Caracterización de los espacios de Hilbert separables
Characterization of Hilbert’s separable spaces.
Visión Antataura
Universidad de Panamá, Panamá
ISSN: 2309-6373
ISSN-e: 2520-9892
Periodicidad: Semestral
vol. 2, núm. 1, 2018
Recepción: 01 Marzo 2018
Aprobación: 10 Mayo 2018
Resumen: En el presente trabajo se caracterizan los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita y se prueba que son isométricamente isomorfos al espacio de Hilbert l 2 .
Palabras clave: Espacio de Hilbert l 2 , bases ortonormales, espacios de Hilbert separables.
Abstract: In this paper separable Hilbert spaces of infinite dimension are characterized, and it is proven that they are isometrically isomorphic to the Hilbert space l 2 .
Keywords: Hilbert space l 2, orthonormal bases, separable Hilbert spaces.
1. Introducción
Un importante espacio de Hilbert, que recuerda en su aspecto al espacio de coordenadas de dimensión infinita, es el espacio de todas las sucesiones
números reales o complejos para las que
converge. Este es el espacio de Hilbert
el cual es el prototipo de los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita.
En este trabajo se revisan las propiedades de las bases ortonormales en los espacios de Hilbert y se caracterizan los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita se prueba que
es isométricamente isomorfo a cualquier espacio de Hilbert separable dimensión infinita.
2.1 Definición:
Sean
un espacio con producto interno y
.
es un conjunto ortonormal si
2.2 Lema:
Todo conjunto ortonormal
en un espacio con
es linealmente independiente. En particular, si
es
dimensional entonces elconjunto
es una base para
y cualquier vecto
puede ser expresado en la forma
(en este caso
usualmente se llama base ortonormal y los números
son las componentes de
base, los cuales son llamados los coeficientes de Fourier de
con respecto a esta base ortonormal).
2.3 Lema:
Sea
un subconjunto linealmente independiente de un espacio con producto interno
y sea
Entonces existe una base ortonormal
para
2.4 Definición:
Sea
un espacio con producto interno. Una sucesión
dice que es una sucesión ortonormal si
para todo
, y
para todo
con
; es decir,
2.5 Propiedad:
Todo espacio con producto interno
de dimensión infinita contiene una sucesión ortonormal.
2.6 Propiedad:
Sea
un espacio con producto interno y sea
una sucesión ortonormal en
. Para cualquier
la serie (real)
converge y
Sean
un espacio de Hilbert y
una sucesión ortonormal en
Sea
una sucesión en
. Entonces, la serie
converge en
si y solo si la serie
converge en
. Si este es el caso, entonces
2.8 Propiedad:
Sea
un espacio de Hilbert y sea
una sucesión ortonormal en
.Para cualquier
la serie
en converge en
2.9 Propiedad:
Sean
un espacio con producto interno y
una sucesión ortonormal en
. Entonces para cada
2.10 Propiedad:
Sea
una sucesión ortonormal en el espacio de Hilbert
. Los siguientes enunciados son equivalentes:
; es decir, el subespacio generado por el conjunto ortonormal
es denso en
para todo
; es decir, todo elemento de
es igual a su serie de Fourier.
para todo
, para todo
. Identidad de Parseval.
No existe un conjunto ortonormal en
que contiene propiamente al conjunto
.O sea que
es maximal en el sentido ortonormal.
para todo
2.11 Definición:
Sea
una sucesión ortonormal en el espacio de Hilbert
es una base ortonormal para H si se satisface una de las condiciones de la Propiedad
2.10. En este caso se dice también que
es una sucesión ortonormal total o completa.
3. Espacios de Hilbert Separables
Ahora que se han estudiado las bases ortonormales en detalle, es natural preguntarse qué espacios de Hilbert poseen una base ortonormal.
3.1 Definición:
Un espacio de Hilbert
se llama separable si existe una familia enumerable de vectores
tal que
3.2 Teorema:
Todo espacio de Hilbert de dimensión finita es separable.
Demostración: Sea
un espacio de Hilbert tal que
y sea
una base para
. Definamos,
En cualquier caso
es enumerable y
. Por lo tanto,
es separable.
El siguiente Teorema caracteriza a los espacios de Hilbert separables de dimensión
infinita.
