INTRODUCCIÓN

Hay muy pocos datos referentes a la historia del conjunto y la función de Cantor. En lo particular, Cantor no fue el primero en descubrir el conjunto de Cantor. Más aún, a pesar de que el descubrimiento original del conjunto de Cantor tenía un enfoque geométrico, el descubrimiento de Cantor del conjunto y la función de Cantor no estaba motivado por la geometría, ni involucraba la geometría, aunque es así como estos elementos son frecuentemente introducidos. De hecho, Cantor posiblemente dio con ellos mediante un razonamiento puramente aritmético.

Durante los años 1879-1884 Cantor escribió una serie de artículos titulados "Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten" que contenían el primer estudio sistemático de la topología del conjunto de puntos de la recta real. Después de introducir el término perfecto en el quinto artículo, Cantor estableció que los conjuntos perfectos no necesariamente son densos en todas partes. En la nota de pie de página de este documento Cantor introduce el conjunto que ha llegado a conocerse como el conjunto temario de Cantor. El conjunto de números reales de la forma

donde 𝑐𝑣 es 0 ó 2.

Durante el tiempo en que Cantor estuvo trabajando en los apuntes de "Punktmannichfaltigkeiten", otros trabajaban en la extensión del teorema fundamental del cálculo para funciones discontinuas. Cantor cita este aspecto en una carta fechada en noviembre de 1883, en la cual él define el conjunto de Cantor tal como lo definió en el documento mencionado anteriormente. No obstante, en la carta él pasa a definir la función de Cantor, la primera aparición conocida de esta función. Esta función es primero definida en el complemento del conjunto de Cantor como la función cuyos valores son

1. DESARROLLO DECIMAL TERNARIO

Un número en el intervalo [0,1] se escribe en base 3 de la siguiente manera:

donde cada 𝑎𝑛 = 0, 1 ó 2.

Por ejemplo

Mostremos que todo número del intervalo [0,1[ posee una expansión ternaria. En efecto, sean 𝑥 ∈ [0,1[ y 𝐴 = {0,1,2}. Dividamos [0,1[ en tres intervalos disjuntos de longitud

es decir:

Entonces existe un único 𝑘₁ ∈ 𝐴 tal que 𝑥 ∈ 𝐼_1,𝑘1 , por consiguiente

Dividamos 𝐼₁,𝑘₁ en tres intervalos disjuntos, de longitud

es decir,

Luego, existe un único 𝑘₂ ∈ 𝐴 tal que 𝑥 ∈ 𝐼_2,𝑘2 , por lo tanto

Repitiendo este proceso n veces encontramos n números 𝑘₁, 𝑘₂, ⋯ , 𝑘𝑛 ∈

𝐴 tales que:

Observemos ahora que, evidentemente, la sucesión

es monótona, creciente y acotada superiormente por x, luego

existe y, además

no obstante

por lo tanto,

y, en consecuencia

Se ha probado así que cada 𝑥 ∈ [0,1] admite un desarrollo decimal ternario:

2. EL CONJUNTO DE CANTOR

El conjunto de Cantor y las funciones definidas sobre él son muy útiles, particularmente para la construcción de contraejemplos. El conjunto termario de Cantor o simplemente el conjunto de Cantor fue exhibido por G. Cantor (1845-1918) como una ilustración de ciertas cosas curiosas que pueden ocurrir con conjuntos de puntos sobre la recta real. Algunas de las propiedades de este conjunto desafían la intuición geométrica.

Se presenta a continuación la construcción y propiedades del conjunto de Cantor. Sea 𝐹 = [0,1], entonces:

1) Se retira de 𝐹 el intervalo abierto

, correspondiente al segundo tercio. Quedarán dos intervalos cerrados disjuntos

Pongamos

es claro que 𝑃₁ es cerrado y 𝑉₁ es abierto.

2) De cada uno de los dos (2¹ = 2) intervalos 𝐽_1,1 𝑦 𝐽_1,2 se retira el intervalo abierto correspondiente al segundo tercio. Quedarán cuatro (2² = 4) intervalos cerrados disjuntos al retirarse los intervalos abiertos

Pongamos

Es evidente que 𝑃₂ es cerrado 𝑉₂ es abierto.

