INTRODUCCIÓN

Las primeras demostraciones, probables, de la irracionalidad de √2 y √5 son de carácter geométrico, y se reducen a establecer que el lado y la diagonal de un cuadrado o de un pentágono regular, respectivamente, no tiene una unidad común de medida; es decir, no son conmensurables (Boyer,1986, p.107-108). Sin embargo, las demostraciones tradicionales de la irracionalidad de √2, √3, y √5 que se presentan en los niveles preuniversitarios y en los primeros años universitarios consisten en suponer que estos números son de la forma $\frac{p}{q}$ , con 𝑝 y 𝑞 primos entre sí; y llegar, a través de argumentos análogos, a la conclusión que 𝑝 y 𝑞 son múltiplos de 2, 3 y 5, respectivamente; contradiciendo el hecho que el máximo común divisor de 𝑝 y 𝑞 es uno ( (𝑝, 𝑞) = 1). Para demostrar la irracionalidad de 𝜋 se continúa con esta tendencia, al asumir que ${\mathrm{\pi }}^2=\frac{p}{q}$ (Spivak, 1978, p.418)

En este trabajo, lo primero que se hace es una transposición didáctica de la demostración geométrica de la irracionalidad de √2 presentada por Fel’dman y Nesteresnko (1998, p.12-13); seguidamente se analiza el criterio que establece la irracionalidad de ^𝑛√𝑝 con tan sólo verificar que estos números sean raíces de un polinomio Mónico con coeficientes enteros (Niven, 1985, p.15-16). Finalmente se hace una síntesis de las demostraciones exhibidas por Niven (1985, p.16-19), Parks (1986) y Castro (1989); en las cuales se emplean, principalmente, el teorema fundamental del cálculo y el teorema de Weierstrass

DESARROLLO

1. Prueba de la irracionalidad de √𝟐 , por medio del Análogo Geométrico del Algoritmo de Euclides para el máximo común divisor de dos enteros.

Probar que el lado y la diagonal de un cuadrado no tienen una unidad común de medida, es equivalente a demostrar la irracionalidad de √2.

Definición 1: Dos segmentos de longitudes 𝑎 y 𝑏, respectivamente, se llaman conmensurables si existe un segmento de longitud 𝑐 y dos números enteros positivos 𝑛 y 𝑚 de forma que 𝑎 = 𝑛𝑐 y 𝑏 = 𝑚𝑐. Dos segmentos se llaman inconmensurables, si no son conmensurables.

Propiedad 1. Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos congruentes con el segmento que une el punto exterior al centro. (Figura 1)

Figura 1
Dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior
Fuente: Elaboración propia (2021)

El análogo geométrico del Algoritmo de Euclides, para el máximo común divisor de dos enteros, nos permite probar que el lado y la diagonal de un cuadrado no son conmensurables.

Teorema 1. El lado 𝐴𝐵 y la diagonal 𝐵𝑁 de un cuadrado no son conmensurables.

Demostración:

Para demostrar que el lado 𝐴𝐵 y la diagonal 𝐵𝑁 de un cuadrado no son conmensurables, consideremos la figura 2:

Figura 2
Lado y diagonal de un cuadrado
Fuente: Elaboración propia (2021)

En el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝑁, sea:

1) 𝐸 el punto de intersección de la diagonal 𝐵𝑁 y el circulo centrado en 𝐵 y radio 𝐴𝐵.

2) 𝐺 el punto de intersección del lado 𝐴𝑁 y la tangente al círculo descrito en (1) en 𝐸.

3) 𝐼 el punto simétrico de 𝐸 con respecto a la recta 𝐴𝑁

Entonces, 𝐺𝐼𝑁𝐸 es un cuadrado en donde:

4) 𝐸𝑁 = 𝐵𝑁 − 𝐵𝐸 = 𝐵𝑁 − 𝐴𝐵, ya que 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 por ser el radio del círculo descrito en (1).

Si 𝐴𝐵 y 𝐵𝑁 son conmensurables, existe un segmento de longitud 𝑐 contenido un número exacto de veces tanto en 𝐴𝐵 , como en 𝐵𝑁 ( 𝐴𝐵 = 𝑛𝑐 y 𝐵𝑁 = 𝑚𝑐; 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ⁺); y, por lo tanto, por 4) y 5), en 𝐸𝑁 y 𝐺𝑁 que son los lados y la diagonal, respectivamente, del cuadrado 𝐺𝐼𝑁𝐸.

Si repetimos la construcción descrita en los puntos 1), 2) y 3); en el cuadrado 𝐺𝐼𝑁𝐸, obtendremos el cuadrado más pequeño 𝑀𝐿𝑁𝑂; cuyo lado y diagonal son ambos múltiplos del segmento original de longitud 𝑐.

Continuando con estas construcciones, obtenemos una secuencia infinita de cuadrados cuyos lados son múltiplos del segmento original de longitud 𝑐, lo que es imposible, pues los lados de los cuadrados se aproximan a cero; por lo tanto, el lado 𝐴𝐵 y la diagonal 𝐵𝑁 no son conmensurables.

2. Un criterio elemental para determinar la irracionalidad de 𝒏√𝒑

Propiedad 2. (Teorema Fundamental de la Aritmética)

Todo número entero positivo puede descomponerse como producto de factores primos de forma única, salvo el orden de dichos factores.

Teorema 2. Si un número real 𝛼 satisface la ecuación

Con coeficientes enteros, entonces 𝛼 es o bien un entero o bien un número irracional.

Prueba:

Supongamos que 𝛼 ∈ ℚ, es decir,

Tendríamos que,

Si 𝑞 > 1, entonces cualquier divisor primo de 𝑞 dividiría a 𝑝^𝑛 y por el Teorema Fundamental de la Aritmética también dividiría a 𝑝, contradiciendo el hecho que (𝑝, 𝑞) = 1. Luego 𝑞 = 1, lo que establece que 𝛼 es o bien un entero o un número irracional.

Haciendo uso del teorema precedente se obtiene que:

• Si 𝑛 es un entero que no es un cuadrado perfecto, √𝑛 es número irracional. Para ello basta considerar la ecuación 𝑥² − 𝑛 = 0 y así obtenemos, por ejemplo, que: √2, √3, √5, √7 son irracionales

• Si 𝑚 es un entero positivo que no es la n-ésima potencia de algún entero, entonces ^𝑛√𝑚 es irracional.

Para ello basta considerar la ecuación 𝑥^𝑛 − 𝑚 = 0 y así obtenemos, por ejemplo, que: ³√5, ