1. Introducción

La regla de L’Hôpital o regla de L’Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para

ayudar a calcular límites de funciones que están en forma indeterminadas

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de L’Hôpital (1661-1704), quien la dio a conocer en su obra Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), el primer libro de texto escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli (1667-1748) (Dunhamm, 2005; Smorynski, 2017).

Guillaume François Antoine, más conocido como el Marqués de L’Hôpital, interesado en el aquel tiempo novedoso cálculo diferencial, contrató a Johann Bernoulli para que le enseñara los secretos del nuevo cálculo a cambio de una generosa cantidad económica.

Las clases continuaron por correspondencia cuando Johann tuvo que volver a Basilea, bajo la promesa de no comentar con nadie los contenidos de las lecciones. Johann aprovechó la ocasión para recopilar las cartas con la idea de confeccionar un curso de cálculo diferencial. Pero, el estudiante se adelantó al profesor. Haciendo uso de las lecciones de Johann, L’Hôpital publicó en 1696 el primer libro de texto sobre cálculo diferencial “Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes”. Es en este libro donde aparece por primera vez la regla de L’Hôpital. En la introducción, L’Hôpital reconoce su deuda con Johann Bernoulli y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) cuando él escribe “Yo he hecho uso libre de sus descubrimientos, por lo tanto francamente les regreso cualquiera cosa que quieran reclamar como propias (Boyer, 2011; Sánchez y Valdés, 2001).

El irritable Johann, que en efecto reclamó la regla como suya no quedó satisfecho con este gesto de L’Hôpital y en una carta enviada a Leibniz años después, se queja de que L’Hôpital había comprado el talento de otros. Pero, como dijo el buen historiador Dirk Struik “Deje que el buen marqués mantenga su regla elegante, él pagó por esta (Duham, 2005). Para evitar perder gloria por segunda vez, Johann escribió un tratado extenso sobre cálculo integral que fue publicado bajo su nombre en 1742.

Las primeras evidencias sobre la originalidad de las reclamaciones de Johann Bernoulli aparecieron en 1922, cuando se encontró en la biblioteca de Basilea un ejemplar del curso de cálculo diferencial de Johann que este nunca llegó a publicar.

Si se compara el curso de Johann con el libro de L’Hôpital, resulta evidente que la esencia de ambos es la misma. Pero, la prueba definitiva fue la aparición en 1955 de las primeras correspondencias entre Johann Bernoulli y L’Hôpital. Aquí se descubrió la sorprendente propuesta que el marqués de L’Hôpital hizo a Johann Bernoulli en una carta fechada el 17 de marzo de 1694. Aunque la respuesta de Johann no se conserva, se entiende que aceptó el trato. En las siguientes cartas, Johann escribe a L’Hôpital respondiendo a sus preguntas. Precisamente una de ellas contiene la regla de L’Hôpital (Ash, Berele y Catouis, 2012).

Una versión estándar de la regla de L’Hôpital afirma que si

y 𝑔 generan la forma indeterminada

en el infinito, y si

en una vecindad de

, entonces

implica que

donde

es un número real extendido (Bartle, 2014; Morgan,2005).

En este artículo se prueba una versión de la regla de L’Hôpital para el caso de funciones discretas, la cual es una herramienta de gran utilidad para estudiar la convergencia de sucesiones reales. Posteriormente, como un corolario, se deduce el Teorema Stolz-Cesàro. Finalmente, se presenta una serie de ejemplos que ilustran la utilidad de los resultados probados.

2. Versión Discreta de la Regla de L’Hôpital

En esta sección se presenta una versión de la regla de L’Hôpital para el caso de funciones discretas. Se prueba que bajo ciertas condiciones, si para algún número real h>0,

entonces

lo cual servirá como herramienta para el estudio de convergencia de sucesiones.

Teorema 1: Sean

funciones y ℎ > 0. Supongamos que

Entonces

Demostración: Debe suponerse, primeramente, que

0 para todo

Entonces se considera el caso

Por (𝑖𝑖𝑖), para todo 𝜀 > 0 existe un

tal que

siempre que

. luego,

Por lo tanto,

De igual manera,

para 𝑘 = 1,2,3 ⋯. Como por hipótesis

para todo

de la desigualdad anterior se tiene que

Así,

Sumando miembro a miembro estas desigualdades se obtiene

De forma análoga se obtiene que

De (1) y (2) se tiene que

para todo 𝑛 = 1, 2, 3, ⋯. Com

de (3) se deduce que

para todo

.Así pues

Véase ahora el caso

. Por (𝑖𝑖𝑖), para cada

existe un entero positivo

tal que

siempre que

. Como

0 para todo

es decir,

para todo

. Luego,

Usando el resultado del caso |𝐿| < ∞, se obtiene que

El caso 𝐿 = −∞ se deduce del caso 𝐿 = ∞ tomando

Finalmente, el caso ∆𝜓(𝑥) < 0 se deduce de todo lo anterior, tomando −𝜓(𝑥) en lugar de

𝜓(𝑥).

Corolario 1: Sean

dos sucesiones de números reales tales que

Entonces

Demostración: Bajo las hipótesis del Corolario, existen funciones ∅, 𝜓: [1, ∞) → ℝ tales que

Luego, por el Teorema 1,

de donde

Corolario 2: (Teorema de Stolz-Cesàro 1)

Sean

dos sucesiones de números reales tales que

Entonces

Demostración: Es una consecuencia inmediata del Corolario 1.

Teorema 2: Sean ∅, 𝜓: [a, ∞) → ℝ funciones acotadas en cada subintervalo finito de [a, ∞)

y ℎ>0. Supóngase que

Entonces

Demostración: Sin pérdida de generalidad se puede suponer que ∆𝜓(𝑥) > 0 para todo

𝑥 ≥ 𝑥0.

Considérese, primeramente, el caso |𝐿| < ∞. Similarmente, al Teorema 1, para cada

𝜀 > 0 existe un 𝑁 ≥ 𝑥0 tal que

para todo 𝑥 ≥ 𝑁 y 𝑛 = 1,2,3, ⋯.

Por otro lado, note que para cada 𝑥 ≥ 𝑁 existe un 𝑟𝑥 ∈ [𝑁, 𝑁 + ℎ) y un entero 𝑗 ≥ 0 tal que 𝑥 = 𝑟𝑥 + 𝑗ℎ.

Por lo tanto,

para todo 𝑥 ≥ 𝑁. Además,

Por consiguiente

de donde

ya que

Como ∅(𝑥) y 𝜓(𝑥) son acotadas en el intervalo

, existe un

tal que

para todo

. Finalmente, de (5), (6) y (7) se tiene que

para todo

. Así pues,

Considérese ahora el caso 𝐿 = ∞. Sea 𝑀 > 0, entonces existe un

tal que

para todo 𝑥 ≥ 𝑁. Como ∆𝜓(𝑥) > 0 para todo

se tiene que

para todo

.Por otro lado, para todo número natural n y para todo

se tiene que

Como 𝑥 = 𝑟𝑥 + 𝑗ℎ, para algún 𝑟𝑥 ∈ [𝑁, 𝑁 + ℎ), 𝑗 ≥ 1, se tiene que

Luego,

Como

Aplicando lo demostrado en el caso finito, se tiene que

Finamente, reemplazando ∅(𝑥) por −∅(𝑥), se deduce el caso 𝐿 = −∞.

Corolario 3: Sean

dos sucesiones de números reales tales

Entonces,

Demostración: Bajo la hipótesis del corolario, existen funciones ∅, 𝜓: [1, ∞) → ℝ acotadas en cada subintervalo finito de [1, ∞) tal que

Entonces,

Demostración: Bajo la hipótesis del corolario, existen funciones ∅, 𝜓: [1, ∞) → ℝ acotadas en cada subintervalo finito de [1, ∞) tal que

Luego, por el Teorema 2

de donde

Corolario 4: (Teorema de Stolz-Cesàro 2)

Sean

dos sucesiones de números reales tales que

Entonces

Demostración: Es una consecuencia inmediata del Corolario 3 (Kaczor y Nowak, 2000).

Corolario 5: Sea

una función acotada en cada subintervalo finito de [𝑎, ∞)

Demostración

𝑎) Considérense las funciones ∅, 𝜓: [a, ∞) → ℝ definidas por ∅(𝑥) = 𝑓(𝑥) y 𝜓(𝑥) = 𝑥

y tómese ℎ = 1. Entonces, ∅ y 𝜓 están acotadas en cada subintervalo finito de [𝑎, ∞) y

Luego, por el Teorema 2 se tiene que

o sea

de donde,

Corolario 6: Sea {𝑎𝑛}∞ una sucesión de números reales

una sucesión de números reales

Entonces,

Entonces,

Demostración: Esto una consecuencia inmediata del Corolario 5.

3. Aplicaciones

Como una aplicación de la versión discreta de la regla de L’Hôpital, en esta sección se estudiará la convergencia de sucesiones de números reales.

Ejemplo 1: Sean

una sucesión de números reales tal que

Se prueba que

En efecto, se considera la sucesión

. Entonces,

Luego, por el Corolario 6, se tiene que

es decir,

Ejemplo 2: Sea

una sucesión de números reales positivos tal que

Se prueba que

En efecto, considérese la sucesión

Entonces

Luego, por el Corolario 6, se tiene que

es decir,

Ejemplo 3: Sean

dos sucesión de números reales tales que

prueba que

efecto, considérense las sucesiones

Entonces

Luego, por el Corolario 3, se tiene que

es decir

Ejemplo 4: Sean

dos sucesiones de números reales tales

Se prueba que

En efecto, considérense las sucesiones

Entonces

Luego, por el Corolario 3, se tiene que

es decir,

Ejemplo 5: Estúdiese la convergencia de la sucesión

donde

En efecto, tómese

Entonces,

Luego, por el Corolario 4, se tiene que

es decir,

Ejemplo 6: Sea

una sucesión de números reales tal que 𝑥𝑛 ≥ 1, para todo 𝑛 ≥ 1.

Supóngase que existe un número real positivo 𝑝 tal que

Se prueba que

En efecto, considérese la sucesión

Entonces,

para todo 𝑛 ≥ 1 y

Luego, por el Corolario 6-b, se tiene que

Es decir,

Referencias bibliográficas

Ash, J.M., Berele, A. y Catoiu, S. (2012). Plausible and genuine extensions of L’Hôpital’s Rule. Mathematics Magazine, 85(1), 52-60.

Bartle, R. G. and Sherbert, D. R. (2014). Introduction to real analysis. USA: John Wiley and Sons.

Boyer, C.B. (2011). A History of mathematics. USA: John Wiley and Sons.

Dunham, W. (2005). The calculus gallery: Masterpieces, form Newton to Lebesgue. USA: Princeton University Press.

Gray, J. (2015). Real and the complex: A history of analysis in the 19th century. USA: Springer.

Kaczor, W. J. y Nowak, M.T. (2000). Problem in mathematical analysis I. USA: American Mathematical Society.

Little, C.H., Teo, K. L., and Van Brunt, B. (2010). Real analysis via sequence and series. USA: Springer.

Morgan, F. (2005). Real analysis and applications. USA: American Mathematical Society.

Sánchez, C. y Valdés, C. (2001). Los Bernoulli, geómetras y viajeros. España: Editorial Nivola.

Smorynski, C. (2017). MVT: A Most valuable theorems. USA: Springer.