1. INTRODUCCIÓN

En el Plan y Programas de Estudio para la Educación Básica (Secretaría de Educación Pública [SEP], 2017) se plantea como propósito que los estudiantes desarrollen un pensamiento matemático, es decir, una forma de razonar tanto lógica como no convencional para resolver problemas en diversos contextos, ya sean de la vida diaria, de las ciencias o en las propias matemáticas. Se establece que más que los contenidos matemáticos en sí mismos, importa el uso que se hace de ellos al enfrentar tales problemas. Así, se señala la importancia de que los estudiantes puedan realizar acciones de generalización, el cálculo de valores faltantes, el estudio de patrones y regularidades y el estudio de la variación lineal y no lineal de las variables de diferentes fenómenos o situaciones, y resolver problemas asociados con estas ideas. Esto refleja la importancia del desarrollo del Pensamiento y Lenguaje Variacional (Pylvar) de los estudiantes como parte del pensamiento matemático.

La importancia del estudio del cambio y la variación también se refleja en los organizadores curriculares propuestos para el pensamiento matemático: Número, álgebra y variación; Forma, espacio y medida, y Análisis de datos. Para el eje de Número, álgebra y variación se señala que desde los primeros grados de la educación primaria los estudiantes deben hacer frente a situaciones de variación y que hacia su final (en los grados quinto y sexto) se deben estudiar en el contexto de relaciones de proporcionalidad y sucesiones (SEP, 2017).

En el caso de México, en la educación primaria, la SEP desarrolla y distribuye de forma gratuita los libros de texto los cuales se elaboran en concordancia con el currículo oficial. Debido a esto, cobra relevancia lo señalado por Burgos et al. (2020), quienes indican que muchos profesores consideran al libro de texto como su principal guía en la implementación del currículo. A esto debe agregarse que en la enseñanza de las matemáticas el libro de texto domina las percepciones y las prácticas seguidas para esto (Aké y Díaz, 2018). Por tanto, se convierten en el currículo real que se implementa en el salón de clases (Braga y Belver, 2016) e incluso llega a transmitir valores culturales (Morales-García y Rodríguez-Nieto, 2022).

Ante una infructuosa búsqueda de trabajos que analicen los libros de texto de primaria de México para analizar cómo se aborda el pensamiento variacional, se reportan estudios similares de otros países. Por ejemplo, Ayola et al. (2016) señalan que aun cuando en los libros revisados de 4° y 5° primaria de Colombia se presentan secciones para el desarrollo del Pensamiento Variacional, se tiene que mejorar, por ejemplo, la caracterización de la variación y el cambio desde diferentes contextos, así como promover acciones como la generalización, modelación y representación en diferentes sistemas simbólicos. Además, se señala que algunas actividades son repetitivas y mecanicistas. Por su parte, la investigación de Tavera (2013) reporta que en los libros analizados de décimo grado de Colombia se observan pocas actividades que promuevan el Pylvar involucrado en la construcción de los contenidos de trigonometría.

En el Plan y Programa de Estudios para la Educación Básica (SEP, 2017) no se establece qué debe entenderse por situaciones variacionales e incluso por variación. Además, estos elementos matemáticos no son temas en sí mismos, como puede observarse al analizar la dosificación de los aprendizajes esperados para primaria. Solo hasta secundaria los aprendizajes esperados mencionan a la variación, por ejemplo, el aprendizaje para primer grado: “Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación” (SEP, 2017, p. 313). Sin embargo, el estudio del cambio es de gran importancia para uno de los propósitos del pensamiento matemático en primaria: “Identificar y simbolizar conjuntos de cantidades que varían proporcionalmente, y saber calcular valores faltantes y porcentajes en diversos contextos” (SEP, 2017, p. 300).

Las investigaciones en Matemática Educativa señalan la importancia del desarrollo de habilidades para estudiar y analizar el cambio como una competencia formativa para los miembros de la sociedad (Cantoral, 2019; Thompson y Carlson, 2017). Por tanto, independientemente del currículo bajo el que estén diseñados los libros, determinar si las actividades contribuyen al desarrollo del Pylvar resulta importante.

