CREACIÓN DE HERRAMIENTA EN LÍNEA, ÚTIL PARA ABORDAR UN PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA DEL TIPO DIRICHLET

CREATION OF ONLINE TOOL, USEFUL TO HANDLE A DIRICHLET’S BOUNDARY VALUE PROBLEM

Villarreal G., Ramiro A.

Ramiro A. Villarreal G.

ramiro.villarreal@up.ac.pa

Universidad de Panamá Panamá

Tecnociencia

Universidad de Panamá, Panamá

ISSN: 1609-8102

ISSN-e: 2415-0940

Periodicidad: Semestral

vol. 26, núm. 2, 2024

Luis.rodriguez@up.ac.pa

Recepción: 24 Septiembre 2023

Aprobación: 20 Marzo 2024

URL: https://portal.amelica.org/ameli/journal/224/22451182245118004/

DOI: https://doi.org/HTTPS://.ORG/10.48204/J.TECNO.V26N2.A5396

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Resumen: Se programó una herramienta digital para utilizarse en línea y gratuita, a través de la plataforma Geogebra. Dicha herramienta resuelve numéricamente la ecuación de Laplace con valores en la frontera (del tipo Dirichlet) para una malla rectangular de 6×6, en la que 20 valores están en la frontera y 25 valores están en el interior, todos distribuidos de manera uniforme en coordenadas cartesianas. El método numérico utilizado para resolver la ecuación diferencial fue el método de diferencias finitas, en el cual se apreció que, para calcular cada valor del campo escalar “ui,j” dentro de la malla rectangular, se realizó el promedio de los valores adyacente al valor en cuestión, es decir

𝑢𝑖,𝑗

= 𝑢𝑖+1,𝑗+𝑢𝑖,𝑗+1+𝑢𝑖−1,𝑗+𝑢𝑖,𝑗−1

4

Por otro lado, para plantear el grado de aproximación entre el modelo analítico “MA” (la ecuación de Laplace) y el modelo numérico “MD” (método de diferencias finitas) se realizó una expansión en serie de Taylor, hasta el quinto término, de un valor arbitrario “u(x,y)” del campo escalar, con lo que dicho planteamiento llega al siguiente resultado

𝑀𝐴 = 𝑀𝐷 + 𝑇𝐷

En donde el término “TD” es denominado “término de discrepancia”, ya que el mismo marcó la diferencia cuantitativa entre dichos modelos matemáticos. Su forma analítica obtenida fue la siguiente

𝑇𝐷 = − (𝛛4𝑢(𝑥,𝑦) + 𝛛4𝑢(𝑥,𝑦) ℎ2

Importar imagen Importar imagen Importar imagen 𝛛𝑥4

𝛛𝑦4 ) 12

El término “h” representó la forma en que había sido seccionado la malla. Adicional a esto, si el campo escalar variaba de manera suave y las condiciones en la frontera eran homogéneas, se podía obtener una solución general para la ecuación diferencial de Laplace. En dicha solución, se generaron constantes (𝑘, 𝐴, 𝐵, 𝜃) que dependían de las condiciones de frontera, con lo que se desveló, para un sistema físico estable en concreto, la dependencia del TD con el cuadrado de h.

𝑇𝐷 = ℎ2𝑓(𝑘, 𝐴, 𝐵, 𝜃, 𝑥, 𝑦)

Resaltó a la vista, el hecho de que al hacer el término h más pequeño, este término de discrepancia se volvió irrelevante y consecuentemente, ambos modelos, analíticos y numérico, mostraron su aproximación.

Para resolver el sistema lineal de ecuaciones de primer grado, se utilizó la regla de Cramer. Para la creación del algoritmo se utilizó el software Geogebra Clásico, Versión 6.0.801.0, el cual es gratuito. El link para acceder a esta herramienta digital es la dirección web, https://www.geogebra.org/m/rmwrxxsa. El objetivo de la creación de esta herramienta estuvo basado en el estudio de sistemas físicos bajo condiciones de equilibrio o estables, tales como: el flujo térmico estable sobre una lámina conductora, una distribución estática de potencial eléctrico sobre una superficie, una distribución de presión que describe el flujo estable de un fluido, etc.

Palabras clave: Ecuación de Laplace, Dirichlet, sistemas físicos estables, diferencias finitas.

