FUNCIONES CLASE UNO DE BAIRE

FUNCTIONS OF BAIRE CLASS ONE

Hernández U., Jorge E.; Franco, Ángela Y.

Jorge E. Hernández U.

jorgeelizerhernandezurieta@gmail.com

Universidad de Panamá Panamá

Ángela Y. Franco

angela.franco@up.ac.pa

Universidad de Panamá, Panamá

Tecnociencia

Universidad de Panamá, Panamá

ISSN: 1609-8102

ISSN-e: 2415-0940

Periodicidad: Semestral

vol. 26, núm. 1, 2024

Luis.rodriguez@up.ac.pa

Recepción: 20 Junio 2023

Aprobación: 24 Octubre 2023

URL: https://portal.amelica.org/ameli/journal/224/22448802244880010/

DOI: https://doi.org/10.48204/j.tecno.v26n1.a4661

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Resumen: Sea {𝑓𝑛}𝑛=1∞, una sucesión de funciones continúas definidas en un intervalo Ι que converge puntualmente a la función 𝑓 en Ι. Es bien conocido que la función 𝑓 puede o no ser continua en Ι. Sin embargo, la función 𝑓 posee algunas propiedades interesantes. El propósito de este artículo es usar esta idea para definir las funciones clase uno de Baire, estudiar sus propiedades algebraicas y probar que el límite uniforme de una sucesión de funciones de clases uno de Baire es también una función clase uno de Baire.

Palabras clave: Continuidad, sucesión de funciones continuas, convergencia puntual, convergencia uniforme, funciones clase uno de Baire.

Abstract: Let {𝑓𝑛}𝑛=1∞, be a sequence of continuous functions defined on an interval Ι that converges pointwise to the function 𝑓 on Ι. It is well known that the function 𝑓 could be continuous or not Ι. However, thefunction 𝑓 have some interesting properties. The purpose of this article is to use this idea in order to define the Baire class one functions, study their algebraic properties and prove that the uniform limit of a sequence of Baire class one functions is also a Baire class one function.

Keywords: Continuity, sequence of continuous functions, pointwise convergence, uniform convergence, Baire class one functions.

INTRODUCCIÓN

El siguiente teorema es un resultado bien conocido en la teoría del análisis real (Barthle, 2014; Rudin, 2016).

Teorema 1 (Convergencia Uniforme y Continua): Sea

una sucesión de funciones definidas en un intervalo Ι, 𝑐 ∈ Ι y 𝑓: Ι → ℝ. Suponga que la sucesión

converge uniformemente a 𝑓 en Ι. Si cada función 𝑓𝑛 es continua en 𝑐, entonces

𝑓 es continua en 𝑐. Por lo tanto, si cada función 𝑓𝑛 es continua en Ι, entonces 𝑓 es continua en Ι.

La pregunta es qué ocurre si la sucesión de funciones {𝑓𝑛}∞ converge sólo puntualmente a 𝑓 en Ι. El siguiente ejemplo muestra que la convergencia uniforme es una condición necesaria para que se satisfaga el Teorema 1.

Ejemplo 1: Sea

la sucesión de funciones continúas definidas en el intervalo

Ι = [0,1] por

Note que

Así pues, la sucesión de funciones {𝑓𝑛}∞ converge puntualmente a la función 𝑓 en Ι,

donde

Note que 𝑓 no es continua en Ι = [0,1] y no satisface la propiedad del valor intermedio.

En conclusión, el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas es continuo, pero el límite puntual de una sucesión de funciones continuas puede no ser continuo. Sin embargo, las funciones que son límites puntuales de sucesiones de funciones continuas tienen propiedades muy importantes, las cuales se investigarán en este artículo. En particular, se investigará si las funciones clase uno de Baire posee puntos de continuidad.

FUNCIONES CLASE UNO DE BAIRE

Definición 1: Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ una función. 𝑓 es una función de clase uno de Baire si 𝑓 es el límite puntual de una sucesión de funciones continúas definidas en [𝑎, 𝑏]

Ejemplo 2: La función 𝑓: [0,1] ⟶ ℝ definida por

es una función clase uno de Baire, la cual no es continua en [0,1].