El objetivo de este estudio exploratorio es analizar si las actividades en los libros de texto gratuito del nivel primaria contribuyen al desarrollo del Pylvar de los estudiantes. Esto a partir de analizar su estructura y las estrategias que se movilizan al responder las actividades o secuencias didácticas sin analizar los resultados de su implementación en el aula. Para esto, se empleará el esquema de desarrollo del Pylvar propuesto por Cabrera y Zaldívar (2021).

2. EL PENSAMIENTO Y LENGUAJE VARIACIONAL

El Pylvar refiere a aquellas formas de razonamientos, habilidades, estrategias y demás acciones que se ponen en juego para enfrentar situaciones de cambio y comunicar y compartir resultados asociados, es decir, para analizar las variaciones que intrínsecamente determinan el comportamiento y las leyes que rigen a un fenómeno o situación de cambio, con la finalidad de su comprensión y/o, en su caso, realizar estimaciones, anticipaciones o predicciones sobre el mismo (Cabrera, 2014). Se entenderá por cambio a la modificación de las variables de una situación o fenómeno; mientras que, por variación, a la forma como cambian dichas variables.

Diferentes investigaciones relacionadas con el Pylvar (Caballero, 2018; Cantoral, 2019; Caballero-Pérez y Moreno-Durazo, 2017; Hernández-Zavaleta y Cantoral, 2017) se han enfocado en analizar cómo el desarrollo de habilidades para estudiar el cambio en situaciones normadas por la práctica social del Preadicere, son acercamientos pertinentes para la construcción de saberes matemáticos propios de la variación (Cantoral, 2019). Esta práctica social toma concreción a través de prácticas predictivas (estimación, predicción, etc.) vinculadas con determinar, en un sentido amplio, estados o comportamientos desconocidos de una situación o fenómeno.

Para analizar el desarrollo del Pylvar se emplearán los elementos propuestos por Cabrera y Zaldívar (2021), que se presentan en la figura 1. Estos autores proponen cuatro estadios de desarrollo: tomar conciencia de aquello que cambia; establecer un sistema de referencia para medir y estudiar el cambio; analizar el comportamiento variacional, y abstraer el carácter estable del cambio.

Figura 1
Esquema de desarrollo del Pensamiento y Lenguaje Variacional (Cabrera y Zaldívar, 2021, p. 193)

El estudio del cambio se realiza a través de la comparación (diferencias, cocientes, etc.) de estados de un fenómeno (Cantoral, 2019). Así, el corazón de este esquema es el tratamiento de la variable y su variación con la finalidad de establecer predicciones, lo cual se desarrolla a través de las estrategias variacionales de comparación, seriación, predicción y estimación (Caballero, 2018). Estas son entendidas como sigue:

· Comparación: Acción de establecer diferencias entre estados.

· Seriación: Establece diferencias comparativas entre un conjunto de elementos, con el fin de determinar la razón del comportamiento de estados contiguos de un fenómeno.

· Predicción: Acción de determinar un estado puntual a partir de un análisis de sus estados conocidos.

· Estimación: Acción de determinar comportamientos o tendencias de las variables en un intervalo a partir de sus comportamientos conocidos.

El primer estadio plantea la necesidad de ser consciente del cambio, lo que requiere reconocer qué es lo que cambia en la situación o fenómeno bajo estudio, es decir, las variables implicadas y aquellas pertinentes para tal estudio (Cantoral, 2019); interesarán aquellas variables que están relacionadas causalmente (Caballero, 2018).

El segundo estadio postula que para el estudio del cambio se debe establecer un sistema de referencia variacional. De acuerdo con Caballero (2018), este sistema se compone del establecimiento de la relación causal de las variables, un elemento de referencia pertinente que permita reconocer y medir el cambio, la unidad de medida para establecer la intensidad del cambio, y la temporización (identificación o construcción) de estados intermedios de la situación o fenómenos para reconocer la evolución de las variables (no se requiere que esté involucrada la variable tiempo). Esto permitirá medir el cambio de las variables. Sin embargo, la unidad de medida y elemento de referencia no siempre son explícitos, dependen del tipo de situación variacional, como se verá en los análisis de las actividades. Este sistema de referencia acotado se denominará básico.

Una vez que se ha establecido el sistema de referencia es posible analizar los patrones de comportamiento de las variables, lo cual constituye el tercer estadio. Para esto, será necesario analizar las variaciones de primer orden y, en muchos casos, las variaciones sucesivas (Hernández-Zavaleta y Cantoral, 2017). Así, se está en condiciones de describir cómo cambian las variables.

