1. Introducción

Una de las principales ventajas de la teoría de integración de Cauchy (para funciones continuas) es que le permitió demostrar generalmente la existencia de integrales o funciones primitivas, cuyas propiedades, él pensó, podían ser estudiadas solo después de - la demostración de existencia. Para funciones continuas

Cauchy consideró la función

definida por

Como por el Teorema del Valor Medio para Integrales, existe un

tal que

𝐹 no es solo continua, sino también diferenciable en [𝑎, 𝑏]. De aquí, Cauchy estableció los siguientes resultados (Barthle, 2011; Edwards, 2013; Bressoud, 2011).

Teorema 1: (Primera versión del Teorema Fundamental del Cálculo): 𝐹 es una función primitiva para 𝑓 en [𝑎, 𝑏]; es decir, 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Teorema 2: (Segunda versión del Teorema Fundamental del Cálculo): Todas las primitivas

de 𝑓 deben ser de la forma

donde 𝐶 es una constante; esto es, si 𝐺es una función con derivada continua 𝐺´, tal que 𝐺´(𝑥) = 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], entonces

En la demostración del Teorema 2, Cauchy usa las hipótesis

a) 𝐺 tiene derivada en [𝑎, 𝑏]

b) Esta derivada es continua en [𝑎, 𝑏]

Para establecer que

La pregunta a plantearse es:

¿Se pueden generalizar los teoremas 1 y 2 (debilitando las hipótesis) a la teoría de integración de Riemann?

Como ilustración se presentan los siguientes ejemplos

Ejemplo 1: Sea 𝐹: [−2,2] → ℝ la función definida por

Note que 𝐹 es derivable en [−2,2] y

Considere, la sucesión

Entonces

Como

se tiene que 𝑓 no es continua en [−2,2]. Sin embargo, 𝑓 es Riemann integrable en [−2,2]

se tiene que 𝑓 no es continua en [−2,2]. Sin embargo, 𝑓 es Riemann integrable en [−2,2]

y

Así pues, la función 𝐹 satisface la segunda versión del Teorema Fundamental del Cálculo en

[−2,2], sin ser 𝐹´ una función continua en [−2,2].

Ejemplo 2: Sea 𝐹: [−1,1] → ℝ la función definida por

Note que 𝐹es derivable en [−1,1] y

Considere la sucesión

Entonces

Esto implica que la función 𝑓 no es Riemann integrable en [−1,1], ya que no es acotada en [−1,1]. Por consiguiente, la función 𝐹 no satisface la segunda versión del Teorema Fundamental del Cálculo en [−1,1].

De los dos ejemplos anteriores, se puede afirmar que:

i) La derivada de una función en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] no es necesariamente Riemann integrable en [𝑎, 𝑏].

ii) La continuidad de la derivada 𝐹´ de una función derivable 𝐹 no se puede tomar como un hecho.

iii) La hipótesis de continuidad de 𝐹´ no es una condición necesaria para que se cumpla el Teorema 2.

La pregunta ahora es:

¿Qué condiciones debe satisfacer la derivada 𝐹´ de la función 𝐹 que garantice la veracidad del Teorema 2?

Para contestar esta pregunta se estudiarán primero algunas propiedades que tiene la derivada 𝑓´ de una función diferenciable 𝑓 definida en un intervalo [𝑎, 𝑏] .

2. La Propiedad del Valor Intermedio para Derivadas

Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función diferenciable. De los Ejemplos 1 y 2 se sabe que 𝑓´ no es necesariamente continua ni acotada en [𝑎, 𝑏] . Así que la interrogante es, qué tan mal puede ser el comportamiento de la derivada de una función. En esta dirección el matemático francés Gastón Darboux (1847-1917) probó el siguiente teorema (Dunham, 2005; Propp, 2013).

Teorema 3: Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función diferenciable en el intervalo [𝑎, 𝑏] . Si 𝑘 es un número entre 𝑓´(𝑎) y 𝑓´(𝑏) , entonces existe un 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓´(𝑐) = 𝑘.

Demostración:

Suponga que 𝑓´(𝑎) < 𝑘 < 𝑓´(𝑏) . Considere la función 𝑔:[𝑎, 𝑏] → ℝ definida por

𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥 − 𝑓(𝑥)

Como 𝑓 es diferenciable en [𝑎, 𝑏] , 𝑔 es diferenciable en [𝑎, 𝑏] y

𝑔´(𝑥) = 𝑘 − 𝑓´(𝑥)

Además, como 𝑔 es continua en [𝑎, 𝑏] , existe un 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que

Por otro lado, como 𝑔´(𝑎) = 𝑘 − 𝑓(𝑎) > 0 y

Se tiene que

por lo tanto 𝑎 ≠ 𝑐.

