INTRODUCCION

En la teoría del estado sólido, se llaman procesos multifonónicos a las transiciones, en las cuales la energía de la red en un acto cambia en una magnitud, que en muchas veces (a veces en decenas) supera a la energía de un cuánto. Entendiéndose por fonón una excitación elemental, correspondiente a pequeñas oscilaciones de los núcleos cercanos a los nodos de la red cristalina. En la teoría de la conductividad eléctrica de los átomos de semiconductores, la interacción débil se considera como una perturbación, causante de las transiciones entre los estados electrónicos. En este caso, sin embargo, las transiciones multifonónicas han de surgir solamente en las aproximaciones de órdenes superiores de la teoría de perturbación, y poseer poca probabilidad en contradicción a los factores experimentales mencionados anteriormente

En el presente trabajo, se analizan transiciones ópticas y acústicas entre dos niveles electrónicos discretos de un centro local. La probabilidad de absorción y emisión de luz durante las transiciones de

un estado a otro se calcula por los métodos semiclásicos de la teoría de emisión, la cual interpreta el campo de la onda de luz como una frecuencia cíclica . El operador de perturbación se elige como en donde es el momento dipolar efectivo de un centro de absorción que depende de las coordenadas electrónicas, que incluyen las interacciones adicionales de los electrones locales con el cristal, que surgen como consecuencias de la polarización de los electrones fuertemente enlazados con el campo de la onda de luz. La intensidad se puede escribir como (Kun & Rhys A, 1950, Sinba, 1973, Koch & Oppen, 2005)

en donde

y es la función de onda electronica en la aproximaón cero de la teoría de perturbaciones y

Es la integral de transición de un estado del oscilador con coordenada de equilibrio distintas.

MÉTODOS

Mediante un cálculo analítico calcularemos la integral de Condon que representa la amplitud de probabilidad de que un estado oscilatorio pueda pasar a otro con diferente valor de la coordenada de equilibrio, en otras palabras, la transferencia de energía de un modo fonónico a otro. Se utilizarán dos métodos, el de la función de onda del oscilador (método analítico) y el de la representación de vectores de estado (método algebraico) utilizando para ello los operadores de nacimiento y aniquilación de un fonón.

Calculemos esta integral, de gran importancia para explicar los procesos ligados a la absorción por centros que luego emiten radiación fonónica de una alta coherencia. La fórmula (1.2) podría interpretarse como la probabilidad de que un oscilador con función de onda intercambie de estado con otro oscilador, cuya función de onda es . La función de onda tiene la forma

haciendo un cambio de variable y la integral toma la forma

En donde es la norma de los polinomios de Hermite; Con ayuda de la función generatriz para los polinomios de Hermite y utilizando las propiedades de la integral de Cauchy encontraremos una representación integral para los polinomios de Hermite (Lavrentev. 1987, p549)

en donde es la funcion generatriz de los polinomios de Hermite.

Colocando esta representación de los polinomios de Hermite en la integral (1.4), obtenemos

(I.S Gradshteyn and I.M. Ryzhik, 1994). Luego de realizar algunas operaciones algebraicas con los exponentes contenidos en las funciones generatrices de los polinomios se puede integrar por la variable . Considerando que es una integral de tipo gaussiana

es fácil obtener un resultado que permite que una de las integrales de contorno pueda ser calculada por el teorema del residuo

Sustituyendo esta expresión (1.9) y el resultado de la integral gaussiana por la variable en la integral obtenemos.

La función es un binomio de enesima potencia y por eso se puede descomponer en serie

En donde

Colocando (1.11) en (1.10)

Nuevamente utilizando las propiedades de la integral de Cauchy, la integral por el contorno cerrado es fácil de calcular

Finalmente obtenemos que la integral es igual

La serie obtenida no es más que la definición exacta de los polinomios de Laguerre en forma explicita

De tal manera que podemos reescribir

Calculemos la integral de Condon de otra manera, empecemos haciendo el cambio de variable .