Ejemplo 3: Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ una función continua. Considere la sucesión de funciones

definidas en [𝑎, 𝑏] por

Luego

es una sucesión de funciones continuas en [𝑎, 𝑏] que converge puntualmente a 𝑓 en [𝑎, 𝑏]. Por lo tanto, 𝑓 es una función clase uno de Baire.

Ejemplo 4: Sea 𝑓: [𝑎,

Luego,

es una sucesión de funciones continúas definidas en [𝑎, 𝑏]. Además

Así pues,

es una sucesión de funciones continuas que converge puntualmente a 𝑓´ en [𝑎, 𝑏]. Por consiguiente, 𝑓´ es una función clase uno de Baire en [𝑎, 𝑏].

En el siguiente teorema se presentan las propiedades algebraicas de las funciones clase uno de Baire

Teorema 2: Sean 𝑓 y 𝑔 funciones de clase uno de Baire en [𝑎, 𝑏]

i. 𝐾𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎, 𝑏], donde 𝐾𝜖ℝ.

ii. 𝑓 + 𝑔 es una función clase uno de Baire en [𝑎, 𝑏].

iii. 𝑓𝑔 es una función clase uno de Baire en [𝑎, 𝑏].

Demostración:

i. Como 𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏], existe una sucesión de funciones continuas

definidas en [𝑎,𝑏] que converge puntualmente a 𝑓 en [𝑎,𝑏]. Sea ℎ𝑛=𝐾𝑓𝑛, entonces

es una sucesión de funciones continúas definidas en [𝑎,𝑏] que converge puntualmente a 𝐾𝑓 en [𝑎,𝑏]. Por consiguiente 𝐾𝑓 es una función clase uno de Baire.

ii. Sean

y

dos sucesiones de funciones continúas definidas en [𝑎,𝑏] que convergen puntualmente a 𝑓 y 𝑔, respectivamente, en [𝑎,𝑏]. Luego

es una sucesión de funciones continúas definidas en [𝑎,𝑏] y que converge puntualmente a 𝑓+𝑔 en [𝑎,𝑏]. Por lo tanto, 𝑓+𝑔 es unas funciones clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

iii. Esta demostración es similar a la (ii).

Teorema 3: Sea 𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎, 𝑏] y ℎ: ℝ ⟶ ℝ es una función continua en ℝ. Entonces ℎ𝑜𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎, 𝑏].

Demostración:

Sea

una sucesión de funciones continuas en [𝑎,𝑏] que converge puntualmente a 𝑓 en [𝑎,𝑏]. Luego,

es una sucesión de funciones continúas definidas en [𝑎,𝑏]. Además, como ℎ es continua en [𝑎,𝑏], para cada 𝑥𝜖[𝑎,𝑏], se tiene que

Por lo tanto, la sucesión de funciones continuas,

converge puntualmente a ℎ𝜊𝑓 en [𝑎,𝑏]. Así pues, ℎ𝜊𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Notación: El conjunto de las funciones clase uno de Baire definidas en el intervalo [𝑎,𝑏] se denota por 𝐵1. Así

Del Ejemplo 3 se tiene que 𝒞 ([𝑎,𝑏],ℝ) ⊊ 𝐵1, donde 𝒞 ([𝑎,𝑏],ℝ) es el conjunto de las funciones continúas definidas en [𝑎,𝑏].

Teorema 4: Sea 𝑓: [𝑎,𝑏]⟶ℝ una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏] y suponga que existe un 𝑀>0 tal que

Entonces, existe una sucesión de funciones continuas

definidas en [𝑎,𝑏] que converge puntualmente a 𝑓 en [𝑎,𝑏] y tal que

Demostración:

Sea

una sucesión de funciones continuas definidas en [𝑎,𝑏] que converge puntualmente a 𝑓 en [𝑎,𝑏]. Para cada 𝑛𝜖ℕ defina la función 𝑓𝑛:[𝑎,𝑏]⟶ℝ por