Abstract: A digital tool was programmed to be used online and free, through the Geogebra platform. This tool numerically solves the Laplace equation with values on the boundary (of the Dirichlet type) for a 6×6 rectangular mesh, in which 20 values are on the boundary and 25 values are inside, all distributed uniformly in Cartesian coordinates. The numerical method used to solve the differential equation was the finite difference method, in which it was noted that, to calculate each value of the scalar field “ui,j” within the rectangular mesh, the average of the values adjacent to the value in question, that is

𝑢𝑖,𝑗

= 𝑢𝑖+1,𝑗+𝑢𝑖,𝑗+1+𝑢𝑖−1,𝑗+𝑢𝑖,𝑗−1

4

On the other hand, to establish the degree of approximation between the analytical model “MA” (the Laplace equation) and the numerical model “MD” (finite difference method), a Taylor series expansion was carried out, up to the fifth term, of an arbitrary value “.(x,y)” of the scalar field, with which said approach arrives at the following result

𝑀𝐴 = 𝑀𝐷 + 𝑇𝐷

Where the term “TD” is called “discrepancy term” since it marked the quantitative difference between said mathematical models. Its analytical form obtained was the following

𝑇𝐷 = − (𝛛4𝑢(𝑥,𝑦) + 𝛛4𝑢(𝑥,𝑦) ℎ2

𝛛𝑥4

𝛛𝑦4 ) 12

The term “.” represented the way the mesh had been sectioned. In addition to this, if the scalar field varied smoothly and the boundary conditions were homogeneous, a general solution to the Laplace differential equation could be obtained. In this solution, constants (𝑘, 𝐴, 𝐵, 𝜃) were generated that depended on the boundary

conditions, which revealed, for a specific stable physical system, the dependence of the TD on the square of ..

𝑇𝐷 = ℎ.𝑓(𝑘, 𝐴, 𝐵, 𝜃, 𝑥, 𝑦)

It clearly highlighted the fact that by making the term h smaller, this discrepancy term became irrelevant and consequently, both models, analytical and numerical, showed their approximation.

To solve the linear system of first degree equations, Cramer's rule was used. To create the algorithm, the Geogebra Classic software, Version 6.0.801.0, which is free, was used. The link to access this digital tool is the web address, https://www.geogebra.org/m/rmwrxxsa. The objective of the creation of this tool was based on the study of physical systems under equilibrium or stable conditions, such as: stable thermal flow over a conductive sheet, a static distribution of electrical potential on a surface, a pressure distribution that describes the stable flow of a fluid, etc.

Keywords: Laplace equation, Dirichlet, stable physical systems, finite differences.

INTRODUCCIÓN

Los sistemas físicos, en estado estable (Espinoza 2003), se caracterizan por tener una distribución de valores o magnitudes físicas (por ejemplo: temperatura, presión, potencial eléctrico, etc.) que no varían en el tiempo. Si se analiza una parte (en el espacio) de este tipo de sistemas en la que no incluya, ni fuentes ni sumideros, la ecuación de Laplace puede modelar este fenómeno físico de manera completa (Segundo 2010). Al tratarse de una ecuación diferencial parcial elíptica (Pacheco et. al. 2018), la solución de la misma debería estar asociada a un campo o un potencial (depende del sistema) correspondiente a las magnitudes físicas antes mencionadas. Sin embargo, hay casos en los que debido a las características del sistema o para evitar medir de manera invasiva, solo se pueden obtener datos de las fronteras de dicho sistema, pero el interés también está enfocado en conocer su comportamiento interno. Todo lo anterior describe un problema de valores en la frontera (Zill & Cullen 2009). Por otro lado, la forma en que se miden u obtienen los valores en dichos límites externos, también define el tipo de problema de valor en la frontera. Por ejemplo, al plantear la ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares en dos dimensiones,

Importar imagen Importar imagen𝛛2𝑢 + 𝛛2𝑢 = 0 (1)

𝛛𝑥2 𝛛𝑦2

Tal que, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) (2)

Como se mencionó anteriormente, el hecho de no haber ni fuentes ni sumideros, lleva a plantear, sin lugar a duda, el carácter continuo de la función “u”. Por lo que se puede conocer, sin ambigüedad, valores de “u” en las fronteras. Un tipo de problema en la frontera en que solo se conocen valores de “u” ( 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ) en los límites externos, es denominado

“problema de Dirichlet” (Nakamura 1992). Sin embargo, si se tiene información acerca de cómo cambia esta función “u” con respecto a algunas de estas variables espaciales (¶u/¶x=g(x,y) o ¶u/¶y=h(x,y)), en algunos lugares de la frontera, entonces este tipo de problema es denominado “problema de Neumann” (Nakamura 1992). El interés de este artículo se basa en crear una herramienta en línea, la cual, haga el planteamiento del problema con valores en la frontera del tipo Dirichlet en dos dimensiones, para el mismo ser resuelto por algún método numérico, de modo que se pueden ingresar dichos valores en la frontera y el mismo, calcule y muestra los valores de “u” en el interior del sistema físico en condiciones estables. Vale la pena mencionar que los usos de esta herramienta pueden ser tanto académicos como investigativos, dependiendo, si el mismo se adapta a los parámetros impuestos por los profesores o investigadores.