Reconocer el comportamiento variacional es la base para explicar el cuarto estadio referido a por qué las variables cambian en la forma en que lo hacen, es decir, abstraer el carácter estable del cambio. Este permite establecer aquella regularidad que determina el comportamiento de los estados ulteriores del fenómeno (Cantoral, 2019). A su vez permitirá que se establezcan modelos de la situación o fenómeno bajo estudio (Arrieta y Díaz, 2015) y sobre esto, sustentar las acciones vinculadas con las prácticas predictivas.

3. MÉTODO

Se analizaron los libros de texto gratuito de matemáticas de los seis grados de primaria del ciclo escolar 2021-2022 distribuidos por la SEP. Para esto se establecieron cuatro niveles de análisis, cada uno con criterios desarrollados con base en el esquema de desarrollo del Pylvar de la figura 1, los cuales se describen a continuación:

1. Revisión de todas las actividades de los libros para identificar aquellas que dan un tratamiento variacional de los datos, es decir, si son tratados como parte de una situación o fenómeno que cambia y no como estáticos. Esto también implicó determinar si se podrían establecer relaciones de dependencia entre tales variables. Aquellas actividades que cumplieron con esto, pasaron al siguiente nivel de trabajo. Aquí se pusieron en juego los estadios 1 y parte del segundo.

2. Se resolvieron con mayor detalle las actividades seleccionadas para identificar con fineza los siguientes aspectos:

a. Requerimiento de las estrategias variacionales para su resolución.

b. Determinar si es necesario establecer un patrón de comportamiento de las variables.

c. Describir si se hace uso de ese patrón para alguna acción involucrada en la resolución de las actividades.

El punto a) está vinculado con el estadio 2, que posibilita medir y estudiar el cambio; el punto b) con el estadio 3 y el punto c) con el estadio 4.

3. Al terminar de analizar individualmente las actividades de cada libro, se analizaron en conjunto para determinar la existencia de alguna posible progresión del tratamiento de la variación en cada libro. En este análisis se incluyeron las características de las actividades como: contextos donde se presenta el estudio del cambio, los números empleados (enteros, decimales, fracciones) y la forma como se presentaban o representaban las relaciones funcionales implicadas.

4. Como último paso se analizó la existencia de continuidad en la forma de trabajar las actividades a través de los seis libros, es decir, si conforme se progresa en el grado escolar los libros van favoreciendo el desarrollo de más elementos indicados en los estadios del esquema de desarrollo (figura 1), si se limitan a alguno o algunos estadios o se presentan problemas para desplegar algún estadio.

4. ANÁLISIS DE LAS LECCIONES DE LOS LIBROS DE TEXTO

En la tabla 1 se resume la cantidad de actividades por libro con potencialidad para desarrollar el Pylvar de los estudiantes, es decir, el resultado de los niveles de análisis 1 y 2. Posteriormente se presentan los resultados obtenidos como producto del nivel de análisis 3 señalado en la sección anterior.

4.1 Libro de primer grado

Las actividades vinculadas con el Pylvar se enfocan en la secuenciación de hechos, figuras y números, en particular en la serie numérica (figura 2 y figura 3). Algunas actividades que se plantean, si bien contribuyen a desarrollar habilidades para analizar la temporización de situaciones o fenómenos (figura 2), no pasaron el segundo nivel de análisis, pues no implican estrategias variacionales para su solución.

Figura 2
Actividad 1 del trayecto 5 del bloque 1 (SEP, 2019A, p.46).

Figura 3
Actividad 3 del trayecto 3 del bloque 2 (SEP, 2019A, p.89

Una actividad que promueve el desarrollo del Pylvar se presenta en la figura 3, donde se trabajan patrones de recurrencia en los cuales se requiere del desarrollo de las estrategias variacionales de seriación y comparación (por ejemplo, secuencia de figuras en forma de torre y series numéricas) para completar las sucesiones. Aquí se presenta un trabajo implícito de las variables posición y correspondiente elemento del patrón, así como del elemento de referencia y unidad de medida, lo cual lleva a establecer un sistema de referencia básico. Este permite realizar análisis variacionales del cambio de la variable y establecer el patrón a continuar (modelo).

