Las curvas intensidad, duración y frecuencia (IDF) son ampliamente utilizadas en los cálculos hidrológicos para el diseño de obras hidráulicas como alcantarillas, puentes, vertederos de presas, canales de drenaje pluvial, y en estudios de amenazas por inundaciones y erosión hídrica. Las curvas IDF sólo se puede obtener en estaciones meteorológicas que disponen de pluviógrafos, los cuales registran la precipitación acumulada a lo largo del tiempo, en un gráfico, donde se pueden hacer lecturas de la lluvia cada cinco minutos, y con eso estimar las intensidades. En Nicaragua la mayoría de las estaciones son pluviométricas, únicamente registran la precipitación total acumulada en 24 horas, por lo que en esos sitios no se dispone de información para la obtención de las curvas de intensidad, duración y frecuencia.

Campos (1978), como se citó en Torne Angulo, (2023), indica que cuando no hay registros horarios de lluvias, se proponen ecuaciones para estimar su intensidad con diferente duración a partir de las series de precipitación máxima en 24 horas, obteniendo buenos resultados.

Otros autores como Hassan El-Sayed (2017) en Egipto, Mejía Arrieta (2017) y Vargas y Díaz Granados (1998) en Colombia, determinaron ecuaciones que relacionan las intensidades máximas anuales y sus períodos de retorno con las precipitaciones máximas diarias, con coeficientes de determinación R²> 0.80. De igual manera en Turquía, Sen (2019), en la India, Basumatary y Sundar Sil (2017), presentaron modelos matemáticos para estimar las curvas IDF como función de la lluvia máxima diaria, obteniendo también buenos resultados.

Para el análisis de frecuencia de las intensidades máximas anuales de diferentes duraciones, se ha utilizado la función de distribución de probabilidad de valores extremos Tipo uno de Gumbell (Chow, 1953),porque se adapta bien a las distribuciones empíricas de probabilidad de eventos máximos de lluvias (Chow etal., 1988). También se utilizó la función Gumbell para el análisis de las series de precipitación máxima diaria, para obtener sus valores para diferentes períodos de retorno. Se comprobó la bondad del ajuste de la función Gumbell mediante la prueba Smirnov-Kolmogorov (Villón Béjar, 2006).

Tomando en cuenta la insuficiente cantidad de estaciones pluviográficas en amplias regiones del país, se dificulta la precisión en la estimación de las intensidades máximas, y por consiguiente los caudales máximos de diseño asociados; se hace necesario plantear procedimientos que permitan solventar esta limitación en los estudios hidrológicos que se realizan en dichas zonas del país.

El objetivo de este estudio fue determinar las ecuaciones potenciales que relacionan los datos de las curvas de intensidad, duración y frecuencia con las precipitaciones máximas de 24 horas, que nos permita estimar la intensidad, duración y frecuencia en aquellos sitios que únicamente disponen de datos diarios de precipitación, solventando así la escasa disponibilidad de datos pluviográficos para estimar las curvas intensidad, duración y frecuencia.

MATERIALES Y MÉTODOS

Análisis de independencia de las series de precipitación máxima diaria anual

Los supuestos del análisis de frecuencia de una serie de datos es que son aleatorios, que no dependen de los valores anteriores, garantizando así que son datos independientes. Para el análisis de independencia de las precipitaciones máximas de 24 horas, se utilizó el siguiente coeficiente de autocorrelación.

Donde:

R_h = Coeficiente de autocorrelación

C_h = Función de auto covarianza

C_o = Función de varianza

h = Desfase en años

Y_t = Valor de la intensidad de lluvia en el año t

Y_m = Valor medio de la serie de intensidades de lluvia

N = Número de años de la serie de intensidades de lluvia.

El valor resultante de R_h oscilara entre -1 y +1.

Con los valores del coeficiente de autocorrelación R_h, con desfase h desde cero a diez años, se procede a graficar el desfase contra R_h(Figura 1), obteniendo así el correlograma de la serie de precipitaciones máximas de 24 horas.