MATERIALES Y MÉTODOS

Ecuaciones de diferencias

Para resolver la ecuación diferencial parcial, por métodos numéricos, se utilizó el método de diferencias finitas (Pérez & Gutiérrez 2001), ya que dispone de numerosos métodos de solución eficientes, fáciles de vectorizar, por lo que se adapta a la simetría cartesiana (Nakamura 1992), también debe hacerse énfasis, en que el método usado fue directo no iterativo.

Ahora bien, posterior a plantear las expresiones (1) y (2), se procedió a realizar las segundas derivadas parciales utilizando diferencias centrales (Zill & Cullen 2009). Debe tenerse presente que este método es válido en este modelo, debido al hecho de que “𝑢(𝑥, 𝑦)” se definió continua y por ende, los límites por la izquierda y por la derecha convergen, así como también sus primeras derivadas (Stewart 2002).

Como primer paso, se calculó las primeras derivadas con el método de incrementos

Importar imagen Importar imagen𝛛𝑢 = lim 𝑢(𝑥+ℎ,𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)

(3)

𝛛𝑥

ℎ→0 ℎ

Importar imagen Importar imagen𝛛𝑢 = lim 𝑢(𝑥,𝑦+ℎ)−𝑢(𝑥,𝑦)

(4)

𝛛𝑦

ℎ→0 ℎ

Finalmente, se complementó el método de diferencias centrales

𝛛 𝛛𝑢

Importar imagen Importar imagen(

[𝑢(𝑥+ℎ,𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)]−[𝑢(𝑥+ℎ−ℎ,𝑦)−𝑢(𝑥−ℎ,𝑦)]

) = lim ℎ ℎ

(5)

𝛛𝑥

𝛛

𝛛𝑥

𝛛𝑢

ℎ→0

ℎ

[𝑢(𝑥,𝑦+ℎ)−𝑢(𝑥,𝑦)]−[𝑢(𝑥,

Importar imagen Importar imagen( ) = lim ℎ ℎ (6)

𝛛𝑦

𝛛𝑦

ℎ→0 ℎ

Con lo cual se obtuvo

Importar imagen Importar imagen𝛛2𝑢 = lim 𝑢(𝑥+ℎ,𝑦)−2𝑢(𝑥,𝑦)+𝑢(𝑥−ℎ,𝑦)

(7)

𝛛𝑥2

ℎ→0 ℎ2

Importar imagen Importar imagen𝛛2𝑢 = lim 𝑢(𝑥,𝑦+ℎ)−2𝑢(𝑥,𝑦)+𝑢(𝑥,𝑦−ℎ)

(8)

𝛛𝑦2

ℎ→0 ℎ2

Al Reemplazarse los resultados (7) y (8) en la expresión (1), pero teniendo en cuenta al límite de “h”, se obtuvo lo siguiente

Importar imagen Importar imagen𝑢(𝑥+ℎ,𝑦)−2𝑢(𝑥,𝑦)+𝑢(𝑥−ℎ,𝑦) + 𝑢(𝑥,𝑦+ℎ)−2𝑢(𝑥,𝑦)+𝑢(𝑥,𝑦−ℎ) = 0 (9)

ℎ2 ℎ2

Multiplicando la expresión (9) por “h2”

𝑢(𝑥 + ℎ, 𝑦) + 𝑢(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 4𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑢(𝑥 − ℎ, 𝑦) + 𝑢(𝑥, 𝑦 − ℎ) = 0 (10)

Y al discretizar “h”, se puede manejar los diferentes valores de “u” con subíndices de la siguiente forma

𝑢𝑖+1,𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗+1 − 4𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑖−1,𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗−1 = 0 (11)