Sea 𝑥𝜖[𝑎,𝑏]. Si 𝑔𝑛(𝑥)<−𝑀, entonces como 𝑓 es continua en 𝑥, existe un 𝛿>0 tal que 𝑔𝑛(𝑦)<−𝑀, para todo 𝑦𝜖(𝑥−𝛿, 𝑥+𝛿) ∩[𝑎,𝑏]. Por lo tanto, 𝑓𝑛(𝑦)=−𝑀 para todo 𝑦𝜖(𝑥−𝛿, 𝑥+𝛿) ∩[𝑎,𝑏]; lo cual implica que 𝑓𝑛 es continua en 𝑥. El mismo resultado se obtiene si 𝑔𝑛(𝑥)>𝑀. Suponga que |𝑔𝑛(𝑥)|<𝑀. Luego, como 𝑔𝑛 es continua en 𝑥, existe un 𝛿>0 tal que |𝑔𝑛(𝑥)|<𝑀 para todo 𝑦𝜖(𝑥−𝛿, 𝑥+𝛿) ∩[𝑎,𝑏]. Por lo tanto 𝑓𝑛(𝑦)=𝑔𝑛(𝑦) para todo 𝑦𝜖(𝑥−𝛿, 𝑥+𝛿) ∩[𝑎,𝑏]. Como 𝑔𝑛 es continua en 𝑥, se tiene que 𝑓𝑛 es continua en 𝑥. Suponga que 𝑔𝑛(𝑥)=−𝑀. Sea

Como 𝑔𝑛 es continua en 𝑥, existe un 𝛿>0 tal que

Por consiguiente, 𝑓𝑛 es continua en 𝑥.

El mismo resultado se obtiene si 𝑔𝑛(𝑥)=𝑀.

En conclusión, se tiene que 𝑓𝑛 es continua en [𝑎,𝑏], para todo 𝑛≥1. Así,

es una sucesión de funciones continúas definidas en [𝑎,𝑏] y tal que |𝑓𝑛(𝑥)|≤𝑀, para todo 𝑥𝜖[𝑎,𝑏] y 𝑛≥1.

Sea 𝑥𝜖[𝑎,𝑏], entonces por hipótesis |𝑓(𝑥)|≤𝑀

 Suponga que |𝑓(𝑥)|<𝑀. Como

Se tiene que existe un 𝑁1≥1 tal que |𝑔𝑛(𝑥)|<𝑀, para todo 𝑛≥𝑁1. Esto implica que

 Si 𝑓(𝑥)=−𝑀, entonces

Luego existe un 𝑁1≥1 tal que 𝑓𝑛(𝑥)=𝑔𝑛(𝑥) ó 𝑓𝑛(𝑥)=−𝑀, para todo 𝑛≥𝑁₁. Por lo tanto,

Así pues

es una sucesión de funciones continuas convergente puntualmente a 𝑓 en [𝑎,𝑏] tal que cada 𝑓𝑛 es acotado por 𝑀.

Teorema 5: Sea

una sucesión de funciones clase uno de Baire en [𝑎,𝑏] y sea

una serie de números reales positivos convergentes. Si |𝑓𝑛(𝑥)|≤𝑀𝑛 para todo 𝑛≥1 y 𝑥𝜖[𝑎,𝑏], entonces la función

es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Demostración:

Por el M-test de Weierstrass (Bressoud, 2007; Schramm, 2008), la función 𝑓 está bien definida en [𝑎,𝑏]. Para cada 𝑛≥1 existe una sucesión

de funciones continuas que converge puntualmente a 𝑓𝑛 en [𝑎,𝑏]. Por el Teorema 4 se puede suponer que

para todo 𝑚≥1 y 𝑥𝜖[𝑎,𝑏]. Para cada 𝑛≥1 defina la función

Por consiguiente, la sucesión

converge puntualmente a 𝑓(𝑥) en [𝑎,𝑏]. Esto implica que 𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Teorema 6: Sea

una sucesión de funciones clase uno de Baire en [𝑎,𝑏], si

converge uniformemente a 𝑓 en [𝑎,𝑏], entonces 𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Demostración:

Como

converge puntualmente a 𝑓 en [𝑎,𝑏], existe un número natural 𝑛₁ tal que

De igual manera existe un número natural 𝑛₂>𝑛1 tal que

Luego, por el Teorema 5, 𝑓−𝑓𝑛1 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏]. Finalmente, por el Teorema 2, la función 𝑓=(𝑓−𝑓𝑛1 )+𝑓𝑛1 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏]

Ejemplo 5: Sea

la sucesión de funciones definidas en el intervalo [0,1] por

Por lo tanto, 𝑓 es una función clase uno de Baire en [0,1]; sin embargo 𝑓 no es acotada en [0,1].