4.2 Libro de segundo grado

En este libro se plantean tres actividades que trabajan con la identificación de patrones o regularidades numéricas, pero sin considerar los datos como variables de una situación o fenómeno. Por ejemplo, en la figura 4, para completar los números de los marcos solicitados, la comparación y seriación de los números en las filas horizontales y verticales del marco ejemplo, son las estrategias que ayudan a identificar los patrones de interés. Sin embargo, esto se trabaja como una curiosidad numérica debido a la distribución de los números; por tanto, no pasaron el primer nivel de análisis. Esto significa que no toda actividad vinculada con patrones o regularidades numéricas es pertinente para desarrollar el Pylvar.

Figura 4
Actividad 3 del trayecto 7 del bloque 1 (SEP, 2020A, p. 59).

Una actividad con más características pertinentes para desarrollar el Pylvar, de acuerdo con el esquema de desarrollo de la figura 1, se presenta en la figura 5. Esta actividad está relacionada con patrones de comportamiento numéricos en los cuales se debe identificar el patrón y emplearlo para completar la secuencia numérica. A excepción de la segunda y cuarta rectas, en las otras la simple comparación de los elementos contiguos permite identificar el valor que sirve de referencia para completar las secuencias respectivas, es decir, el patrón a reproducir. Para la segunda y cuarta recta la comparación de dos elementos conocidos debe completarse con la división entre el número de espacios entre dichos elementos para identificar el valor de referencia. En todas las rectas la seriación no puede realizarse sin primero completar algún valor desconocido, pues no se tienen al menos tres valores contiguos conocidos. Además, también en todos los casos se establece un sistema de referencia básico, pues el elemento de referencia y la unidad de medida quedan implícitos y vinculados con el sistema de numeración.

Figura 5
Actividad 4 del trayecto 2 del bloque 2 (SEP, 2020A, p. 91).

En general, las actividades con potencial para promover el desarrollo del Pylvar se trabajan en el contexto de secuencias numéricas, con variaciones más complejas que en primer año.

4.3 Libro de tercer grado

Se identificaron 7 actividades que promueven el desarrollo del Pylvar, las cuales abordan contextos relacionados con completar secuencias numéricas (figura 6) y de figuras (figura 7). En ambos casos es necesario identificar el patrón de comportamiento, ya sea de la secuencia numérica o de los elementos que conforman a las figuras que componen la sucesión para completar lo solicitado. En estas actividades son imprescindibles tanto la comparación como la seriación. Asimismo, se deben reconocer los datos que cambian, como variables de la situación (estadio 1), lo cual exigirá tomar conciencia de la relación, posición y valor de la secuencia, así como a cada estado de la variable (temporización). No son explícitos los elementos de unidad de medida y elemento de referencia, por lo cual se habla de un sistema de referencia básico (estadio 2). Pero este es fundamental para poder realizar el análisis del comportamiento variacional de la variable y determinar el patrón de comportamiento (estadio 3), mismo que se convierte en el modelo que permite completar las secuencias (estadio 4).

Figura 6
Actividad 2 de la lección 36 (SEP, 2020B, p.84).

Figura 7
Actividad 1 de la lección 52 (SEP, 2020B, p.112).

Existen algunas actividades, como la de la figura 8, que favorecen habilidades de comparación y seriación, pero que no llevan a establecer análisis variacionales (estadio 3). Por tanto, la simple aparición de estas estrategias tampoco es suficiente para el desarrollo del Pylvar.

Figura 8 a
(a) Actividad 1 de la lección 23 (SEP, 2020B, p.51) y (b) material recordable asociado (SEP, 2020B, p.181).