De igual manera se tiene que 𝑏 ≠ 𝑐. Así pues, 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Como 𝑔 alcanza su valor máximo en 𝑐 y 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), se tiene que 𝑔´(𝑐) = 0. Es decir,

𝑘 − 𝑓´(𝑐) = 0 y 𝑘 = 𝑓´(𝑐) .

Ejemplo3: Sea 𝑓: [−3,3] → ℝ la función definida por

Luego

Así pues,

Note que 𝐹 es continua, pero no diferenciable en [−3,3], por lo que 𝐹 no es una primitiva de 𝑓 en [−3,3] . Más aun, por la Propiedad de Valor Intermedio para Derivadas (ver Teorema 3), 𝑓 no posee primitiva en [−3,3] , a pesar de que es Riemann integrable en [−3,3] . Recuerde que en el Ejemplo 2 se presentó una función que posee primitiva, pero no es integrable en el intervalo [−2,2].

Los ejemplos anteriores fueron las bases que motivaron el replanteamiento del Teorema Fundamental del Cálculo en la teoría de integración de Riemann, lo cual se desarrolla en la siguiente sección.

3. El Teorema Fundamental del Cálculo en la Teoría de Integración de Riemann.

Para la función 𝑓: [−1,1] → ℝ definida en Ejemplo 2, se tiene que la derivada 𝐹´no es acotada en [−1,1], por lo tanto, ella no es Riemann integrable en[−1,1] y, por ende, no se satisface la segunda versión del Teorema Fundamental del Cálculo. Será que si se supone que 𝐹´ es acotada en [𝑎, 𝑏], entonces se satisface el Teorema Fundamental del Cálculo. En este sentido se plantea la siguiente conjetura en la teoría de integración de Riemann. (Bressoud, 2011), (Botsko, 1991), (Propp, 2013).

Conjetura: Sea 𝐹: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función diferenciable en [𝑎, 𝑏] con derivada acotada

𝐹´en [𝑎, 𝑏]. Entonces 𝐹´ es Riemann integrable en [𝑎, 𝑏] y

En 1881 el matemático italiano Vito Volterra (1860-1940) resolvió negativamente esta conjetura en su artículo “Sui principii del calcolo integrale “. (Edwards,2013), (Dunham,2005), (Brand, 1995). Ahí Volterra presentó un ejemplo de una función 𝐹 que tenía una derivada acotada en [𝑎, 𝑏] pero cuya derivada era tan discontinua como para ser Riemann integrable (o sea que el conjunto de discontinuidades tenía medida de Lebesque no nula); por lo tanto, la ecuación

deja de tener sentido. Volterra destruyó cualquiera esperanza de establecer un Teorema Fundamental del Cálculo simple en la teoría de integración de Riemann.

A pesar del ejemplo presentado por Volterra, en 1875 Darboux tuvo éxito en determinar la propiedad de la derivada 𝐹´ para que el teorema fundamental del cálculo sea verdadero en la teoría de integración de Riemann, resultado que enuncia en el siguiente teorema y es una generalización del Teorema 2, (Botsko, 1991).

Teorema 4: Sea 𝐹: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función diferenciable en [𝑎, 𝑏]. Si 𝑓 = 𝐹´es Riemann integrable en [𝑎, 𝑏], (y, por ende, acotada), entonces

Demostración:

Sea

una partición de [𝑎, 𝑏], donde

Entonces

Como 𝐹es diferenciable en

por el Teorema del Valor Medio de Lagrange, existe un

tal que

Por consiguiente

Note que

de donde

para toda partición 𝑃 de [𝑎, 𝑏]. Como

se tiene que

Por hipótesis 𝑓 = 𝐹´ es Riemann integrable en [𝑎, 𝑏] , o sea que

Por consiguiente,

Una modesta generalización del Teorema 4 es la siguiente:

Teorema 5: Sean 𝑓, 𝐹: [𝑎, 𝑏] → ℝ funciones y 𝐸un subconjunto finito de [𝑎, 𝑏]. Si

i) 𝐹 es continua en [𝑎, 𝑏]

ii) 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] − 𝐸

iii) 𝑓 es Riemann integrable en [𝑎, 𝑏]

Entonces

Demostración:

Como 𝐹 es continua en [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] y diferenciable en (𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖), por el Teorema del Valor Medio de Lagrange, existe un 𝑐𝑖 ∈ (𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖) tal que

Por consiguiente,

Como 𝑓 es acotada en [𝑎, 𝑏],

para toda partición

Como

se tiene que

Luego, como 𝑓es Riemann integrable en [𝑎, 𝑏], se tiene que 𝐹´es Riemann integrable en

[𝑎, 𝑏] y

En el Teorema 4 presentado por Darboux, se supone que la función 𝑓 = 𝐹´es Riemann integrable en [𝑎, 𝑏]. Pero ¿bajo qué condiciones la derivada 𝐹´ de 𝐹 es Riemann integrable (sin hacer uso de la teoría de medida)?. En lo que sigue se dará respuesta a esta pregunta (Brand, 1995; Propp, 2013).

