Expresiones exactas de las funciones trigonométricas de ángulos construibles con regla y compás

Exact expression for trigonometric functions of constructible angles with ruler and compass

Franco, Ángela Yaneth; González, José Ángel

Ángela Yaneth Franco

angela.franco@up.ac.pa

Universidad de Panamá. Panamá

José Ángel González

joseangel.gonzalez@up.ac.pa

Universidad de Panamá. Panamá

Visión Antataura

Universidad de Panamá, Panamá

ISSN: 2309-6373

ISSN-e: 2520-9892

Periodicidad: Semestral

vol. 8, núm. 1, 2024

Luis.rodriguez@up.ac.pa

Recepción: 17 Febrero 2024

Aprobación: 12 Abril 2024

URL: https://portal.amelica.org/ameli/journal/225/22551422255142005/

DOI: https://doi.org/10.48204/j.vian.v8n1.a5228

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Resumen: El concepto de número construible con regla y compás nació en la antigua civilización griega con la historia de la imposibilidad de la construcción con regla y compás de la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y la trisección de un ángulo. En este artículo se presentan las propiedades básicas del conjunto 𝐹𝑐𝑠𝑡 = {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 es construible} de los números complejos construibles. Se caracterizan los números construibles y se modelan los problemas griegos clásicos, para probar que ellos son insolubles. Finalmente, se caracterizan los ángulos construibles y se determinan expresiones exactas para las funciones seno y coseno de ángulos construibles.

Palabras clave: Números construibles, ángulos construibles, números de Fermat, números algebraicos, función de Euler.

Abstract: The concept of constructible number with ruler and compass was born in the ancient Greek Civilization, with the history of the impossibility to construct with ruler and compass the doubling of the cube, the squaring of the circle, and the trisection of an angle. This article presents the basic properties of the set. 𝐹𝑐𝑠𝑡 = {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 is constructible} of constructible complex numbers. Constructible numbers are characterized and classical Greek problems are modeled to prove that they are unsolvable. Finally, constructible angles are characterized, and exact expressions for the sine cosine functions of constructible angles are determined.

Keywords: Algebraic numbers, constructible angles, constructible numbers, Euler's function, Fermat numbers.

1. Introducción

La idea de construcciones con regla y compás nació en la antigua civilización griega, y consistía en la construcción de longitudes, ángulos (figura formada por dos rectas que se cortan) y otras figuras geométricas; usando solo la regla idealizada (una regla infinita con un solo eje y sin marcas) que nada más puede ser usada para trazar la recta entre dos puntos, previamente, dados y el compás. El compás solo puede ser usado para construir una circunferencia con centro dado y que pasa por un punto dado (el compás no puede ser levantado para dibujar una circunferencia centrada en otro punto con el mismo radio de la circunferencia previamente dada). De igual manera, dados dos puntos a una distancia d , la regla no puede ser usada para marcar un punto en otra recta a una distancia d de un punto dado en esta recta (Suzuki, 2008; Dunham, 1990; Sutton, 2009).

Los matemáticos de la antigua civilización griega descubrieron cómo construir sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces cuadradas de longitudes dadas. Ellos también pudieron construir la mitad de un ángulo dado y polígonos regulares de 3, 4 y 5 lados. Sin embargo, a pesar de la gran habilidad de muchos matemáticos brillantes, ellos no pudieron construir un tercio de un ángulo dado, excepto en casos particulares, ni un cuadrado con la misma área de un círculo dado, o el polígono regular de siete (7) lados, o el lado de un cubo cuyo volumen es el doble del volumen de un cubo dado. Se tuvo que esperar hasta los siglos XVIII y XIX, que se desarrollara la teoría de cuerpos, para responder estas preguntas (Trillo, 2019; Batista, 2013; Gilbert, 2002).

El objetivo de este artículo es presentar los resultados básicos de la teoría de cuerpos, para modelar las construcciones con regla y compás desde un punto de vista algebraico y, darles respuesta a los problemas griegos clásicos. Finalmente, se buscarán expresiones exactas para las funciones seno y coseno de ángulos construibles con regla y compás.

2. Metodología

Para lograr el objetivo planteado en este trabajo, se define el concepto de construcción geométrica con regla y compás y se estudian las propiedades básicas del conjunto 𝐹𝑐𝑠𝑡 = {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 es construible}, de los números complejos construibles. Se prueba que F cst es un subcuerpo de ℂ cerrado por raíces cuadradas y se presentan caracterizaciones de los números construibles. Posteriormente, se modelan, algebraicamente, los cuatro problemas griegos clásicos y se prueba que estos problemas son insolubles con regla y compás. Finalmente, después de caracterizar los ángulos construibles, se determinan expresiones exactas para las funciones seno y coseno de ángulos construibles, usando las identidades fundamentales de la trigonometría.