Figura 8 b

4.4 Libro de cuarto grado

Se identificaron 10 actividades que promueven el Pylvar. Estas actividades están vinculadas con sucesiones numéricas y sucesiones de figuras geométricas, para las cuales se deben determinar elementos numéricos o figuras faltantes. A diferencia de tercer grado, las sucesiones ya no solo son aritméticas, se comienzan a trabajar sucesiones especiales como la segunda y tercera secuencia de la actividad de la figura 9. En dicha actividad se debe determinar si las figuras de la derecha de cada secuencia son parte de ellas. Para responder se requiere determinar el patrón de construcción de la sucesión de figuras y con base en ello discriminar lo solicitado; las estrategias de comparación y seriación también son imprescindibles para esto. Las variables implicadas son implícitas y están vinculadas con la forma y cantidad de elementos de las figuras a dibujar (estadio 1). Así, se debe vincular la cantidad de elementos de la figura y la posición de ésta, y considerar cada posición como un estado de la variable (temporización). Solo se establece un sistema de referencia básico (estadio 2), pues el elemento de referencia (cero o algún elemento arbitrario de la sucesión) y la unidad de medida vinculada con el valor absoluto del resultado de la comparación entre los elementos de la sucesión (en primaria no se discuten signos negativos) son implícitos y están vinculados con el sistema numérico, llevados solo a discutir si dos números son iguales o uno es mayor o menor que el otro. Sin embargo, este sistema es la base para analizar los cambios y establecer el comportamiento variacional de las variables (estadio 3), mismo que permite establecer el patrón de comportamiento que luego sirve de modelo para determinar los valores faltantes (estadio 4).

Figura 9
Actividad 1 de la lección 8 (SEP, 2019B, p. 125).

4.5 Libro de quinto grado

Las actividades correspondientes con el Pylvar también están asociadas con el estudio de sucesiones con la finalidad de identificar sus patrones de comportamiento y determinar valores de estas (figura 10) o determinar si cierto valor pertenece o no a dichas secuencias (figura 11). No obstante, en este nivel educativo aparecen por primera vez las sucesiones aritméticas con fracciones y sucesiones geométricas con enteros (figuras 10 y 11). El análisis de estas actividades empleando el esquema de desarrollo del Pylvar (figura 1) es similar al realizado para la actividad de la figura 9. Por tanto, y por espacio, no se presenta. Por otra parte, también se presentan actividades donde se dan los patrones de comportamiento o reglas de construcción de las sucesiones.

Figura 10
Actividad 1 de la lección 62 (SEP, 2019C, p.118)

Figura 11
Actividad 1 de la lección 83 (SEP, 2019C, p.165).

En este libro no se presentan sucesiones con figuras, sino únicamente numéricas, lo cual llama la atención, pues en cuarto grado ya se estudian las primeras. Pero aparece con cierto énfasis la proporcionalidad directa, lo cual lleva al planteamiento de actividades como las de la figura 12. En estas se plantean relaciones funcionales que pasan el primer filtro establecido en la metodología (variables y establecimiento de relaciones funcionales). Sin embargo, al estar presente en todas ellas el valor unitario (factor de proporcionalidad) o al buscar su identificación o su cálculo como medio para llenar las tablas o responder las preguntas que se plantean, las estrategias variacionales de comparación y seriación no se presentan como aquellas que permiten analizar y comprender el fenómeno de cambio. Esto puede notarse al identificar que la seriación no será pertinente para poder llenar la tabla (ver figura 12) y al tener el valor unitario, solo basta multiplicarlo por la cantidad de camisas solicitadas. Por tanto, en estas actividades no se promueve el Pylvar.

Figura 12
Actividad 1 de la lección 17 (SEP, 2019C, p. 46).

4.6 Libro de sexto grado

En cinco actividades se promueve el desarrollo del Pylvar. Los contextos que se abordan en estas son el estudio de sucesiones numéricas y sucesiones figurales (figuras 13 y 15). En las sucesiones numéricas se emplean ahora decimales, fracciones y enteros. Se trabajan sucesiones aritméticas, geométricas y especiales. El análisis de estas actividades empleando el esquema de desarrollo del Pylvar (figura 1) es similar al realizado para la actividad de la figura 9. Por tanto, y como se mencionó antes, no se presenta en este escrito.

En actividades como la de la figura 14 se presenta la regla que genera la secuencia y sólo deben calcularse algunos términos siguientes. Por tanto, se promueve un trabajo más operacional que propiamente un análisis del cambio.

Figura 13
Actividad 2 de la lección 75 (SEP, 2019D, p.140).

Figura 14
Actividad 1 de la lección 58 (SEP, 2019D, p.115).