3.3 Teorema:
Un espacio de Hilbert de dimensión infinita
es separable si y solo si posee una base ortonormal.
Demostración:
por construcción
es un conjunto linealmente independiente y
Por el proceso de Gram-Schmidt podemos construir una sucesión ortonormal
tal que
Por lo tanto,
Así pues,
con
una sucesión ortornormal, de donde
es una base ortonormal para
Supongamos ahora que
posee una base ortonormal
Luego para todo
Sea
Luego,
es un conjunto enumerable. Probemos que
es denso en
. Sea
, entonces
Sea
entonces existe un
Tal que
Para cada
tomemos
racional o complejo racional (según sea el caso ) tal que
Tomemos
entonces
de donde
Esto implica que
y por lo tanto,
es separable.
3.4 Teorema:
La sucesión ortonormal
es una base ortonormal para
donde
Demostración: Es claro que para cualquier
para todo
Note que
para todo
para todo
. Así,
es, en efecto, una sucesión ortonormal en
Por otro lado, sea
entonces
por lo tanto,
O sea, se satisface la identidad de Parseval. Por lo tanto,
es una base ortonormal para
(Por la Definición 2.11).
3.5 Corolario:
es separable.
Demostración: Se deduce directamente de los Teoremas 3.3 y 3.4.
3.6 Lema:
Sean
un intervalo acotado y
. Entonces el conjunto
es denso en
3.7 Lema:
Para cualquier
el conjunto de polinomios con coeficientes racionales ( o complejos racionales ) es denso en el espacio
Demostración: Consideremos el espacio
, con la norma
, y supongamos
Entonces
lo que demuestra el resultado.
Para el caso complejo aplicamos este resultado a la parte real e imaginaria de
3.8 Teorema:
Para cualquier
el conjunto de polinomios con coeficientes racionales
(o complejos racionales) es denso en el espacio
Demostración: Consideremos el espacio
, con la norma
y supongamos que
3.9 Corolario:
es separable.
Demostración: El conjunto de polinomios con coeficientes racionales (o complejos racionales) es enumerable y denso en
. Por lo tanto,
es separable.
3.10 Definición:
Sean
espacios normados y
es una isometría si
para todo
. Si T es una isometría suryectiva, entonces se dice que
y
son espacios normados isométricamente isomorfos.
3.11 Teorema:
Sea
un espacio de Hilbert con una base ortonormal
, entonces una isometría suryectiva
tal que
para todo
Demostración: Sea
, entonces
Sean
y
. Entonces
Luego,
y
Por lo tanto,
es lineal. Probemos que
es una isometría. En efecto, por la identidad de Parseval se tiene que
Probemos que
es suryectiva.
3.12 Corolario:
Todo espacio de Hilbert
separable de dimensión infinita es
isométricamente isomorfo a
; es decir, existe una isometría
tal que es un isomorfismo.
Demostración: Como
es un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita entonces por el Teorema 3.3,
posee una base ortonormal y, por el Teorema 3.11,
es isométricamente isomorfo a
3.13 Corolario:
es isométricamente isomorfo a
Demostración: Por el Corolario 3.9
es un espacio de Hilbert separable de
dimensión infinita, luego por el Corolario 3.12
es isométricamente isomorfo a
Referencias bibliográficas
Amann, H. y Escher, J. (2009). Analysis III. First Edition. Birkhäuser Verlag AG, Basel
Athreya, K.B. y Lahiri, S.N. (2006). Measure Theory and Probability Theory. First Edition. New York: Springer-Verlag.
Bogachev, V.I. (2007). Measure Theory. Volume I. First Edition. Berlin: Springer-Verlag
Capinski, M. y Kopp, E. (2004). Measure, Integral and Probability. Second Edition. Berlin: Springer-Verlag
Maccluer, B.D. (2009). Elementary Functional Analysis. First Edition. New York: Springer- Verlag.
Rynne, B.P. y Youngson, M.A. (2008). Linear Functional Analysis. Second Edition. London: Springer-Verlag.
Stein, E.M. y Shakarchi, R. (2005). Real Analysis. Measure Theory, Integration, y Hilbert Spaces. First Edition. New Jersey: Princeton University Pres