Teorema 7: Sea 𝑓: [𝑎,𝑏]⟶ℝ una función continua en (𝑎,𝑏] (respectivamente en [𝑎,𝑏)). Entonces 𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Demostración:

Sea 𝑁 un número natural tal que

Para cada número natural 𝑛≥𝑁 defina la función 𝑓𝑛:[𝑎,𝑏]⟶ℝ

Note que

es una sucesión de funciones continúas definidas en [𝑎,𝑏] que converge puntualmente a 𝑓 en [𝑎,𝑏]. Por lo tanto, 𝑓 es una función clase uno de Baire.

El caso [𝑎,𝑏) se prueba de manera similar.

Teorema 8: Sean 𝑓: [𝑎,𝑐]⟶ℝ y 𝑔: [𝑐,𝑏]⟶ℝ funciones clase uno de Baire en [𝑎,𝑐] y [𝑐,𝑏], respectivamente tales que 𝑓(𝑐)=𝑔(𝑐). Considere la función ℎ: [𝑎,𝑏]⟶ℝ definida por

Entonces ℎ es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏]

Demostración:

Existe una sucesión de funciones continuas

definidas en [𝑎,𝑐] tal que

De igual manera, existe una sucesión de funciones continuas

definidas en [𝑐,𝑏] tal que

Sea 𝑁 un número natural tal que

Para cada número natural 𝑛≥𝑁 defina la función ℎ𝑛: [𝑎,𝑏]⟶ℝ por

Note que

es una sucesión de funciones continuas definidas en [𝑎,𝑏] y

 Si 𝑎≤𝑥≤𝑐, entonces

Así pues, ℎ es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Teorema 9: Sea 𝑐𝜖(𝑎,𝑏) y ℎ: [𝑎,𝑏]⟶ℝ una función continua en [𝑎,𝑏]−{𝑐}. Entonces, ℎ es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Demostración:

Sea 𝑓: [𝑎,𝑐]⟶ℝ la restricción de ℎ a [𝑎,𝑐] y 𝑔: [𝑐,𝑏]⟶ℝ la restricción de ℎ a [𝑐,𝑏]. Por lo tanto 𝑓 es continua en [𝑎,𝑐) y 𝑔 es continuas (𝑐,𝑏]. Luego, por el Teorema 7, 𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑐] y 𝑔 es una función clase uno de Baire en [𝑐,𝑏].

Note que

por consiguiente, por el Teorema 8, ℎ es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Como una consecuencia de los Teoremas 7,8,9 se obtiene el siguiente resultado

Teorema 10: Sea 𝑓: [𝑎,𝑏]⟶ℝ una función y 𝐷𝑐(𝑓)={𝑥𝜖[𝑎,𝑏]/ 𝑓 es discontinua en 𝑥}. Si 𝐷𝑐(𝑓) es finito, entonces, 𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Demostración:

Solo hay que aplicar los Teoremas 7,8,9 repetitivamente.Ejemplo 6: Recuerde que una función 𝑓: [𝑎,𝑏]⟶ℝ es una función escalonada si existe un conjunto finito { 𝐽𝑘: 1≤𝑘≤𝑛} de intervalos disjuntos, posiblemente degenerados, tal que [𝑎,𝑏]=⋃𝐽𝑘𝑛𝑘=1 y, 𝑓 es constante en cada 𝐽𝑘.