Aunque no es imprescindible para el desarrollo del Pylvar, en las actividades analizadas para este grado no se solicita plantear la fórmula general para calcular valores de la secuencia numérica, ya sea bajo una descripción verbal o con los elementos que tengan a su alcance los estudiantes, para al menos aquellas sencillas. Esto resulta en una oportunidad perdida para contribuir al desarrollo del pensamiento algebraico, como parte del álgebra temprana (Arce et al, 2019), y generar modelos con mayor nivel de generalización. Esto último si contribuye al desarrollo del Pylvar.

Figura 15
Actividad o consigna 1 de la lección 78 (SEP, 2019D, p. 144)

5. RESULTADOS

En todos los libros se plantean actividades que requieren que los estudiantes analicen cómo cambian los elementos que conforman las sucesiones, tanto numéricas como de figuras, y con ello determinar valores o formas desconocidas en ellas. Estas constituyen, en promedio, 4.8% de las actividades de cada libro (ver Tabla 1). El tratamiento del estudio del cambio evoluciona en objetivos y requerimientos a través de los grados. En los libros de primero y segundo grado, el tratamiento del cambio está vinculado a la construcción de la serie numérica y al desarrollo de operaciones como la multiplicación. A partir del libro de tercer grado comienzan a estudiarse las secuencias numéricas y de figuras para desarrollar habilidades que contribuyen al desarrollo del Pylvar. Así también, se observó que de primero a cuarto grado se trabajan sucesiones con números enteros, mientras que en quinto grado se hace uso de los números fraccionarios y en sexto, los números decimales.

El trabajo con las sucesiones se desarrolla casi exclusivamente en contextos intra-matemáticos. Solo hasta sexto grado se presentan algunas actividades en contextos extra-matemáticos (figura 13). Esto se presenta como una desventaja para el desarrollo del Pylvar y para la competencia formativa para los estudiantes, pues no permite vislumbrar su importancia para analizar fenómenos que los rodean. Por tanto, se propone la necesidad de diversificar los contextos de actividades que se plantean en los libros y que implican analizar el cambio, como puede ser el análisis de crecimientos de poblaciones o fenómenos científicos y sociales con crecimientos lineales o sencillos. Por ejemplo, determinar cuánta agua se desperdiciaría debido a una llave que gotea en ciertos tiempos: una hora, un día, una semana, etc.

El trabajo sólo con secuencias numéricas o de figuras limita el desarrollo de habilidades y estrategias importantes dentro los estadios del esquema de desarrollo del Pylvar. Por ejemplo, en lo que respecta al primer estadio de toma de conciencia de aquello que cambia, los estudiantes se ven limitados en las habilidades para identificar o elegir las variables que sean pertinentes para analizar la situación, pues ya se presentan los números de la secuencia o se indica qué elementos que cambian interesa analizar.

En lo que respecta al establecimiento de un sistema de referencia variacional (estadio 2) el trabajo con sucesiones promueve un trabajo implícito o nulo de algunos de sus elementos. Por ejemplo, se trabaja de forma implícita la variable posición dentro de la secuencia, lo cual puede afectar el que se pueda reconocer la causalidad entre variables. Esto podría revertirse si se solicitara el planteamiento de fórmulas generales para calcular valores de la secuencia. Por otra parte, en las secuencias ya se establecen las temporizaciones de la situación, asociadas con los elementos en cada posición de ésta, las cuales además son igualmente espaciadas, así, se oculta la importancia de realizarlas o determinar si son pertinentes para analizar los cambios. Así mismo, el elemento de referencia para analizar el cambio y las unidades de medida para medirlo quedan implícitas asociadas con el sistema de numeración decimal. En todas las actividades solo se trabaja un sistema de referencia básico, el cual permite estudiar el cambio, pero podría limitar la aparición de estos elementos faltantes y que son requeridos para analizar situaciones o fenómenos más complejos.