3) En la n-ésima operación, en cada uno de los 2𝑛−1 intervalos cerrados de la operación anterior

se retira el intervalo abierto correspondiente al segundo tercio:

Subsisten 2^𝑛−1 ∙ 2 = 2^𝑛 intervalos cerrados

Pongamos

Es evidente que 𝑃𝑛 es cerrado y 𝑉𝑛 es abierto (Phills, 1984). Por definición, el conjunto de Cantor es

Gráficamente el proceso de construcción del conjunto C queda descrito como muestra la Figura 1.

Es claro que C contiene los puntos extremos de los intervalos 𝐽𝑛,𝑘 que componen 𝑃𝑛

Sin embargo, C contiene muchísimos más puntos que los indicados, como veremos en lo que sigue. En efecto, probaremos que

Examinemos el complemento de 𝑃𝑛: Sea 𝑥 = 0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ (escrito en base 3) un elemento de [0,1]. Entonces,

En general,

Por otro lado, si x es un punto extremo de algún 𝐽𝑛,𝑘 y por lo tanto un elemento de C, entonces x se escribe en la forma

por lo tanto,

ya que ningún 𝛼𝑖, 𝑖 = 0, 1, ⋯ , 𝑛 − 1 puede ser igual a 1 pues, en ese caso x pertenecería a algún 𝐼𝑚,𝑘 y en consecuencia 𝑥 ∉ 𝐶. Por lo tanto,

De todo lo anterior resulta que para todo 𝑥 ∈ [0,1], 𝑥 = 0, 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, ⋯

por lo tanto

en consecuencia

Así pues,

Importar imagen En particular resulta que

es un elemento del conjunto

de Cantor y que no es un punto extremo de algún 𝐽𝑛,𝑘 (pues no es de la

En particular resulta que

es un elemento del conjunto de Cantor y que no es un punto extremo de algún 𝐽𝑛,𝑘 (pues no es de la forma

También pertenecen a C los siguientes números

y muchísimos números más (Wheeden, 1977).

Se está ahora en condiciones de examinar otras propiedades del conjunto C.

Teorema 2.1: C es un subconjunto compacto de ℝ.

Demostración: Por construcción

luego C es cerrado por ser intersección de cerrados; pero C también es acotado pues es un subconjunto de [0,1] y en consecuencia, C es un conjunto compacto

Teorema 2.2: El interior de C es vacío

Demostración: Supongamos lo contrario, es decir, que el interior de C no es vacío. Luego existe

Por lo tanto,

𝐼 ⊂ 𝑃𝑛 para todo

Por la propiedad arquimedeana, existe

Luego para todo 𝑛 ≥ 𝑛0 se tiene que

pero esto es una contradicción, pues 𝑃𝑛 no puede tener intervalos con longitud mayor que

Así pues, se concluye que el interior de C es vacío.

Teorema 2.3: El conjunto de Cantor C es no enumerable. Demostración. Supongamos que C es enumerable, luego 𝐶 = {𝑐₁, 𝑐₂, ⋯ }. Consideremos el número 𝑐 = 𝑎₁, 𝑎₂, ⋯ en forma ternaria, de la siguiente manera:

Se tiene que 𝑐 ∈ 𝐶 𝑦 𝑐 ≠ 𝑎𝑛 para todo 𝑛 ≥ 1, o cual es una contradicción. Así pues, C es un conjunto no enumerable.

Teorema 2.4: Todos los puntos del conjunto de Cantor C son puntos de acumulación de C

Demostración: Sea 𝑥 ∈ 𝐶 y V una vecindad de x, entonces existe 𝜀 > 0

tal que

Tome 𝑛0

≥ 1 de modo que

y considere

Como 𝑥 ∈ 𝐶 se tiene que 𝑥 ∈ 𝑃_𝑛0 , por lo tanto, existe un 𝑘_𝑛0 tal que 𝑥 ∈ 𝐽𝑛₀,𝑘_𝑛0 . Luego,

Mas aun, los puntos extremos de 𝐽_𝑛0,𝑘_𝑛0 que son elementos de C, también pertenecen a V y, en consecuencia:

para toda vecindad V de x, es decir, x es un punto de acumulación de C. Por los teoremas 2.1 y 2.4, se tiene que el conjunto de Cantor es un conjunto perfecto.

