1. Introducción

En la actualidad la definición de determinante está ligada a una matriz cuadrada, lo que puede hacer pensar que el origen del determinante fue posterior al de las matrices; sin embargo, ambos tuvieron orígenes diferentes. De hecho, los determinantes aparecieron antes que las matrices (Kleiner, 2007). Su desarrollo conceptual estuvo estrechamente relacionado con las ecuaciones lineales. Existe toda una teoría de determinantes desarrollada antes que la teoría matricial.

Sobre los determinantes existen estudios muy sobresalientes, como los realizados por Hadamard para acotar el valor del determinante de ciertas matrices que actualmente llevan su apellido; los realizados por John Williamson en analogía a los estudios de Hadamard para cuando el orden de la matriz no es múltiplo de cuatro y quizás el más conocido: el determinante de Vandermonde. Cabe indicar que la teoría de los determinantes tiene un campo amplio de aplicación en Matemática e Ingeniería.

2. Historia

Los orígenes de los determinantes se remontan al siglo IV a. C.; sin embargo, su desarrollo debió esperar hasta finales del siglo XVII donde reaparecieron las ideas y se logra realmente un avance. Los babilonios estudiaron problemas que conducen a ecuaciones lineales simultáneas y donde surgen los inicios de los determinantes. Mientras que los chinos, alrededor del siglo II a. C. se aproximan mucho más que los babilonios al estudio matricial y existen evidencias de algoritmos similares al conocido actualmente como eliminación gaussiana (Grattan-Guinness, 1994).

Girolamo Cardano, en su Ars Magna (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales, esta regla se acerca mucho a la regla de Cramer para resolver un sistema ; aunque Cardano no da la definición de determinante, su método sí conduce a la definición.

En 1683, Takakazu Seki escribió “Method of solving the dissimulated problems” donde sin tener ninguna palabra que corresponda a “determinante” introdujo los determinantes y además, exhibe métodos generales, a través de ejemplos, para calcular determinantes de matrices de tamaño .

En 1693, Gottfried Leibniz le escribió a Guillaume de L'Hôpital y le explica, mediante un ejemplo, que un sistema de ecuaciones tenía solución debido a una condición similar al hecho de que la matriz de coeficientes tenga determinante distinto de cero (Muir, 1906).

En su estudio de los sistemas de coeficientes de ecuaciones que lo llevaron a los determinantes, usó la palabra “resultante” para ciertas sumas combinatorias de términos de un determinante. Demostró, entre otros resultados, lo que se conoce como la regla de Cramer. También utilizó el hecho que un determinante podía expandirse usando cualquier columna, lo cual se conoce actualmente como expansión de Laplace.

En la década de 1730, Colin Maclaurin escribió “Treatise of algebra”; obra que contiene los primeros resultados publicados sobre determinantes que demuestran la regla de Cramer para sistemas y , y además indica cómo funcionaría el caso . Gabriel Cramer presentó la regla general para sistemas en su artículo “Introduction to the analysis of algebraic curves” en 1750; sin embargo, no dio la demostración de la misma.

La comunidad matemática comienza a interesarse mucho más sobre el estudio de los determinantes y en 1764 Étienne Bézout presenta métodos para calcular determinantes, al igual que Alexandre-Theophile Vandermonde en 1771 (Muir, 1906).

En 1772 Pierre-Simon Laplace presenta un artículo donde estudia la solución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes. Laplace utiliza la palabra “resultante” para lo que ahora llamamos determinante y dio la expansión de un determinante que lleva su nombre.

Carl Friedrich Gauss introdujo por primera vez el término “determinante” el cual aparece en su obra “Disquisitiones arithmeticae” (1801) mientras discutía las formas cuadráticas; sin embargo, el concepto presentado por Gauus no es el mismo que el concepto actual de determinante.

Es Augustin-Louis Cauchy, en 1812, quien utilizó el término “determinante” en su sentido moderno; realizó un trabajo más completo sobre determinantes: probó los resultados anteriores y presentó nuevos resultados sobre menores y adjuntos, demuestra por primera vez el teorema de multiplicación para determinantes.

Carl Gustav Jacob Jacobi publicó tres tratados sobre determinantes en 1841, en los cuales da a conocer ampliamente la idea de determinante y presenta por primera vez la definición de determinante de manera algorítmica y al no especificar las entradas en el determinante, sus resultados tuvieron una mayor aplicación.

La notación estándar para denotar los determinantes se le debe al matemático inglés Arthur Cayley, quien la utilizó en 1841. Además, en 1858, dio una construcción explícita de la inversa de una matriz en términos del determinante de la matriz (Muir, 1911).

Karl Weierstrass utilizó una definición axiomática de determinante en sus notas “On determinants theory” que fueron publicadas póstumamente en 1903. También en 1903 fueron publicadas las notas sobre determinantes de Leopold Kronecker (después de su muerte). Estas dos publicaciones dan inicio a la teoría moderna de los determinantes.

3. Determinante máximo de Hadamard

Referencias bibliográficas

De Burgos, J. (2006). Álgebra lineal y geometría cartesiana. McGraw-Hill.

Grattan-Guinness, I. (1994). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. Vol. 1 & 2. Routledge.

Hadamard, J. (1893). Résolution d’une question relative aux determinants. Bulletin des Sciences Mathematiques, vol. 17, Part I.

Hedayat, A.S., Sloane, N.J.A., Stufken, J. (1999). Orthogonal Arrays: Theory and Applications. Springer-Verlag.

Kleiner, I. (2007). A History of Abstract Algebra. Birkhauser.

Muir, T. (1906). The Theory of determinants in the historical order of development. Vol. 1. Macmillan company.

Muir, T. (1911). The Theory of determinants in the historical order of development. Vol. 2. Macmillan company.

Williamson, J. (1946). Determinants whose Elements are 0 and 1. The American Mathematical Monthly, 53 (8), 427-434.