La aparición explícita de todos los elementos del sistema de referencia podría lograrse al estudiar fenómenos de cambio sencillos, por ejemplo, al estudiar la proporcionalidad. Para ilustrar esto, retómese la situación de determinar cuánta agua se desperdiciaría debido a una llave que gotea, la cual se mencionó antes. Para esto, se tienen que determinar las variables que están implicadas y la manera de cuantificarlo (estadio 1). Por ejemplo, se puede recolectar el agua y medir el volumen en ciertos periodos de tiempo (relación causal). Esto implicaría determinar, por ejemplo, si la medida será en litros o recipientes llenados (unidad de medida) y con base en esto los elementos para realizar la medición (elemento de referencia) (estadio 2). Además, se requerirá establecer momentos pertinentes para medir la cantidad de agua que se desperdicia (temporización). Estas mediciones serán las que se analicen para determinar alguna regularidad en el comportamiento de la variación de las variables (estadio 3), por ejemplo, determinar si la cantidad de agua desperdiciada es la misma durante el mismo periodo de tiempo. Reconocer esta regularidad permitirá emplearla como modelo del fenómeno y, a partir de ella, hacer las predicciones de la cantidad de agua que se desperdicia para diferentes tiempos (estadio 4).

A partir de las actividades examinadas se puede reconocer que en la mayoría de ellas se promueve realizar análisis variacionales para identificar un patrón (estadio 3: análisis variacional) y con ello calcular valores desconocidos (estadios 4: abstracción del carácter estable del cambio). Sin embargo, el estadio 4 puede verse limitado, pues al trabajar casi en su totalidad con secuencias numéricas, los modelos que se desarrollan podrían ser limitados en su potencial de generalización. Los modelos que surgen en las actividades por lo general integran procesos o estrategias recursivas de conteo para determinar los valores o figuras faltantes. Esto debido a que se solicita realizar las “predicciones” para posiciones de corto alcance (cercanas al último término proporcionado) y en ningún caso se solicita “predecir” posiciones de largo alcance (lejanas al último término proporcionado). Si bien no es necesario plantear fórmulas generales para desarrollar el Pylvar, al no solicitar esto, aunque sea para casos sencillos, se pierde la posibilidad de contribuir al desarrollo del pensamiento algebraico, como se señala desde el enfoque del Álgebra Temprana (Arce et al, 2019).

6. CONCLUSIONES

Las actividades que se presentan en los libros promueven de forma limitada el desarrollo del Pylvar. Se plantean actividades con sucesiones que requieren reconocer su patrón de comportamiento y emplearlos para calcular valores desconocidos, es decir, recorren los cuatro estadios propuestos en el esquema de la figura 1. Sin embargo, este tipo de actividad provoca restricciones en el adecuado desarrollo de los estadios.

En el estadio 1, referente a la elección de las variables relevantes, los alumnos no tienen que analizar qué variables son las pertinentes para trabajar, sino que son dadas. Por su parte, para el estadio 2, referente a establecer el sistema de referencia, no se promueve el reconocimiento explícito de una unidad de medida y establecer un elemento de referencia para el análisis del cambio. Por último, en el estadio 4, referente a generar modelos, si bien el patrón que se establece se puede considerar un modelo en sí mismo (Arrieta y Díaz, 2015) a partir del cual se pueden completar las sucesiones; el que no se promuevan predicciones de largo alcance puede limitar que los modelos que se generan sean vistos con todo su potencial de generalización. Esta es una competencia matemática importante, en particular para el álgebra (Arce et al., 2019).

El desarrollo de las habilidades para estudiar el cambio y determinar su variación se vincula casi exclusivamente con secuencias numéricas o figurales y poco en contextos extra matemáticos, lo que puede provocar que el desarrollo del Pylvar no tenga sentido para los estudiantes. Solo hasta sexto grado se plantean tres actividades que contextualizan las secuencias en situaciones como, por ejemplo, en la construcción de estructuras y se pide determinar los elementos que son necesarios para esto. Así, como resultados derivados de este trabajo, se recomienda diversificar los contextos en los que puede aparecer el estudio del cambio y los propósitos para los que se plantea en primaria, por ejemplo, en el análisis de fenómenos o situaciones de cambio, como el citado antes sobre el desperdicio del agua. Se requieren actividades que involucren situaciones y fenómenos de cambio, donde su análisis variacional sea la base para resolver las cuestiones que se planteen. Esto a su vez favorecerá que en verdad exista un uso del conocimiento como plantea el currículo oficial.

Agradecimientos

Agradecemos al Programa para el Desarrollo Profesional Docente (PRODEP) de la SEP por el financiamiento para la realización de este trabajo a través del convenio 511-6/2020-8585 en el marco del proyecto “Diseño y validación de una rúbrica para evaluar el desempeño de los estudiantes cuando enfrentan situaciones variacionales”.