Como 𝐷𝑐(𝑓) es un conjunto finito, por el Teorema 10, 𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Ejemplo 7: Considere la función de Johannes Thomae (Dunham,2005) 𝑓: [0,1]⟶ℝ definida por

Se sabe que 𝐷𝑐(𝑓)=ℚ∩(0,1], el cual es un conjunto infinito enumerable. Así, se puede escribir

Para cada número natural 𝑛 defina la función 𝑓𝑛:[0,1]⟶ℝ por

Note que 𝐷𝑐(𝑓𝑛) ={𝑟₁,𝑟₂,,…,𝑟𝑛}. Luego, por el Teorema 10 𝑓𝑛 es una función clase uno de Baire en [0,1]. Se probará que la sucesión de funciones

converge uniformemente a 𝑓 en [0,1]. En efecto, sea 𝜀>0. Luego, por la propiedad arquimedeana existe un número natural 𝑁1 tal que

Luego, por la propiedad arquimedeana existe un número natural 𝑁₁ tal que

Sólo hay un número finito de números racionales con denominadores menores que 𝑁₁. Por lo tanto, existe un número natural 𝑁>𝑁₁ tal que

 Si 𝑥=0, entonces 𝑓(𝑥)=𝑓(0)=𝑓𝑛(0)=0 para todo 𝑛≥1. Por lo tanto

|𝑓𝑛(𝑥)−𝑓(𝑥)|=0<𝜀, para todo 𝑛𝜖ℕ

 Si 𝑥𝜖[0,1]−ℚ, entonces 𝑓𝑛(𝑥)=𝑓(0)=0 para todo 𝑛≥1. Por lo tanto|

𝑓𝑛(𝑥)−𝑓(𝑥)|=0<𝜀, para todo 𝑛𝜖ℕ

 Supongamos que 𝑥𝜖ℚ∩(0,1]. Entonces, existe un 𝑘𝜖ℕ tal que 𝑥=𝑟𝑘. Luego, si 𝑛≥𝑁 se tiene que

𝑓𝑛(𝑥)=𝑓𝑛(𝑟𝑘)= 𝑓(𝑟𝑘)= 𝑓(𝑥), si 𝑘≤𝑛

Si 𝑘>𝑛, entonces

Lo que implica que la sucesión de funciones clase uno de Baire

converge uniformemente a 𝑓 en [0,1]. Finalmente, por el Teorema 6, 𝑓 es una función clase uno de Baire en [0,1].

Observación: Si en lugar de definir 𝑓(0)=0 en el Ejemplo 7, se define 𝑓(0)=𝑝,𝑝𝜖ℝ, 𝑝≠0. Entonces

𝐷𝑐(𝑓)=ℚ∩[0,1] y 𝐷(𝑓)=Ι𝑟∩[0,1]

y 𝑓 es una función clase uno de Baire en [0,1]. La demostración es prácticamente igual a la del Ejemplo 7.

Ejemplo 8: Sea 𝐸 un subconjunto cerrado, nunca denso (o sea que 𝐸=𝐸̅ no contiene intervalos abiertos) del intervalo [

donde los intervalos (𝑎𝑛,𝑏𝑛) son disjuntos dos a dos.

Para cada 𝑛𝜖ℕ tome

y sea {𝑧𝑛} una sucesión de números reales.

Defina la función 𝑓: [𝑎,𝑏]⟶ℝ por

Note que 𝑎𝑛,𝑏𝑛𝜖𝐸, para todo 𝑛𝜖ℕ. Por lo tanto, 𝑓(𝑎)=𝑓(𝑎𝑛)=𝑓(𝑏𝑛)=𝑓(𝑏)=0, para todo 𝑛𝜖ℕ. Luego, por la definición de 𝑓, se tiene que |𝑓(𝑥)|≤|𝑓(𝑐𝑛)|=|𝑧𝑛| para todo 𝑥𝜖(𝑎𝑛,𝑏𝑛). Además, 𝑓(𝑥)>0 para todo 𝑥𝜖(𝑎𝑛,𝑏𝑛) si 𝑧𝑛>0; 𝑓(𝑥)<0 para todo 𝑥𝜖(𝑎𝑛,𝑏𝑛) si 𝑧𝑛<0 y 𝑓(𝑥)=0 para todo 𝑥𝜖[𝑎𝑛,𝑏𝑛] si 𝑧𝑛=0.

Sean 𝑐,𝑑𝜖[𝑎,𝑏] tal que 𝑓(𝑐)<𝑘<𝑓(𝑑).