3. LA FUNCIÓN DE CANTOR.

Se define la función 𝑓: 𝐶 → [0,1], llamada la función de Cantor, por la regla:

Es decir, si x es un elemento de C teniendo expansión ternaria 𝑥 = 0, 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, ⋯ donde 𝑎𝑖 = 0 ó 2, entonces 𝑓(𝑥) es el numero cuya expansión binaria (base 2) es 0, 𝑟₁, 𝑟₂, 𝑟₃, ⋯ donde

Características de 𝑓.

1. 𝑓 es suryectiva.

En efecto, sea

un elemento de [0,1] con 𝑟𝑖 ∈ {0,1} y sea

donde 𝑎_𝑖 = 2𝑟_𝑖. Entonces 𝑎_𝑖 = {0,2}, por lo tanto,

lo cual prueba la suryectividad de 𝑓.

2. Si 𝐼 = (𝑥, 𝑦), con 𝑥 < 𝑦, es uno de los intervalos abiertos extraídos en el n-ésimo paso, en la construcción geométrica del conjunto de Cantor, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦).

En el primer paso se extrae el intervalo

En el segundo paso se extraen los intervalos

y

los cuales

se pueden expresar como

Los intervalos que se extraen en el tercer paso se pueden expresar en la

forma

En el n-ésimo paso se extraen 2𝑛−1 intervalos los cuales se pueden escribir como

es decir,

Mostremos que

En efecto, si

entonces

Por otro lado, si

entonces

Por lo tanto

3. 𝑓 es creciente sobre C; es decir, si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶, con 𝑥 < 𝑦, entonces 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦). En efecto, sean 𝑥 = 0, 𝑥₁𝑥₂ ⋯ ; 𝑦 = 0, 𝑦₁𝑦₂ ⋯ dos elementos de C y supongamos que 𝑥 < 𝑦. Se probó anteriormente que, si x, y son extremos de los intervalos extraídos en la construcción del conjunto de Cantor, entonces, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦).

Si este no es el caso, entonces existe un entero positivo k tal que

𝑥₁ = 𝑦₁, 𝑥₂ = 𝑦_2, ⋯ , 𝑥_𝑛−1 = 𝑦_𝑛−1 𝑦 𝑥_𝑘 = 0 < 𝑦𝑘 = 2

Por consiguiente

de donde

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦). En conclusión, se tiene que 𝑓 es creciente.

Anteriormente se probó que la función de Cantor tiene el mismo valor en los dos extremos de cada intervalo suprimido en la construcción del conjunto de Cantor. Como muestra la Figura 2, si tomamos este valor común como valor constante de la función 𝑓 en este intervalo, podemos extender la función de Cantor a todo el intervalo [0,1]. De esta manera,

𝑓 será creciente sobre [0,1].

El siguiente teorema, referente a las funciones crecientes, es de vital importancia para el estudio de la función de Cantor (Bartle, 1999), (Rudin, 1980).

Teorema 3.1: Sea 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función creciente. Si g es suryectiva sobre [𝑔(𝑎), 𝑔(𝑏)] entonces es continua en [𝑎, 𝑏].

Como la función de Cantor es creciente y suryectiva en [0,1], por el teorema anterior, es continua en [0,1].

Con la función de Cantor se muestra cuánto se ha avanzado en el desarrollo del concepto de función a partir de la idea elemental de que una función continua "es aquella cuya gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel".

REFERENCIAS

Bartle, R.G. (1999). Introducción al Análisis Matemático. Editorial Limusa, S.A. México.

Fleron, J. (1994). A Note on the History of the Cantor Set and Cantor Function. Mathematics Magazine. An Official Publication of The Mathematical Association of America. Vol. 67. Washington, D.C. pags 136-140.

Phillps, E. (1984). An Introduction to Analysis and Integration Theory. Dover Edition U.S.A.

Rudin, W. (1980). Principios de Análisis Matemático. McGraw-Hill Book. México.

Wheeden, RL. (1977). Measure and Integral an Introduction to Real Analysis. Marcel Dekker,lnc. New York.