3. Resultados y discusión

Construcciones con regla y compás

El concepto de número construible nace en la antigua civilización griega con la historia de la imposibilidad de la construcción con regla y compás de tres problemas: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo. Junto a estos tres problemas clásicos se encuentra el problema de construir con regla y compás polígonos regulares (lo que equivale a construir ángulos radianes); aunque los griegos sabían construir polígonos regulares con n lados, donde 𝑛 = 2𝑘, 𝑘 ∈ ℕ, 𝑘 ≥ 2; 𝑛 = 3; 𝑛 = 5; 𝑜 𝑛 es el producto de dos o tres de esos números. En 1796, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) probó que el polígono de n=17 lados es construible.

En 1837, Pierre Wantzel (1814-1848) probó algebráicamente que los problemas de la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo son imposibles de resolver con regla y compás y, además determinó cuáles de los polígonos regulares son construibles. Más precisamente, Wantzel probó que el polígono regular de n lados es construibles si y solo si, n es el producto de una potencia de dos y cualquier cantidad de números de Fermat primos diferentes (o sea de la forma). Finalmente, en 1882 Carl Louis Ferdinand VonLindermann (1852-1939) probó, rigurosamente, la imposibilidad de la cuadratura delcírculo, además probó que es un número trascendente (Dunham, 1990; Hartshorne,2000; Sutton, 2009; Gilbert, 2002).

En lo que sigue se identificará el plano euclidiano ℝ² con el conjunto ℂ de los números complejos, con la identificación z=(a+b)= a ib. Con esta identificación, puntos en el plano son números complejos y, construir unpunto es lo mismo que construir un número complejo. A continuación, se precisa lo quesignifica construir (con regla y compás) un punto o un número complejo:Construcción de rectas y circunferencias con regla y compás

R: Dado dos puntos o números complejos diferentes z ₁, z ₂, se puede construir o trazar larecta que pasa a través de ellos.

C: Dado un punto z ₁ y dos puntos distintos z₂, z₃, se puede construir o trazar la circunferencia con centro en z ₁ y radio

Observación: Aunque la regla no se puede usar para marcar distancias y el compás no puede trasladar medidas (o sea que el compás debe cerrarse después de ser levantado del papel), dado dos puntos construibles a una distancia d y una recta l con un punto construible P en l , se puede construir un punto Q en l a una distancia d de P . También, sí se puede construir una circunferencia de radio r , dado un punto construible P , se puede construir la circunferencia de radio r centrada en P.

La intersección de rectas y circunferencias construibles producen nuevos puntos, los cuales se llamarán puntos construibles (con regla y compás), como sigue:

Pll = El punto de intersección de dos rectas construibles diferentes

Plc = El o los puntos de intersección de una recta y una circunferencia construibles Pcc = El o los puntos de intersección de dos circunferencias construibles diferentes.

Definición: El punto 𝑧 ∈ ℂ es construible si existe una sucesión finita de construcciones con regla y compás con las condiciones (R) y (C) y puntos, Pll y P ic y P cc que comienzan con 0 y 1 y terminan con z. El conjunto de los puntos construibles se denotapor: 𝐹𝑐𝑠𝑡 = {𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 es construible}

En el siguiente teorema se presentan las características algebraicas del conjunto Kcst de los números construibles (Howie, 2006; Trillo, 2019; Batista, 2013).

Teorema 1: El Conjunto Kcst de todos los números construible es un cuerpo. Además,

Kces el subcuerpo más pequeño de ℂ que posee la propiedad (iii); es decir, Kces la intersección de todos los subcuerpos de ℂ que poseen la propiedad (iii).

En el siguiente teorema se utiliza la teoría de cuerpos para caracterizar los elementosde Kcst (Trillo, 2019; Howie, 2006; Batista, 2013).

Teorema 2: z K∈ si y solo si existe una sucesión de subcuerpos K₀, K₁, K₂, K, Kn de ℂ tal que 𝑄 = 𝐾₀ ⊂ 𝐾₁ ⊂ 𝐾₂ ⊂ ⋯ ⊂ 𝐾𝑛−1 ⊂ 𝐾𝑛 ⊂ ℂ

z∈Kn y [Ki : Ki-1 ] 2 para todo i = 1, 2, K, n, donde [Ki : Ki-1 ] es la dimensión de Ki como espacio vectorial sobre Ki−1 .

