Funciones extrañas en el análisis real: funciones del tipo Thomae

Strange functions in real analysis: Thomae type functions

Franco, Ángela Y. Franco

Ángela Y. Franco Franco

angela.franco@up.ac.pa

Universidad de Panamá Panamá

Visión Antataura

Universidad de Panamá, Panamá

ISSN: 2309-6373

ISSN-e: 2520-9892

Periodicidad: Semestral

vol. 7, núm. 2, 2023

Luis.rodriguez@up.ac.pa

Recepción: 24 Agosto 2023

Aprobación: 14 Octubre 2023

URL: https://portal.amelica.org/ameli/journal/225/22548242254824004/

DOI: https://doi.org//10.48204/j.vian.v7n2.a4563

Modelo de publicación sin fines de lucro para conservar la naturaleza académica y abierta de la comunicación científica

ePub generado a partir de XML JATS4R

Resumen: El comportamiento patológico de las funciones extrañas ha sido de gran ayuda en el desarrollo y fundamentación del cálculo diferencial e integral y, en general, del análisis real. Además, es una útil fuente de ejemplos y contraejemplos que ayudan a comprender las definiciones rigurosas de los conceptos básicos del análisis matemático. Es por esa razón que el objetivo de este artículo es estudiar las propiedades de la función de Thomae y presentar algunas generalizaciones para garantizar la diferenciabilidad en un conjunto considerablemente grande de puntos.

Palabras clave: funciones extrañas, continuidad, diferenciabilidad, integrabilidad, conjunto denso, medida de Lebesgue.

Abstract: The pathological behavior of strange functions has been of great help in the development and foundation of differential and integral calculus and, in general, of real analysis. In addition, it is a useful source of examples and counterexamples that help understand the rigorous definitions of the basic concepts of mathematical analysis. It is for this reason that the objective of this article is to study the properties of the Thomae function, and present some generalizations to guarantee differen tiability on a considerably large set of points.

Keywords: strange functions, continuity, differentiability, integrability, dense set, Lebesgue measure.

1. Introducción

En el siglo XIX el análisis real estaba en su etapa formativa (transición del cálculo al análisis). Los matemáticos investigaban sobre la posibilidad de clasificar las funciones usando los conceptos de continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad. Sin embargo, estas ideas fueron desafiadas por un número de funciones que eran atípicamente malas, extrañas y contraintuitivas. De hecho, los matemáticos de esa época pensaban que una función continua sólo podía ser no diferenciable en una colección pequeña de puntos aislados; sin

embargo, ha resultado que muchas de las funciones continuas son no diferenciables en todos los puntos (Dunham, 2018; Edward, 1994).

Otra idea errónea que tenían los matemáticos sobre el comportamiento de la derivada de una función es que eran Riemann integrable. También se pensaba que si una función diferenciable era estrictamente creciente (decreciente), entonces su derivada tenía que ser positiva (negativa). Estos y otros muchos errores sobre el cálculo diferencial e integral fueron corregidos con la aparición de las funciones extrañas o patológicas en el análisis real (Bartle, 2011; Folland, 2007; Natanson, 2016; Olmsted, 2009).

El comportamiento patológico de las funciones extrañas ha sido de gran ayuda en el desarrollo y fundamentación del cálculo diferencial e integral y, en general del análisis real. Además, es una útil fuente de ejemplos que ayudan a entender definiciones rigurosas de los conceptos básicos del análisis matemático. Entre los primeros matemáticos que construyeron estos tipos de funciones extrañas se pueden mencionar B. Bolzano (1781 - 1848), P. Dirichlet (1805 - 1859), K. Weierstrass (1815 - 1897), B. Riemann (1826 - 1866), G.

Darboux (1842 - 1917), G. Cantor (1845 - 1918), G. Peano (1858 - 1932), V. Volterra (1860 -

1940) y B. van der Waerden (1903 - 1996), (Gelbaum, 2003), (Kharazishvili, 2018), (Varona 2009),

Debido al gran impacto que han tenido las funciones extrañas o patológicas en la fundamentación del análisis matemático, en este artículo se presentan varias funciones extrañas, se estudian sus propiedades con respecto a los conceptos de continuidad, diferenciación e integración y se presentan algunas generalizaciones.

2. Metodología

En 1872 el matemático alemán Karl Weierstrass presentó a la consideración de la comunidad matemática de su época un ejemplo de una función continua que es no diferenciable en todo punto de ¡ , contradiciendo la idea intuitiva de la mayor parte de sus contemporáneos que pensaban que las funciones continuas eran diferenciables, excepto en algunos puntos. Este evento abrió el camino a otras muchas funciones con comportamientos patológicos, las cuales se denominan Funciones Extrañas. De hecho, la

suma de una función diferenciable y la función de Weierstrass es nuevamente continua pero no diferenciable en todo punto de ¡ , por lo que hay tantas funciones extrañas como funciones diferenciables. De hecho, se puede probar que las funciones continuas son en general no diferenciable en todo punto de ¡ .

La metodología para lograr el objetivo de este artículo es primeramente presentar algunos conceptos y resultados de la teoría de aproximación racional de los números reales, con el fin de estudiar las propiedades de la función de Thomae referente a la continuidad, diferenciación e integrabilidad.

Finalmente, se define la función de Thomae modificada:

3. Preliminares

En esta sección se presentan algunos conceptos y resultados que son importantes para el logro de los objetivos planteados (Bartle, 2011; Folland, 2007; Natanson, 2016)

· Teorema 7 (Roth): Sea a un número irracional algebraico. Entonces, para todo

e > 0 , la desigualdad

De donde

· Demostración:

7. Conclusiones

Referencias bibliográficas

Darst, R.B. and Taylor G.D. (1996). Differentiating Powers of an Old Friend. The American Mathematical Monthly, 103 (5). 415-416. https://doi.org/10.1080/00029890.1996. 12004762

Dunham, W. (2018). The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton University Press. USA.

Gelbaum, B.R. and Olmsted, J.M.H. (2003). Counterexamples in analysis. Dover Publications, Inc. USA

Kharazishvili, A. (2018). Strange Functions in Real Analysis. CRC Press Taylor & Francis Group. USA.

Varona, J.L. (2009). Differentiability of a Pathological Function, Diophantine Approximation, and a Reformulation of the Thue – Sieguel – Roth Theorem. Gazette of the Australian Mathematical Society 36 (5). 353 -361. https://austms.org.au/?s=Differentiability+ of+a+Pathological+Function%2C+Diophantine+Approximation%2C+and+a+Reform ulation+of+the+Thue+–+Sieguel+–+Roth+Theorem.+Gazette+of+the+Australian+ Mathematical+Society+36+%285%29.+353+-361.

Edward, C.H. 1994. The Historical Development of the Calculus. Springer-Verlag. USA.

Folland, G. B. 2007. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley. USA.

Bartle, R.G. and Sherbert, D.R (2011). Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons – Inc. USA.

Olmsted, J.M.H. (2009). Advanced Calculus. American Mathematical Society. USA.

Natanson, I. R. 2016. Theory of Functions of Real Variable. Volume I. Dover Publications, Inc. USA.