8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Aké, L. y Díaz, J. (2018). Análisis de tareas de un libro de texto de primaria desde la perspectiva de los niveles de algebrización. Educación Matemática, 30(2) 171-201. https://doi.org/10.24844/em3002.07

Arce, M., Conejo, L. y Muñoz, J. (2019). Capítulo 12: Aprendizaje y enseñanza de los números y el álgebra. En M. Arce, L. Conejo y J. Muñoz (Ed.). Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas (pp. 249-259). Editorial Síntesis.

Arrieta, J. y Díaz, L. (2015). Una perspectiva de la modelación desde la socioepistemología. Revista Latinoamericana desde la Socioepistemología, 18(1), 19-48. http://dx.doi.org/10.12802/relime.13.1811

Ayola, S., Orozco, S, M. y Osorio, Y, M. (2016). El Pensamiento Variacional - Razonamiento Algebraico en libros de texto de los grados 4° y 5° de primaria. (Tesis de licenciatura). Universidad de Antioquia.

Burgos, M., Castillo, M., Beltrán-Pellicer, P, Giacome, B. y Godino, J. (2020). Análisis didáctico de una lección sobre proporcionalidad en un libro de texto de primaria con herramientas del enfoque ontosemiótico. Bolema 34(66) 40-68. https://doi.org/10.1590/1980-4415v34n66a03

Braga, G. y Belver, J. L. (2016). El análisis de libros de texto: una estrategia metodológica en la formación de los profesionales de la educación. Revista Complutense de Educación, 27(1) 199-218.

Caballero, M. (2018). Causalidad y temporización entre jóvenes de bachillerato. La construcción de la noción de variación y el desarrollo del Pensamiento y Lenguaje variacional (Tesis de doctorado). Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN.

Caballero-Pérez, M. y Moreno-Durazo, G. (2017). Diseño de una situación de aprendizaje para el desarrollo del Pensamiento y Lenguaje Variacional. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 30, 1066 -1074.

Cabrera-Chim, L. y Zaldívar-Rojas, J. D. (2021). Esquema de desarrollo del Pensamiento y Lenguaje Variacional. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 34(2), 189-199.

Cabrera, L. (2014). El estudio de la variación en la práctica del profesor de Cálculo. Un estudio de caso. (Tesis de doctorado). Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN.

Cantoral, R. (2019). Caminos del saber. Pensamiento y Lenguaje Variacional. Gedisa.

Hernández-Zavaleta, J. y Cantoral, R. (2017). El desarrollo del Pensamiento y Lenguaje variacional y las acciones en las prácticas predictivas. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 30, 1009-1017.

Morales-García, L. y Rodríguez-Nieto, C. (2022). Medidas no convencionales en libros de textos mexicanos. Un análisis desde la Matemática y el enfoque Ontosemiótico. REDIMAT - Journal of Research in Mathematics Education, 11(1), 33-70. http://dx.doi.org/10.17583/redimat.8646

Secretaría de Educación Pública (SEP) (2017). Aprendizajes clave para la educación integral. Plan y programas de estudio para la educación básica. Autor.

Secretaría de Educación Pública (2019A). Matemáticas. Primer grado. Autor.

Secretaría de Educación Pública (2020A). Matemáticas. Segundo grado. Autor.

Secretaría de Educación Pública (2020B). Desafíos matemáticos. Libro para el alumno. Tercer Grado. Autor.

Secretaría de Educación Pública (2019B). Desafíos matemáticos. Libro para el alumno. Cuarto Grado. Autor.

Secretaría de Educación Pública (2019C). Desafíos matemáticos. Libro para el alumno. Quinto Grado. Autor.

Secretaría de Educación Pública (2019D). Desafíos matemáticos. Libro para el alumno. Sexto Grado. Autor.

Thompson, P. W. y Carlson, M. P. (2017). Variation, covariation, and functions: Foundational ways of thinking mathematically. In J. Cai (Ed.), Compendium for research in mathematics education (pp. 421-456). National Council of Teachers of Mathematics.

Tavera, F. (2013). El pensamiento variacional en los libros de texto de matemáticas: el caso de las relaciones trigonométricas (Tesis de maestría). Universidad de Medellín, Medellín.