INTRODUCCIÓN

Aunque las definiciones formales de series y series convergente no fueron establecidas hasta después de los trabajos de Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) y Karl Weirstrass (1815 –1897), las series han sido estudiadas desde la antigua civilización griega por matemáticos como Arquímedes de Siracusa (287 ac – 212 ac), quien derivó la identidad elemental

de la cual se infiere que

Estos estudios produjeron muchos resultados útiles y, en general, correctos; aunque bajo los estándares modernos sus demostraciones no eran totalmente satisfactorias.

El primer obstáculo que enfrentaban los matemáticos al estudiar las series numéricas era determinar la convergencia o divergencia de la serie numérica y, el segundo obstáculo era determinar la suma total (o límite) de la serie convergente. Aunque muchos resultados, sobre series numéricas particulares, se lograron sin probar primeramente que la serie era convergente.

Además de las series geométricas, se estudiaron muchas series numéricas interesantes. Por ejemplo, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) estudió la serie de los recíprocos de los números triangulares

la cual es una serie telescópica, ya que

Por lo tanto

De igual manera, Leibniz obtuvo la suma de la serie de los recíprocos de los números piramidales

El objetivo de este trabajo es presentar las contribuciones de los matemáticos, a través de la historia, de tres series numéricas que jugaron un papel preponderante en el desarrollo y evolución del cálculo diferencial e integral y, en el nacimiento del análisis real. Estas series son la serie armónica, la serie armónica alternada y la 𝑝–serie con 𝑝 = 2 (conocida como el problema de Basilea)

MATERIALES Y MÉTODOS

Para lograr el objetivo planteado en este trabajo se toman las tres series

Se presentarán varias demostraciones de que la serie armónica es divergente, a pesar de que . Posteriormente, se presentarán varias contribuciones de matemáticos probando que la serie armónica alternada es convergente y, se calcula su suma total. Finalmente, se presenta la historia de la 𝑝–serie , así como alguna demostración de que su suma total es $\textcolor{red}{}\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{6}$; usando tanto técnicas antiguas como técnicas modernas.

La Serie Armónica

Como la serie es divergente, la serie armónica es divergente.

En 1650, el matemático italiano Pietro Mengoli (1626 – 1686) en su obra Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum, presentó una demostración sobre la divergencia de la serie armónica, basado en la siguiente desigualdad (Bell, 2018)

Su método consistía en agrupar los términos de la serie armónica en bloques de tres y, aplicar la desigualdad anterior.

Si tomamos

Entonces se tiene que 𝑆 > 1 + 𝑆

Aplicando esta desigualdad repetidamente se obtiene que 𝑆 > 1 + 𝑆 > 2 + 𝑆 > 3 + 𝑆 > 4 + 𝑆 > ⋯

Por consiguiente 𝑆 > 1, 𝑆 > 2, 𝑆 > 3, 𝑆 > 4, … y la serie armónica es convergente.

Una demostración similar a la de Mengoli es agrupar los términos de la serie armónica en bloques de dos y aplicar la desigualdad o sea con lo que se concluye que la serie armónica es divergente.

Similar a esta demostración, se obtiene la siguiente demostración, suponiendo que la serie armónica es convergente con suma 𝑆 . Con la contradicción 𝑆>𝑆 se concluye que la serie armónica es divergente.

Haciendo uso de las propiedades de las integrales impropias y el teorema de la convergencia dominada se pueden justificar los pasos de la siguiente demostración, que no es totalmente rigurosa

Haciendo uso del cambio de variable 𝑡 = 𝑒𝑥, se obtiene la siguiente demostración equivalente a la anterior

Como se tiene que

La siguiente demostración hace uso de las propiedades de los logaritmos, las series telescópicas y la desigualdad 𝑥 ≥ 𝑙𝑛(1 + 𝑥) , para todo 𝑥 > −1.