Teorema 6: Sea 𝜙: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función Riemann integrable en [𝑎, 𝑏] tal que

para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Considere la función 𝜌: [𝑎, 𝑏] → ℝ definida por

Si 𝜌 es diferenciable en 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], entonces

Demostración:

Considere la función 𝐾: [𝑎, 𝑏] → ℝ definida por

𝐾(𝑥) = 𝜌(𝑥) − 𝑚(𝑥 − 𝑎)

Entonces 𝐾 es diferenciable en [𝑎, 𝑏] y

𝐾´(𝑥) = 𝜌´(𝑥) − 𝑚

para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Además,

Como

para todo 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝐾 es una función creciente en [𝑎, 𝑏]. Por lo tanto,

𝜌´(𝑥) ≥ 𝑚, para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

Por otro lado, considere la función 𝐿: [𝑎, 𝑏] → ℝ definida por

𝐿(𝑥) = 𝑀(𝑥 − 𝑎) − 𝜌(𝑥)

Entonces 𝐿´ es diferenciable en [𝑎, 𝑏] y

𝐿´(𝑥) = 𝑀 − 𝜌´(𝑥)

para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Además

Como

para todo 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝐿 es una función creciente en [𝑎, 𝑏]. Por lo tanto

𝐿´(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐴. Así pues

𝜌´(𝑥) ≤ 𝑀, para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

De todo lo anterior se tiene que

𝑚 ≤ 𝜌´(𝑥) ≤ 𝑀, para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

Teorema 7: Sea 𝜙: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función integrable en [𝑎, 𝑏] y 𝜌: [𝑎, 𝑏] → ℝ la función definida por

Si 𝜌 es diferenciable en [𝑎, 𝑏], entonces 𝜌´ es integrable en [𝑎, 𝑏].

Demostración:

Sea

una partición de [𝑎, 𝑏], donde

Como

Como 𝜙 es integrable en [𝑎, 𝑏], se tiene que

Por consiguiente,

y 𝜌´es integrable en [𝑎, 𝑏].

Teorema 8: Sea 𝐹: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función diferenciable en [𝑎, 𝑏]. La derivada 𝐹´ es integrable en [𝑎, 𝑏] sí y sólo si, existe una función integrable 𝜙: [𝑎, 𝑏] → ℝ tal que

para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Demostración:

Si 𝐹´es integrable en [𝑎, 𝑏]; entonces por el Teorema 4,

Luego,

donde 𝜙: = 𝐹´ es una función integrable en [𝑎, 𝑏].

Recíprocamente, supongamos que existe una función integrable 𝜙: [𝑎, 𝑏] → ℝ tal que

para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Sea 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ la función definida por

Luego

𝜌(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)

para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Por lo tanto, 𝜌es diferenciable en [𝑎, 𝑏]y 𝜌´ = 𝐹´. Así, por el Teorema 7, 𝐹´ = 𝜌´ es integrable en [𝑎, 𝑏].

Conclusión: Sea 𝐹: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función diferenciable en [𝑎, 𝑏]. Si existe una función integrable 𝜙: [𝑎, 𝑏] → ℝ tal que

para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], entonces por el Teorema 8, la función 𝜌: [𝑎, 𝑏] → ℝ definida por

es diferenciable en [𝑎, 𝑏] y 𝜌´ = 𝐹´. Luego, por el Teorema 7, 𝐹´ = 𝜌´es integrable en [𝑎, 𝑏].

Por consiguiente, por el Teorema 4,

Sin embargo, esto no implica que 𝐹´ = 𝜙, como lo muestra el siguiente ejemplo

Ejemplo 4: Sean 𝐹, 𝜙: [−1,1] → ℝ las funciones definidas por

Entonces 𝐹 es diferenciable en [−1,1] y

Referencias bibliográficas

Barthle, D.R. and Sherbert, R. G. (2011). Introduction to Real Analysis. U.S.A.: John Wiley & Sons.

Botsko, M.W. (1991). A fundamental Theorem of Calculus that Applies to all Riemann Integrable Functions. Mathematics Magazine 64 (5), 347-348.

Brand, L. (1995). The Fundamental Theorem of Calculus. The American Mathematical Monthly 102 (5), 440-441.

Bressoud, D.M. (2011). Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Integral Calculus. The American Mathematical Monthly 118 (2), 99-115.

Dunham, W. (2005). The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesque. U.S.A: Princeton University Press.

Edwards, C. H. Jr. (2013). The Historical Development of the Calculus. U.S.A.: Springer

Propp, J. (2013). Real Analysis in Reverse. The American Mathematical Monthly 120 (5), 392-408.