columnas no haya elementos repetidos; así como no poder argumentar por qué el orden de los elementos es una propiedad invariante que satisfacen los grupos isomorfos.

Finalmente, una implicación educativa a partir de la identificación de las conexiones matemáticas concierne al diseño de tareas para establecer conexiones explícitas con el objetivo de fortalecer la compresión de los conceptos y resultados subyacentes a la clasificación de los grupos de orden cuatro. También se destaca el uso de la historia de las matemáticas para favorecer en una presentación de los conceptos, teoremas, algoritmos de forma conectada a los estudiantes, en relación con los problemas e ideas que los generaron, en contraste con la comprensión procedimental que promueve la enseñanza actual en la determinación de todos los grupos de orden cuatro.

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Enlace alternativo

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