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La Modelación Matemática En Un Contexto

En las instituciones educativas la competencia matemática, por parte de los estudiantes, comprende los siguientes aspectos: el estudio y la comprensión de conceptos y algoritmos, la aplicación del lenguaje matemático, la solución de problemas y la demostración de propiedades. También abarca la discusión y comunicación de ideas matemáticas con su par, con el profesor o con otros miembros de la comunidad científica en general. Incluye, de igual modo, el desarrollo del pensamiento matemático y la habilidad para interpretar o diseñar modelos matemáticos referidos a las diversas situaciones de las ciencias aplicadas. La discusión y comunicación de ideas, dudas y errores en el contexto de una situación real juega un papel importante en la educación científica (Alro & Skovsmose, 2004;Beyer, 1994; Pimm, 1999;Serrano, 2005).

La competencia matemática involucra un aspecto que ha sido central en el desarrollo de la misma matemática: la resolución y planteamiento de problemas. Estas actividades están presentes, aunque guiadas por una diversidad de enfoques, en el proceso de enseñanza y aprendizaje en nuestra educación matemática y ciencias aplicadas, y tienen un peso especial en el diseño curricular de matemáticas en el nivel universitario colombiano. Pruebas como la del TIMSS, del PISA o del SINEA se estructuraron con base en la resolución de problemas; situación que se presenta además en las pruebas de ingreso a la Universidad. Al considerar la resolución de problema como algo difícil se generaliza cuando se considera que un estudiante es bueno o es malo para la matemática. Existe un criterio bastante generalizado que consiste en considerar la resolución de problemas catalogados como difíciles, como un indicativo de que se es “bueno” o que se comprende la matemática.

Se quiere destacar las siguientes apreciaciones: (1) de qué forma se está trabajando en el aula, porque al parecer no está contribuyendo a desarrollar las competencias que se plantean el currículo para el estudiante (reportes que se citaron anterior mente); y, (2) el tipo de problema que se estudia y se propone a los estudiantes, por parte del profesor y en los libros de texto.

En cuanto al segundo punto, el término problema ha tenido diferentes interpretaciones tanto en matemática como en educación matemática, incluso los profesores y estudiantes tienen diferentes perspectivas de lo que es un problema. Por lo tanto, es importante que, en la instrucción universitaria, la enseñanza de la matemática esté dirigida a mostrarse en toda su amplitud de tal manera que lenguaje, herramienta y formación se compaginen hacia una aplicación evidente en la realidad y se le encuentre sentido a la serie de teorías o enunciados que la conforman. El matemático debe entender que enseñar matemática no es igual a crear matemática, la diferencia está, entre otras, en darle vida y sentido a lo que enseña a través de la aplicación tanto en el campo interno como en diferentes disciplinas científicas, como, por ejemplo, la física. Hasta ahora lo que se ha producido es una transferencia poco útil, descontextualizada produciendo en el estudiante una actitud de rechazo hacia la matemática.

Es por ello que el estudio de la Transformada de Fourier y su inversa, no se puede realizar descontextualizada sino buscando un sentido y aplicabilidad en algunas disciplinas técnicas y científicas. Debe verse como una herramienta que ayuda a entender qué sucede en un campo específico, como por ejemplo las telecomunicaciones o su aplicación en el procesamiento de imágenes de descarga eléctrica y su modelación interdisciplinar. Caso específico de estudio en este ensayo.

Desarrollo

Procesado de imágenes de descarga eléctrica: ejemplo de modelación e interdisciplinaridad

El procesamiento de imagen utiliza especialmente técnicas de filtrado para eliminar el ruido y la segmentación o división de una imagen en sus partes constituyentes.

La teoría de los filtros de los sistemas lineales está fundamentada en la noción de respuesta impulsional y su función de transferencia . En este caso, la teoría permite establecer que si se le aplica la respuesta impulsional a una señal de entrada con espectro se obtendrá una señal de salida con espectro teniendo en cuenta que la salida de un sistema lineal (LSI) puede ser calculada directamente en el dominio de la entrada convolucionando la entrada con la respuesta impulsional del sistema (Goodman (1968).

Entonces por el teorema de convolución se cumple la siguiente relación en el dominio de la frecuencia:

Donde G, H y F son respectivamente las transformadas de Fourier de (Mejía, 2004). Por tanto, la función de transferencia puede ser escrita como:

Donde a los valores y se les conoce como función de transferencia de amplitud del sistema y la segunda función de transferencia de fase del sistema. Si el sistema considerado es tal que tiene a se tiene un filtro de amplitud; porque únicamente la función de transferencia en amplitud actúa sobre la entrada; mientras que sise tiene un filtro de solo fase (Mereles, 2012).