En efecto,

El uso de la desigualdad 𝑥 ≥ 𝑙𝑛(1 + 𝑥) en la demostración anterior se puede evitar, usando el criterio de comparación por límite con la serie telescópica divergente.

En efectos, por la regla de L’ Hopital,

Luego como la serie es divergente, por el criterio de comparación por límite, ls serie armónica es divergente.

Esta última demostración hace uso de la integral de Riemann y del cálculo de área bajo una curva. En efecto considere la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) =$\frac{1}{x}$.

De la figura se tiene que

Denote por 𝐻𝑛 la n–ésima suma parcial de la serie armónica y considere la sucesión , donde

Haciendo uso repetido de la desigualdad anterior, se obtiene

De donde

Esto implica que

Por consiguiente, la sucesión no es de Cauchy y, por ende, es divergente. Así, la serie armónica

La Serie Armónica Alternada

La serie armónica alternada o serie de Mercator (también llamada serie de Newton – Mercator) es la expansión en serie de potencias de la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(1 + 𝑥)

La cual fue publicada por primera vez por el matemático alemán Nikolaus Mercator (1620 –1687) en su libro Logarithmotechnia publicado en 1668. Aquí Mercator encuentra su famosa serie para el área bajo la hipérbola sobre el intervalo [0,𝑥]. Él comienza calculando a través de la división de la serie geométrica

Aunque Mercator no integró término a término, haciendo las justificaciones adecuadas, se obtiene

Por lo tanto

Tomando 𝑥 = 0, se tiene que 𝑐 = 0. Así

Observe que por el criterio de las series alternadas de Gottfried Leibniz (1646 – 1716), se sabe que la serie armónica alternada es convergente. Luego, tomando 𝑥 = 1se obtiene

Note que

Finalmente, usando su fórmula de transmutación, Leibniz (Edward, 1994), (Dunham, 2018), (Komornik, 2022) probó que

Dividiendo ambos miembros por 2, Leibniz obtuvo

Además,

La P – Serie (El problema de Basilea)

A través de los siglos XVIII y XIX, las academias científicas propusieron premios a la solución de problemas, con el fin de guiar la investigación científica. En los principios del tiempo de Leonhard Euler (1707 – 1783), había sólo unos cuantos problemas grandes esperando ser resueltos. Los teoremas de Fermat no eran tomados muy en serio para esos tiempos, ya que sólo tenían pocas décadas de antigüedad. Euler, sin embargo, resolvió la mayoría de ellos y presentó solución parcial a el último teorema de Fermat para los casos 𝑛 = 3y 𝑛 = 4. (Dunham, 1999), (Dunham, 2007).

El premio más grande permanecía para el problema de Basilea, que consistía en calcular la suma de los recíprocos de los cuadrados de los números naturales; esto es,

Este problema fue propuesto por Pietro Mengoli en 1650 en su obra Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum y, resuelto por Euler en 1734 donde probó (Hassler, 2022),

Veamos primeramente la convergencia de la serie En efecto, para todo número natural 𝑛 se tiene que 2𝑛2≥𝑛2+𝑛=𝑛(𝑛+1)

Por lo tanto,

Ahora bien,

Luego por el criterio de comparación directa, se tiene que la serie es convergente.

Euler se interesó en el problema de Basilea y en 1734 anuncia que lo había resuelto; sin embargo, por las críticas de los matemáticos de su época, Euler se vio obligado a presentar varias demostraciones de este problema. (Dunham, 2007), (Dunham, 2018).

En la siguiente demostración del problema de Basilea, Euler hace uso de las dos representaciones de la función seno. (Edward, 1994)

Como y

Se tiene que

Por lo tanto

En 1735 Euler, presentó una demostración del problema de Basilea, usando herramientas no más controversiales que la integración por partes, el teorema del binomio y relaciones recursivas simples (Kalman, 1993).