Cuando los valores de R_hse aproximan a cero, los valores de la serie no son autocorrelativos, es decir, el valor actual no depende del valor anterior, y se puede inferir que la serie es independiente.

Figura 1.
Correlograma de precipitación máxima de 24 horas.

Obtención de las curvas de intensidad, duración y frecuencia

Para obtener las curvas IDF se realizó el análisis de frecuencia con la función de probabilidad Gumbel (valores extremos tipo I), la que ajusta bien a las precipitaciones máximas anuales (Chow et al., 1988; Muñoz y Zamudio, 2018; Wilches et al., 2020).La función de distribución de probabilidad acumulativa para Valores Extremos Tipo I (EVI) es:

Para todo -α ≤ x ≤ α

Los parámetros de la función son estimados con:

Donde:

α = Parámetro de escala

μ= Parámetro de posición, llamado también moda de la distribución

S = Desviación estándar de la serie analizada x

Xmed = Media de la serie analizada x

Se puede definir una variable reducida:

Sustituyendo:

Despejando Y:

También se puede calcular con el período de retorno T la probabilidad acumulada p(x ≤ X):

Sustituyendo F(x_T) en Y, se obtiene la variable Y_T:

Para la distribución de Valores Extremos Tipo I (EVI), X_T está relacionado con Y_T por medio de:

X_T = μ + α Y_T (12)

Donde X_T es valor máximo de la variable para un determinado período de retorno de la serie analizada.

Bondad del ajuste

Se revisó la bondad del ajuste de la distribución de probabilidad teórica de la función de Gumbell (EVI) a la distribución de probabilidad empírica de los datos de intensidades con la prueba de Smirnov-Kolmorov, en la que se compara las desviaciones máximas de la probabilidad de la función Gumbell respecto a la probabilidad empírica ΔPmax, con la desviación máxima de Smirnov-KolmogorovΔmax. En esta prueba se utilizó un nivel de significancia α de 5%. Para que se acepte el ajuste de la función Gumbell (EVI) se debe cumplir que ΔPmax ≤ Δmax (Villón Béjar, 2006).

La distribución de probabilidad empírica (Chow et al., 1988) se calculó con la fórmula de Weibull:

p=m/(N+1) (13)

Donde:

p = Probabilidad empírica

m = Número de orden de una serie ordenada de menor a mayor

N = Número total de datos de la serie

Correlación de las IDF a partir de precipitaciones máximas de 24 horas

Se utilizó una ecuación tipo exponencial propuesta por Vargas y Díaz Granados (1998) que plantea:

Donde:

I = Intensidad de precipitación en milímetros por hora (mmh^-1).

T = Periodo de retorno en años, asociado a la intensidad I.

M = Precipitación máxima promedio anual en 24 horas (mm), a nivel multianual, para un determinado T

t = Duración de la lluvia en minutos

a, b, c y d = Parámetros de ajuste de la regresión

Para obtener los parámetros de la ecuación anterior se procedió a hacer una transformación de ecuación exponencial a una de tipo lineal, mediante la aplicación de logaritmos naturales a ambos lados de (14):

La aplicación de este artificio permite establecer una relación lineal entre los logaritmos de las variables, por lo que se puede aplicar la técnica de los mínimos cuadrados para determinar los valores óptimos de cada parámetro (Mejía Arrieta, 2017).

Se obtuvieron los coeficientes A y c de (15) por correlación lineal. Con el método de mínimos cuadrados se obtuvo la ecuación de la recta de mejor ajuste, usando como variable independiente X = ln (t) y variable dependiente Y = ln (I). Los valores A y c se obtuvieron para cada período de retorno en cada estación seleccionada. La calidad de esta correlación se evaluó mediante el coeficiente de determinación R². La correlación lineal se realizó en una hoja de cálculo de Microsoft Excel.

Una vez obtenidos los valores de A de cada período de retorno especificado (T), se procedió a resolver (16), correlacionando la variable independiente X = ln (A) con la variable dependiente Y = ln (T), aplicando nuevamente el método de mínimos cuadrados, para la estimación de los coeficientes "k" y "b" respectivamente.