De este teorema se deduce el siguiente resultado:

Corolario 1: Si z∈Kcst , entonces [Q(z) : Q] = 2 n para algún 𝑛 ∈ ℕ. Por lo tanto, todo número construible es algebraico sobre Q.

Definición: Un ángulo de medida (en grados o radianes) es construible si se pueden construir dos rectas que se interceptan tal que, el ángulo entre ella es .

Como z = ei = cos + i sen se tiene que el ángulo es construible si y solo si sen y cos son construible.

Luego como se tiene que (Francis, 1978)

Teorema 3: Si , entonces no es construible

Demostración

De la fórmula del triple ángulo para coseno se tiene que

cos(3 ) = 4cos³( ) - 3cos( )

o sea,

cos(60o) = 4cos³(20o) - 3cos(20o)

De donde

4cos³(20o) - 3cos(20o) = 1/2

y

8cos³(20o) - 6cos(20o) -1 = 0

Tomando a = cos(20o), se tiene 8a ³ - 6a - 1 = 0

Por lo tanto, x = 2cos(20o) es raíz del polinomio p(x) = x ³ - 3x -1∈Q[x]

8a ³ - 6a -1 = 0

Como p(x) no posee raíces en Q, se tiene que p(x) es irreducible en Q[x]. Esto implica que p(x) es el polinomio mínimo mónico para el cual a es raíz. Por lo tanto, [Q(a) : Q]=3. Luego, por el Corolario 1, a=cos(20o) no es construible y, por ende, no es construible.

Observación:

1. Del Teorema 3 se deduce que no todo ángulo construible se puede trisecar, lo que prueba la imposibilidad de la trisección de un ángulo construible arbitrario (dividir un ángulo en tres partes iguales).

2. El problema de la cuadratura de un círculo consiste en construir un cuadrado con la misma área de un círculo dado. Si se supone que el círculo dado tiene radio 1, entonces se debe construir un cuadrado con longitud de sus lados , lo cual es imposible, ya que no es un número algebraico (ver con el Corolario 1).

3. El problema de la duplicación del cubo consiste en construir un cubo con el doble del volumen de un cubo dado. Si se supone que los lados del cubo dado miden 1, entonces se necesita construir un cubo cuya longitud de sus lados sea . Pero como , por el Corolario 1, no es construible.

En el siguiente teorema se caracterizan los polígonos regulares construibles (Howie, 2006), (Batista, 2013; Gilbert, 2002; Sutton, 2009).

Teorema 4 (Gauss-Wantzel): El polígono regular de n lados (n≥3) es construible si y solo si la factorización de n en factores primos tiene la forma donde , donde r y k son números enteros no negativos y son todos potencias de dos.

Teorema 5: Sea m un número entero, m > 1. Si F = 2 m +1 es número primo, entonces m es una potencia de 2; o sea que F es un número de formato primo (F=22k +1).

Demostración:

El número m se escribe de forma única como m=2 q (2r+1), con q, r enteros no negativos.

Suponga que r 1, o sea que m no es una potencia de 2. Entonces, 2 m +1=22q(2r+1)+1=(22q )(2r+1)+1.

Note que Como r 1 se tiene que 2 m +1 no es un número primo, lo que es una contradicción. Por consiguiente, r=0 y m=2 q ; o sea que F=22q +1 es un número de Fermat primo.

La función de Euler se define por:

𝜙:ℕ→ℕ

𝜙(𝑛)=#{𝑚∈ℕ:𝑚≤𝑛 y (𝑚,𝑛)=1}

A continuación, se enumeran algunas de las propiedades de la función 𝜙:

∅(1)=1 Si p es primo y 𝑘∈ℕ, entonces

∅(p)=p - 1 y ∅( pk ) = pk - pk ⁻¹ = ( p -1) p k-1 = pk (1 - 1/p)

Si (m, n) = 1, entonces ∅(m, n) = ∅ (m) ∅ (n)

Si (factorización única), entonces

Si , entonces

Teorema 6: Sea n un número natural, equivalentes:

∅(n) es una potencia de 2

n = 2s p × p L

n = 2 s p 1 . p 2 L pr , donde 𝑟, 𝑠 ∈ ℤ, 𝑟 ≥ 0, s ≥ 0 y p ₁, p ₂, K , pr son números impares diferentes y tal que p 1 - 1 es una potencia de 2 (o sea que pi es un número de Fermat primo).

Utilizando las propiedades de la función ∅ de Euler y los Teoremas 4, 5 y 6, se puede enunciar el siguiente teorema.

Teorema 7: (Gauss-Wantzel): El polígono regular de n lados es construible si y solo si ∅ (n) es una potencia de dos.