Euler comienza la demostración considerando un círculo de radio 1, tomando 𝑠 como la longitud de arco y 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑠, o sea 𝑠 = 𝑠𝑒𝑛⁻¹ 𝑥. Luego,

Multiplicando estos dos valores obtiene

Por el teorema del binomio se tiene que

De donde

Por consiguiente

Posteriormente, Euler integra ambos lados desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 1. Esto implica que 𝑠 varía desde 𝑠 = 0 hasta $\textcolor{red}{}s=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, es decir

Integrando un término arbitrario, usando integración por partes, Euler obtiene

De donde, y

Así, Euler obtiene

Así pues

Finalmente, como la serie es absolutamente convergente, se tiene que

De donde y

En 1983, Tom Apostol presenta la siguiente demostración del problema de Basilea (Apostol, 1983). Como se tiene que

Por otro lado, donde 𝐵={(𝑥,𝑦)∈ℝ²:0≤𝑥≤1,0≤𝑦≤1}. Introduciendo el cambio de variables simplemente se obtiene una rotación de los ejes coordenados $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ donde el jocabiano

Luego, por simetría donde

Tomando el cambio de variable 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃, se obtiene

Tomando el cambio de variable 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃, se obtiene

Por consiguiente, o sea y

Otra forma de probar el problema de Basilea usando integrales dobles es probar que (Kalman, 1993) y utilizando el cambio de variable probar que donde

Así

Por consiguiente,

La siguiente y última demostración hace uso de las siguientes identidades (Russel,1999)

Denote

Luego

Por otro lado, como se tiene que

Integrando

De donde

Así pues,

Por consiguiente

Pero como 𝐼 es un número real, se tiene que o sea

Note que se ha probado que

CONCLUSIONES

1. 1. Se ha probado que la serie es divergente, a pesar de que . De esto se deduce que la condición es necesaria, pero no suficiente, para que la serie sea convergente.
2. 2. Aunque se han presentado varias demostraciones de que la serie armónica es divergente, existen muchas otras demostraciones, utilizando diversas herramientas y técnicas matemáticas.
3. 3. Se ha probado que la serie armónica alternada es convergente y que converge a 𝑙𝑛2; sin embargo, ella no es absolutamente converge, o sea que ella es condicionalmente convergente. Esto implica si se reordenan los términos de la serie armónica alternada, este resultado puede cambiar.
4. 4. El primero en determinar el valor de la 𝑝–serie fue Euler 1734, el cual, utilizando varias técnicas, probó que . Euler también probó que
5. 5. En este artículo se ha probado que . La ecuación relaciona el problema de Basilea con la serie de Leibniz (Komornik, 2022).

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Apostol, T. M. (1983). A Proof that Euler Missed, Evaluating ζ (2) the Easy Way. The Mathematical Intelligencer. 5(3). 59-60.

Bell, J. y. Blasjo, V. (2018). Pietro Mengoli's 1650 Proof that the Harmonic Series Diverges. Mathematics Magazine. 91(5). 341-347.

Dunham. W. (1999). Euler: The Master of Us All. The American Mathematical Society.

Dunham. W. (2007). The Genius of Euler: Reflections on his life and work. The Mathematical Association of American.

Dunham, W. (2018). The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton University Press.

Edward, C. H. (1994). The Historical Dvelopment of the calculus. Springer.

Hassler, U. y Hossein Kouchack, M. (2022). Basel Problem: Historical perspective and futher proofs from stochastic processes. Euleriana. 2(2). 120 -130.

Kalman, D. (1993). Six Ways to Sum a Series. The College Mathematics Jounal. 24(5). 402- 421.

Komornik, V. (2022). A "Luminous" Solution to the Basel Problem. Mathematics Magazine:

Komornik, V. y Schafke, R. (2021). Leibniz, Newton, and Cauchy; A Complex Relationship. The American Mathematical Monthly. 128(4). 367-369.

Russell, D.C. (1991). Another Eulerian-Type Proof. Mathematics Magazine. 64(5). 349-349.