Una vez obtenidos los valores de k, y con los valores de la variable independiente M de cada período de retorno especificado, se procedió a resolver (17), correlacionando la variable X = ln (M) con la variable dependiente Y = ln (k), aplicando nuevamente el método de mínimos cuadrados, para la estimación de los coeficientes "a" y "d" respectivamente.

De esta forma quedaron determinados los coeficientes a, b, c, y d de (14), la cual permite obtener las intensidades máximas para duraciones de lluvia menores que 24 horas, para un determinado período de retorno.

Datos utilizados

Se utilizaron datos de seis estaciones meteorológicas, que disponían de series de intensidades máximas anuales para diferentes duraciones de lluvia, y las series de precipitaciones máximas anuales en 24 horas de duración. El Cuadro 1 muestra el nombre de las estaciones, el período de registro de información y el estado de la información según período de registro.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Se realizó la prueba de independencia de las series de precipitación máxima de 24 horas en las estaciones mediante el coeficiente de autocorrelación según la ecuación (1). Esto permitió obtener los correlogramas que se muestran de la Figuras 2 a la Figura 7.

En todas las series el correlograma muestra bajos valores del coeficiente de auto correlación R_h, indicando que los datos de las series no dependen de los datos de los años previos, esto es, la variable precipitación máxima de 24 horas es independiente o aleatoria, por lo que se pueden utilizar en el análisis de frecuencia con la función de distribución de valores extremos (EVI) de Gumbell. Esto se hace extensivo a las series de intensidades máximas con diferentes duraciones.

Figura 2.
Correlograma de precipitación máxima de 24 h en la estación Managua Aeropuerto.

Figura 3.
Correlograma de precipitación máxima de 24 h en la estación Masaya Lagunas.

Figura 4.
Correlograma de precipitación máxima de 24 h en la estación Campos Azules.

Figura 5.
Correlograma de precipitación máxima de 24 h en la estación Rivas.

Figura 6.
Correlograma de precipitación máxima de 24 h en la estación Juigalpa.

Figura 7.
Correlograma de precipitación máxima de 24 h en la estación Jinotega.

Para la obtención de las curvas IDF utilizando la función Gumbell (EVI), mediante el análisis de frecuencia se determinaron los parámetros de la ecuación (4), para las series de intensidades máximas y duraciones de lluvias de 5, 10, 15, 30, 60, 120 y 1 440 minutos. En el Cuadro 2 se indican los valores de dichos parámetros.

Posteriormente se realizó la prueba de bondad del ajuste Smirnov-Kolmogorov a la función Gumbell ajustada a los datos de intensidades máximas anuales de cada estación. En el Cuadro 3 se muestran los valores de desviaciones máximas obtenidas para las intensidades y diferentes duraciones de lluvia (ΔP) y la desviación máxima permitida (Δ máximo) de la prueba Smirnov-Kiomogorov.

Se observa que las desviaciones máximas de la función Gumbell ΔP son menores que las desviaciones máximas de la prueba Smirnov-Kiomogorov Δ máximo, por lo que se acepta el ajuste de (4) a los datos de intensidades máximas de diferentes duraciones en las seis estaciones del estudio.

Una vez verificada la bondad del ajuste, se procedió a obtener las intensidades máximas anuales con (4) ajustada, para cada estación seleccionada y para diferentes períodos de retorno, las que se muestran desde el Cuadros 4 al Cuadro 9.

Con los datos de intensidades anteriores y las precipitaciones máximas promedios anuales en 24 h (M) se obtuvieron los parámetros a, b, c, y d de (14), auxiliándonos de (15), (16) y (17). Los Cuadros 10 y 11 muestran los parámetros obtenidos para cada estación en estudio.

En la correlación de las intensidades y las duraciones, de (15), se obtuvieron coeficientes de determinación R² que variaron de 0.95 a 0.99, en la correlación del parámetro A y los períodos de retorno, de (16), se obtuvieron coeficientes de determinación R² de 0.99, y en la correlación del parámetro k y las precipitaciones máximas de 24 horas, de (17), se obtuvieron coeficientes de determinación R² de 0.97, como se puede ver en el Cuadro 12. Estos valores de R² se consideran altos, y nos indican que se ha obtenido una buena correlación de las intensidades y las precipitaciones máximas de 24 horas.