Supongamos que 𝑐𝜖𝐸, entonces 𝑓(𝑐)=0<𝑘<𝑓(𝑑). Esto implica que 𝑑∉𝐸; por lo tanto, existe un 𝑛𝜖ℕ tal que 𝑑𝜖(𝑎𝑛,𝑏𝑛). Luego, 𝑓(𝑎𝑛)=0<𝑘<𝑓(𝑑). Por la definición de 𝑓, se tiene que 𝑓(𝑎𝑛)=0<𝑘<𝑓(𝑑)≤𝑓(𝑐𝑛)=𝑧𝑛. Por la linealidad de 𝑓 en [𝑎𝑛,𝑐𝑛], se tiene que existe un 𝑥𝜖(𝑎𝑛,𝑐𝑛) tal que 𝑓(𝑥)=𝑘.

Igual resultado se obtiene si 𝑑𝜖𝐸. Así que suponga que 𝑐,𝑑∉𝐸. Luego existen 𝑚,𝑛𝜖ℕ tal que 𝑐𝜖(𝑎𝑚,𝑏𝑚) y 𝑑𝜖(𝑎𝑛,𝑏𝑛).

 Si 𝑧𝑚=0, entonces 𝑓(𝑐)=0=𝑓(𝑎𝑛)<𝑘<𝑓(𝑑)≤𝑧𝑛=𝑓(𝑐𝑛) por la linealidad de 𝑓 en [𝑎𝑛,𝑐𝑛], se tiene que existe un 𝑥𝜖(𝑎𝑛,𝑐𝑛) tal que 𝑓(𝑥)=𝑘.

 Un resultado similar al anterior se obtiene si se supone que 𝑧𝑛=0.

 Suponga que 𝑧𝑚>0, entonces 0≤𝑓(𝑐)<𝑘<𝑓(𝑑). Por lo tanto, 𝑓(𝑎𝑛)=0<𝑘<𝑓(𝑑)≤𝑓(𝑐𝑛). Luego, por la linealidad de 𝑓 en [𝑎𝑛,𝑐𝑛], se tiene que existe un 𝑥𝜖(𝑎𝑛,𝑐𝑛) tal que 𝑓(𝑥)=𝑘.

 Un resultado similar al anterior se obtiene si se supone que 𝑧𝑛<0.

 Suponga que 𝑧𝑚<0< 𝑧𝑛. Si 𝑘=0, entonces 𝑓(𝑎𝑚)=𝑘=0. Si 𝑘<0, entonces 𝑓(𝑐𝑚)=𝑧𝑚≤𝑘<0=𝑓(𝑏𝑚). Por la linealidad de 𝑓 en [

Así, en cualquier caso, existe un 𝑥𝜖(𝑎,𝑏) tal que 𝑓(𝑥)=𝑘. Por consiguiente 𝑓 tiene la propiedad del valor intermedio en [𝑎,𝑏].

Se probará que 𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏]. En efecto, para cada 𝑛𝜖ℕ defina la función 𝑓𝑛:[𝑎,𝑏]⟶ℝ por

Así pues,

converge puntualmente a 𝑓 en [𝑎,𝑏]. Por otro lado, por la definición de 𝑓𝑛, se tiene que cada 𝑓𝑛 es continua en [𝑎,𝑏]. En conclusión,

es una sucesión de funciones continuas que converge puntualmente a 𝑓 en [𝑎,𝑏]. Por consiguiente, 𝑓 es una función clase uno de Baire en [𝑎,𝑏].

Finalmente, se probará que 𝑓 es continua en [𝑎,𝑏] sí, y sólo sí,

es una sucesión convergente a cero.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS

Barthle, D. R., & Sherbert, R. G (2014). Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons.

Bressoud, D. M. (2007). A Radical Approach to Real Analysis. 2nd Edition, (Mathematical Association of America Textbooks). The Mathematical Association of America.

Dunham, W. (2005). The Calculus Gallery; Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton University Press.

Folland, G. B. (2007). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley. USA.

Gordon, R. A. (2002). Real Analysis. A First Course. Addison Wesley. USA.

Natanson, I. R. (2016). Theory of Functions of Real Variable. Volume I. Dover Publications, Inc. USA.

Olmsted, J. M. H. (2009). Advanced Calculus. American Mathematical Society. USA

Rudin, W. (2016). Principles of Mathematical Analysis. McGraw - Hill.

Schramm, M. J. (2008). Introduction to Real Analysis. Dover.