Para darle una mejor interpretación a la expresión (11), se construyó la siguiente malla 6×6 (figura 1). En dicha malla, los valores en color turquesa representan los valores que toma la función “u” en las regiones que no son fronteras del sistema. Por consiguiente, los valores en color amarillo representan los valores que toma la función “u” en las fronteras de dicho sistema físico. Por otro lado, se tomó la expresión (11) y se reacomodó de la siguiente forma

𝑢𝑖,𝑗

= 𝑢𝑖+1,𝑗+𝑢𝑖,𝑗+1+𝑢𝑖−1,𝑗+𝑢𝑖,𝑗−1

4

(12)

Aquí, se realizó el ajuste 𝑖 = 1, 2, … , 5 y 𝑗 = 1, 2, … , 5 (13)

Se puede apreciar que para calcular un valor interior “ui,j” en la malla, el procedimiento es equivalente a calcular el promedio de los valores adyacentes más cercanos a dicho punto “ui,j” (Zill & Cullen 2009).

Figura 1.
La malla 6×6 representa los valores de la función “u” en una distribución discreta y uniforme.

sf

Con objetivo de mostrar la malla de la figura 1 más simple a la vista, se presenta la misma de la siguiente forma.

Figura 2.
Malla de la figura 1 mostrada de forma más simple.

sf

Al haber 25 puntos interiores, se obtienen 25 ecuaciones algebraicas de primer grado linealmente independientes, definidas por la expresión (11). Dichas ecuaciones generan el siguiente sistema matricial (Poole 2011)

sn

sf

Este sistema fue resuelto utilizando la regla de Cramer (Poole 2011).

Programación en Geogebra

Se programó con el software descargable y gratuito “Geogebra Classic”, Versión 6.0.801.0. Primero se definió el conjunto de variables

{𝑎𝑖, 𝑏𝑖, 𝑐𝑖, 𝑑𝑖, 𝑢𝑖,𝑗}

Con los valores discretos impuestos en (13) para “i” y “j”, se pueden definir todas igual a cero inicialmente. Por otro lado, para el ingreso dinámico de los datos correspondientes a las fronteras, se utilizó la herramienta de Geogebra “Casilla de Entrada”. Adicional a esto, se ajustó la configuración de redondeo a cuatro dígitos después del punto decimal, esto, con el objetivo de mostrar, como mínimo, unas diez mil partes de la unidad de medida en cuestión (Ríos et al. (2000)).

Para la formación de las matrices durante el ingreso de datos, se utilizó el siguiente comando con llaves

Matriz = {{Fila-1}, {Fila-2}, {Fila-3}, …, {Fila-n}}

Cada fila debe tener “n” valores (Poole 2011) y separados por coma. Para el cálculo de las determinantes se utilizó el siguiente comando

Determinante (Matriz)

El programa utiliza la fórmula de Leibniz para calcular determinantes y posteriormente, este valor es almacenado en una variable que genera el software automáticamente. Como ya se mencionó, utilizando la regla de Cramer, se calculó los valores interiores del sistema estable, para lo cual fue necesario dichos valores generados automáticamente. Finalmente, se diseñó el siguiente formato de presentación para esta herramienta en línea.

Figura 3.
Diseño o formato de presentación de esta herramienta en línea.

sf

Término de discrepancia entre el modelo analítico y el modelo numérico

Las expresiones (7), (8) y (11) generaron suspicacia, esto, debido al hecho de que inicialmente se planteó “h” como una variable continua y tendiente a cero, pero posteriormente se adapta el resultado final a una malla, la cual, es de carácter discreto (Méndez et. al. 2015). Por lo que se supuso un factor o término que defina la equivalencia o igualdad, entre la ecuación analítica (expresión 1) y la ecuación en diferencias (expresión 11). Según Solorza et. al. (2009), este término se puede visualizar utilizando una expansión en serie de Taylor, de la siguiente forma. Primero se planteó dicha expansión de la función “𝑢(𝑥, 𝑦)” de manera parcial, es decir, se buscó la convergencia alrededor del punto “x0” con “y” constante, para después buscar la convergencia alrededor del punto “y0” con “x” constante, lo que sería

14

14

En donde se hizo el siguiente ajuste de variable

15

El término TD es un factor que construye la aproximación de la ecuación en diferencias finitas a la ecuación de Laplace (Solorza et. al. (2009)). Se supone que, si “h” tiende a cero, entonces ambos términos de la derecha en la expresión (31), también deben tender a cero. Para analizar el comportamiento de dicho término de discrepancia, se utilizó el primer término no nulo de esta serie de potencias, lo que sería