La señal de salida del sistema se escribe así:

Donde es la transformada de Fourier inversa, esta relación permite determinar los efectos de la función de transferencia de amplitud sobre el espectro de amplitud de entrada y los efectos de la función de transferencia de la fase sobre el espectro de fase de entrada, ver figura 4.

Figura 4:
Pasos para filtrar la imagen

La segmentación consiste en separar en una imagen elementos que correspondan a unidades significativas. Ésta se realiza con base en criterios de “homogeneidad” como lo son tono, textura, profundidad, bordes, entre otros; aunque para tal fin también es posible considerar discontinuidades, movimiento (Ohta et al., 1980).

Para la segmentación de la imagen digital (espectro) se implementó la transformación del sistema de color RGB al sistema propuesto por Ohta et al. (1980). La forma matricial del sistema es:

Utilizándose para segmentar las imágenes digitales la componente intensidad (Ohta et al., 1980), ver figura 5.

Figura 5:
Segmentación del espectro

Correlación Digital

La correlación es un proceso que se utiliza en tratamiento de señales e imágenes, para comparar dos imágenes, este proceso puede ser realizado de forma óptica o de forma digital, en el caso del proceso óptico se requiere de una serie de lentes especiales para detectar las señales o imágenes a encontrar, mientras que en el procesamiento digital se requiere de un equipo de computación especializado (mayor velocidad) que pueda realizar este proceso.

La correlación es el parámetro tradicionalmente utilizado para la detección y comparación de objetos, ya que, bajo ciertas restricciones, el valor de la correlación en el origen de un objeto consigo mismo (autocorrelación) es mayor que el de la correlación con cualquier otro objeto (Gonzalez & Wintz, 1997).

Si son funciones de variables continuas o discretas, su correlación cruzada se define así:

Para el caso continuo

Para funciones discretas:

Donde es el complejo conjugado

Para x = 0, 1, 2,.., M-1 e y = 0, 1, 2,..., N-1. y son funciones extendidas, y M, N se escogen tal que eviten la superposición en los periodos de la función de correlación (Fernández et al., 2003).

Por medio de la transformada de Fourier es posible correlacionar dos imágenes o funciones de la siguiente manera:

Las Transformadas de Fourier de las imágenes se multiplican entre sí después de conjugar una de ellas. La transformada de Fourier inversa de este producto es la correlación entre las funciones. Se fundamenta en una de las propiedades de la Transformada de Fourier que garantiza su continuidad (Gualdrón, 2000).

Cuando las funciones son iguales la función se le denomina autocorrelación. El módulo de la autocorrelación es máximo en el origen, es decir para desplazamiento cero ver figura 6.

Figura 6.
a) Espectro de una descarga eléctrica b) La FFT y el conjugado c) La multiplicación de FFT y su conjugado d) pico de la auto-correlación.

La correlación cruzada en el origen con otra función diferente es menor que la autocorrelación.

La correlación de dos imágenes, se utiliza en aplicaciones de reconocimiento donde se busca encontrar la mayor correspondencia entre una imagen desconocida y las de una base de datos (patrones) previamente preestablecida. Se calcula la correlación entre esta imagen y todas las de la base de datos, el máximo valor de indica la posición en la que se produce la mayor correspondencia entre la imagen desconocida y la base de datos, figura 7.

Figura 7:
Espectro desconocido y la plantilla de patrones conocidos

Resultados

En las figuras 8, 9, 10, 11 se muestran los resultados de la correlación cruzada de los espectros de electrodos de Tungsteno puro “desconocido 1”, acero inoxidable ER 316L “desconocido 2”, acero inoxidable ER 308L “desconocido 3”, Tungsteno con 2% de Thorio “desconocido 4” con la plantilla patrón ver figura 8. Se observó en el gráfico bidimensional y el gráfico tridimensional que la intensidad y el pico del coeficiente de correlación normalizado son diferentes en cada uno de los espectros patrón. Siendo el más intenso y el más largo la posición del espectro patrón que le corresponde al “desconocido”.

En las tablas (1 y 2) se registran los valores de la correspondencia normalizada, de la autocorrelación y la correlación cruzada entre cada uno de los espectros de los electrodos de Tungsteno puro, acero inoxidable ER 316L, acero inoxidable ER 308L, Tungsteno con 2% de Thorio, aluminio ER 4043 y para acero al carbón ER 70S-6 con cada uno de los patrones.

Figura 8.
a) Ubicación del espectro “desconocido 1” b) pico del coeficiente de correlación normalizado

En la gráfica bidimensional (figura 8 a), se muestra la imagen correspondiente al coeficiente de correlación entre el espectro del electrodo de Tungsteno puro “desconocido 1”, y los patrones. Obsérvese la alta intensidad en la posición donde se encuentra el espectro del Tungsteno puro en la plantilla de patrones (188,141). En la gráfica de superficie o tridimensional (figura 8 b), se muestra los picos de la correlación cruzada normalizada. Obsérvese el pico más largo de coeficiente de correlación, en la posición donde se encuentra el espectro del electrodo de Tungsteno puro en la plantilla de patrones.