Observación: Como ∅(3)=2, ∅(4)=2, ∅(5)=4, ∅(6)=2, ∅(8)=4 por el Teorema 7, los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 8 lados son construibles. Sin embargo como ∅(7)=6 y ∅(9)=6 los polígonos regulares de 7 y 9 lados no son construibles; por lo tanto los ángulos

Expresiones exactas de las funciones seno y coseno de ángulos construibles

Dado un ángulo , entonces , y ,

Por lo que se supondrá que . Además, para calcular expresiones exactas de las funciones seno y coseno de ángulos construibles se usarán las siguientes identidades trigonométricas (Sathish, 2023).

Por otro lado, la identidad es satisfecha si lo cual implica que

Además, de los triángulos

se obtienen las siguientes expresiones para las funciones seno y coseno de los correspondientes ángulos construibles:

El ángulo es construible; además, por las fórmulas del medio ángulo se obtiene

Repitiendo este proceso, se obtiene

De igual manera, se obtiene

Sea . Considere el triángulo isósceles cuyo ángulo del vértice es 2 = 36o y los lados congruentes son de longitud 1. (Bradie, 2002)

Luego y de la semejanza de triángulos, se tiene que, . De donde x ² + x − 1 = 0 y . Luego . Por consiguiente,

Sea . Entonces,

De igual manera,

Usando las fórmulas del doble ángulo, se obtiene que,

Usando las fórmulas del triple ángulo se obtiene

Usando las fórmulas del medio ángulo se obtiene

Sea . Entonces,

y

Sea . Entonces,

Usando las fórmulas del medio ángulo, se obtiene que,

y

Sea . Entonces,

Tomando, . Se obtiene,

Por lo tanto, y

De igual manera,

Tomando, . Se obtiene,

Por lo tanto, y .

Sea . Entonces,

De donde, de igual forma,

Note que divide a 2⁴, por lo tanto, el ángulo es construible. Luego, usando las fórmulas del seno y coseno de la suma y resta de ángulos, se tiene que el ángulo = (3n)o es construible para todo número natural n. Precisamente, se tiene el siguiente resultado:

Teorema 8: Sea n un número natural y = n°. El ángulo es construible si y solo si n es un multiplo de tres.

Demostración:

Del ejemplo anterior se tiene que si n es un múltiplo de tres, entonces el ángulo = n o es construible. Recíprocamente, suponga que el ángulo = n o es construible y que n no es un múltiplo de 3. Entonces, el máximo común divisor (n,3) = 1. Luego, por la identidad de Bezout, existen números enteros, p, q tales que, 3p - nq = 1

Como los ángulos ₁=(3p)o y ₂ = (nq)o son construible, se tiene que el ángulo = 1 es construible. Esto implica que para todo número natural m, el ángulo m o es construible. Así el ángulo 20o es construible, lo que contradice el Teorema 3. Por consiguiente, n es un múltiplo de 3.

4. Conclusiones

De los resultados obtenidos en este artículo se deduce que, el número complejo z es construible si y solo si puede ser formado, a partir de los números racionales, en una cantidad finita de pasos usando solo las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas.

Como , por el Corolario 1, no es un número construible; lo que implica la imposibilidad de la duplicación del cubo. De igual manera, como no es un número algebraico, por el Corolario 1, no es un número construible; lo que implica la imposibilidad de la cuadratura de un círculo de radio 1.

Como el ángulo ₁ = 60o es construible y el ángulo = 20o no es construible, en general, un ángulo construible no se puede trisecar. Más aún, un ángulo de medida y un número entero grados, se puede trisecar si y solo si él es un múltiplo de 9.

El ángulo = 3o y cualquier múltiplo entero de él es construible; sin embargo, los ángulos ₁= 1o y 2 = 2o no son construibles.

Como el polígono regular de n lados es construible si y solo si el ángulo es construible, por los Teoremas 4 y 6, el polígono regular de n lados es construible si y solo si la función de Euler ∅(n) es una potencia de dos. Por consiguiente, como∅(7) = 6, el heptágono regular no es construible.

Como el número real π no es algebraico, por el Corolario 1, él no es construible; sin embargo, el ángulo ∅ = rad(=180o) no es construible, ya que, sen y cos

A pesar de que =1° no es construible, usando las fórmulas de Euler y de De Moivre, se obtiene que

y donde se ha tomado la raiz n-ensima principal. Por lo tantp (Kowalski, 2016), .

Referencias Bibliográficas

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Trillo, J.A. (2019). Teoría de Cuerpos: Una introducción a las extensiones de cuerpos y a la teoría de Galois. Editorial independiente.