Encontremos una expresión explicita para los polinomios con ayuda de la función generatriz

para el caso tenemos

Por otro lado

Haciendo el siguiente cambio de variable en la expresión (20) , cuando tenemos que de tal manera que

Comparando (1.21) con (1.19) por las potencias de , obtenemos una expresión para los polinomios

Colocando esta expresión en (17)

En donde son las funciones de onda de un oscilador, definidas en la expresión (2). Utilizando la escritura de los vectores bra y ket podemos reescribir

Para calcular los elementos matriciales cambiemos las coordenadas reales por su representación a través de los operadores de nacimiento y anihilación para un oscilador armónico.

Entonces

Para calcular los elementos matriciales es necesario encontrar el producto normal de los operadores de nacimiento y anihilación de un fotón, esto se consigue mediante la conocida expresión

obtenemos que

Es fácil ver que al descomponer en serie las funciones exponenciales se reciban series con signos alternos, también es evidente que nos interese solo aquellos productos normales de los operadores de nacimiento y anihilación cuyas potencias sean iguales; sin embargo, los signos alternos se pierden para este tipo de productos normales. Tomando en consideración que para una forma cuadrática es correcta la expresión

Podemos entonces escribir

Por lo que el elemento de matriz se divide en dos partes

Los elementos del segundo miembro de la derecha no tienen sentido físico ya que en ellos se viola la ley de conservación de las partículas

en el campo, puesto que no pueden desaparecer dos o tres fotones y aparecer de la "nada" tres o cuatro respectivamente. Por tal razón no los tomaremos en cuenta. Para calcular el primer término utilicemos el siguiente (Loudon. 1973)

Teorema

Para un producto normal de grado es correcta la ecuación

Demostración

Se sabe que

multiplicando la expresión (1.32) por a la izquierda

con ayuda de (1.33a) transformamos la parte izquierda de la ecuación (1.33b)

Este resultado corresponde a la parte izquierda de la ecuación (1.33b), comparando con (1.32) demostramos la igualdad para los productos por consiguiente también para

Entonces el primer termino de (1.31) que corresponde a los elementos matriciales con productos normales de los operadores, obtenemos aplicando el teorema anterior.

Entonces podemos escribir que

Pero si entonces la suma se rompe y por eso haciendo esto en la expresión (1.24) obtenemos

La integral es diferente de cero solo cuando entonces la suma por m desaparece y

finalmente obtenemos:

En donde la suma en la formula no es más que la forma explícita de los polinomios de Laguerre.

En las siguientes graficas del resultado (1.39), se puede observar que, para valores pequeños de n, ( ) (Ver Fig. 1) el aporte energético de la integral es poco en comparación a valores mayores de n ( ,5) (Ver fig. 2). Por otra parte, se observa el aumento de las veces que la curva corta el plano, que se traduce en la participación de mayores números de modos oscilatorios, aumentando la posibilidad de intercambio entre los modos de oscilación de los centros de absorción.

Fig. 1
Amplitud de transición entre centros. n=0,1,2

Fig. 2
Amplitud de transición entre centros. n=3,4,5

Por último, vemos que la Intensidad tiene el comportamiento típico de un escenario de difracción con el primer máximo central y los otros menores distribuidos a los lados (Ver fig. 3).

Fig. 3
Cuadrado de la amplitud de transición.

Referencias

Lavrentev, M. A & Shabat, B. V. (1987). Method of theory complex function. Moscow. Nauka.

Loudon, R. (1973). The Quantum theory of light. Oxford. Clarendon Press.

Sinba, S. K. (1973) Phonons in semiconductors, C R C Critical Reviews in Solid. State Sciences, 3:3, 273-334

Kun Huang and Rhys A, Proc. Roy. Soc. Load A204, p. 406-423 (1950).

Jens Koch and Felix Von Oppen PRL 94, 206804 (2005)

Gradshteyn, S. and Ryzhik, I. M. Table of Integrals, Series, and Products, 5ed. (Academic Press, New York, 1994)