Figura 9.
a) Ubicación del espectro “desconocido 2” b) pico del coeficiente de correlación normalizado

En la gráfica bidimensional (figura 9 a), se muestra la imagen correspondiente al coeficiente de correlación entre el espectro del electrodo de acero inoxidable ER 316L “desconocido 2”, y los patrones. Obsérvese la alta intensidad en la posición donde se encuentra el espectro del electrodo de acero inoxidable ER 316L en la plantilla de patrones (434,141).

En la gráfica de superficie o tridimensional (figura 9 b), se muestra los picos de la correlación cruzada normalizada. Obsérvese el pico más largo de coeficiente de correlación, en la posición donde se encuentra el espectro del electrodo de acero inoxidable ER 316L en la plantilla de patrones.

Figura 10.
a) Ubicación del espectro “desconocido 3” b) pico del coeficiente de correlación normalizado

En la gráfica bidimensional (figura 10 a), se muestra la imagen correspondiente al coeficiente de correlación entre el espectro del electrodo de acero inoxidable ER 308L “desconocido 3” y los patrones. Obsérvese la alta intensidad en la posición donde se encuentra el espectro del electrodo de acero inoxidable ER 308L en la plantilla de patrones (188,340).

En la gráfica de superficie o tridimensional (figura 10 b), se muestra los picos de la correlación cruzada normalizada. Obsérvese el pico más largo de coeficiente de correlación, en la posición donde se encuentra el espectro del electrodo ER 308L en la plantilla de patrones.

Figura 11.
a) Ubicación del espectro “desconocido 4” b) pico del coeficiente de correlación normalizado

En la gráfica bidimensional (figura 11 a), se muestra la imagen correspondiente al coeficiente de correlación entre el espectro del electrodo de Tungsteno con 2% de Thorio “desconocido 4” y los patrones. Obsérvese la alta intensidad en la posición donde se encuentra el espectro del electrodo de Tungsteno con 2% de Thorio en la plantilla de patrones (434,340).

En la gráfica de superficie o tridimensional (figura 11 b), se muestra los picos de la correlación cruzada normalizada. Obsérvese el pico más largo de coeficiente de correlación, en la posición donde se encuentra el espectro del electrodo de Tungsteno con 2% de Thorio en la plantilla de patrones.

Tabla1

Resultados de la autocorrelación

En la tabla 1 se muestra los espectros en el dominio del espacio y en el dominio de la frecuencia de cada uno de los electrodos menciona anterior mente y el valor del coeficiente de autocorrelación normalizado y en la tabla 2 se muestra los valores del coeficiente de correlación normalizado de los espectros “desconocido”, con cada patrón. Obsérvese que el valor más alto aproximadamente a 1 lo tiene el espectro “desconocido” correspondiente al espectro patrón del mismo electrodo.

De esta manera se recomienda trabajar la Transformada de Fourier y su aplicación en la modelación en el aula, para así, profundizar en el conocimiento del hecho educativo y generar conocimiento científico sobre los procesos de aprendizaje, además se recomienda este tipo de problema que sea abordados por los profesores y los libros de textos para los estudiantes y así mantener actualizados los contenidos objeto de aprendizaje en esta disciplina.

Conclusiones

Los puntos a destacar en esta sección son los siguientes: eficacia de la transformada de Fourier y su inversa para la correlación y el filtrado de imágenes de descargas eléctricas en electrodos industriales. La modelación matemática como un proceso fundamental en la actividad de enseñanza y aprendizaje en el ámbito de la educación científica para afrontar problemas del contexto real interdisciplinario, es decir, contribuyendo en el estudiante; desarrollar habilidad de identificar preguntas selectas, variables, relaciones en la situación del mundo real, trasladar éstas realidad a las matemáticas e interpretar. Se hace énfasis en el hecho didáctico de que la Transformada de Fourier no es una teoría aislada sino de vital importancia y aplicabilidad en el campo científico – tecnológico y en el caso específico del procesado de imágenes de descarga eléctrica.

Referencias

Alro, H. y Skovsmose, O. (2004). Dialogue and learning in mathematics education. Intention, reflection, critique. Edición Kindle.

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Mereles, L. (2012). Preprocesamiento de imágenes digitales a través de su Transformada de Fourier. http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Leonardo%20Mereles.pdf

Ohta, Y., Kanade, T., Sakai., T. (1980). Color Information for Region Segmentation, publicado en Computer Graphics and Image Processing. Journal Article, Computer Graphics and Image Processing, 13(3), 222-241. https://www.ri.cmu.edu/pub_files/pub4/ohta_y_1980_1/ohta_y_1980_1.pdf

Pimm, D. (1999). El lenguaje matemático en el aula. Morata.

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