Estos resultados son comparables con los obtenidos por Vargas y Díaz (1998) en Colombia, quienes obtuvieron valores de R² superior a 0.90, con excepción de la región del Caribe Colombiano donde en promedio fue de 0.73. De igual forma Mejía Arrieta (2017), en la región del Atlántico de Colombia, en un estudio para determinar curvas IDF a partir de precipitación máxima de 24 horas, obtuvo valores de R² entre 0.95 y 0.99. En el sur de Turquía, Sen (2019) desarrolló ecuaciones para obtener curvas IDF a partir de precipitación máxima de 24 horas, con errores relativos menores del 10%.

Se resalta que los parámetros a, b y d no varían con el período de retorno (Cuadro 10). El parámetro a de las cuatro estaciones de la Zona del Pacífico varía de 200 a 298, con el mayor valor en la estación Managua Aeropuerto, en cambio para las dos estaciones de la Zona Central varía de 255 a 309. El parámetro b de las cuatro estaciones de la Zona del Pacífico varía de 0.047 a 0.099, con el mayor valor en la estación Masaya, en cambio para las dos estaciones de la Zona Central varía de 0.107 a 0.145. El parámetro d no tiene una tendencia específica para la Zona del Pacífico como en la Central, sus valores son similares, variando de 0.127 a 0.206, en cambio los parámetros a y b han mostrado que en la Zona Central se presentan sus mayores valores.

Los valores del parámetro c mostrados en el Cuadro 11, en general disminuyen al aumentar el período de retorno T, en la Zona del Pacífico se presentan sus valores más bajos, entre 0.384 y 0.475, en cambio en la Zona Central se presentan los valores más altos del parámetro c, que varían entre 0.504 y 0.555. Se ha evidenciado que hay una regionalización para los parámetros a, b y c de (14), la cual podría representar regímenes de precipitaciones diferentes de cada zona.

Finalmente se revisó la correlación de los datos de intensidades obtenidos con (12), la función Gumbell (Cuadros 4 al 9), con las intensidades obtenidas con (14) calibrada, obteniendo coeficientes R² mínimos que varían entre 0.974 y 0.994 (Cuadro 13), los valores más altos corresponden a la estaciones Managua Aeropuerto cuyo R²= 0.988 (se analizó un registro de 42 años) y Juigalpa cuyo R²= 0.994 (se analizó un registro de 21 años), en cambio los valores más bajos corresponden a Jinotega cuyo R²= 0.974 (se analizó un registro de 27 años) y Campos Azules cuyo R²= 0.974 (se analizó un registro de 26 años). Estos resultados confirman que el ajuste obtenido para (14) representa adecuadamente las intensidades máximas anuales derivadas con la función Gumbell.

CONCLUSIONES

Es posible calibrar una ecuación que relacione las series de intensidades máximas anuales de una estación pluviográfica con la serie de precipitación máxima de 24 horas, obteniendo coeficientes de determinación altos, R²>0.97.

Los parámetros de la ecuación potencial de correlación de intensidades máximas anuales y precipitaciones máximas diarias a, b, y c, presentaron rangos de valores típicos para la Zona del Pacífico y Central del país, en cambio el parámetro d no presentó diferencias entre las dos regiones del país.

La ecuación ajustada con datos de intensidades de las seis estaciones con pluviógrafos permite obtener las curvas IDF para duraciones menores que 24 h, en las estaciones vecinas que sólo disponen de datos diarios de precipitación y que tienen régimen pluviométrico similar a las estaciones pluviográficas en estudio.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Wilches, F. J., Hernández Ávila, R., & Caballero Guerrero, A. R. (2020). IDF curves and maximum rainfall in 24 hours in the subregions of La Mojana and San Jorge in the northern Colombia. International Journal of Engineering Research and Technology, 13(10), 2884-2894. https://doi.org/10.37624/IJERT/13.10.2020.2884-2894

Notas de autor