Para esta configuración se impuso

ℎ = 1/6 Þ 0 ≤ 𝑖 ≤ 6 0 ≤ 𝑗 ≤ 6 (39)

Con el objetivo de hacer una representación cuantitativa del comportamiento del término de discrepancia sobre toda la malla, se procedió a realizar mapas de contorno con la ayuda del software Surfer versión 13.6.618, en el cual se ajustó los parámetros mencionados de la siguiente forma

Figura 4.
Con este ajuste el término de discrepancia varía en un rango entre -0,75 y 0,4.

sf

Tabla 1
Ajuste No. 1

sf

Figura 5.
Con este ajuste el término de discrepancia varía en un rango entre -0,145 y 0,005.

sf

Tabla 2
Ajuste No. 2

sf

Figura 6.
Con este ajuste el término de discrepancia varía en un rango entre -0,044 y -0,006.

sf

Figura 7.
Con este ajuste el término de discrepancia varía en un rango entre -0,018 y -0,0055.

sf

Reporte de la regresión plana del tipo: Z = αX + βY + γ

sf

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Se programó una herramienta en línea y gratuita, en la plataforma Geogebra. La cual está disponible en el siguiente link https://www.geogebra.org/m/rmwrxxsa. Esta herramienta resuelve la ecuación de Laplace por método directo, no por método iterativo, lo que ahorra mucha más memoria (Nakamura 1992). El sistema físico estable a tratar debe abordarse en coordenadas cartesianas. Por otro lado, se deben introducir 20 valores en la frontera para calcular 25 valores en el interior de dicho sistema físico. En la expresión (12), se aprecia que para calcular cada valor interior se recurre al valor promedio de los valores adyacentes más cercanos a dicho punto interior. Por lo que las proximidades entre los puntos afectan la veracidad de los valores calculados (Bayron et. al. 2006). Por consiguiente, el tamaño de la malla está relacionado con la precisión de los valores interiores calculados, ya que en la ecuación (31) se planteó un término de discrepancia TD que influye en la aproximación de la ecuación en diferencias que representa a la ecuación de Laplace. Tal como se aprecia en la

expresión (33), dicho término está en función del parámetro “h” y de la derivada parcial de orden cuatro de la función “u”, la cual representa al sistema físico. Se pudo notar que, si la función “u” cambia de manera suave, el TD depende en gran parte del parámetro “h”. Sin embargo, con el objetivo de hacer más explícito el comportamiento del TD bajo las condiciones impuestas en el sistema discreto y tomando en cuenta la solución general de la ecuación de Laplace, se pudo apreciar, a través de una gráfica de barras (figura 8), cómo varía dicho término de discrepancia al variar el parámetro k, esto, unificando los resultados mostrados en los ajustes 1, 2, 3 y 4 e introducidos en la tabla 5.

Tabla 5
Valores máximos y mínimos tomados por el término de discrepancia en función de los valores correspondientes del parámetro k

sf

Figura 8.
Valores máximo y mínimo del TD vs valores del parámetro k.

sf

CONCLUSIONES

Esta herramienta en línea proyecta un uso de carácter académico o investigativo. Sin embargo, tiene que haber una correspondencia entre las limitaciones de este simulador y los parámetros o condiciones impuestos por un profesor o un investigador para el estudio de un sistema físico estable. En este caso, fácilmente se pudo apreciar que mientras el parámetro “h” sea menor, el término de discrepancia se irá reduciendo, de manera que mejora la aproximación del método numérico. Por otro lado, existen ventajas siempre que se utilicen simuladores, ya que utilizar directamente medidores en algunos casos acarrea un método invasivo al sistema o un alto costo en equipos. Resulta evidente que el carácter discreto de las soluciones numéricas limita el conocimiento total del sistema, ya que los sistemas físicos son de carácter continuo en la distribución de sus valores, en la mayoría de los casos (Tifa De Jesús & Toribio, J. 2021). Pero hay algunos casos, en que el conocimiento de algunos valores particulares del sistema físico, ayudan a describir la forma en que deben abordarse los mismos para su estudio más adecuado.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Nakamura, S. (1992). Métodos Numéricos Aplicados con Software. Prentice-Hall. México.

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Stewart, J. (2002). Cálculo. Trascendentes tempranas. Cuarta Edición. Editorial Thomson Learning.

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Zill, D. G., Cullen, M. R., (2009). Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. Séptima edición. Editorial CENGAGE Learning.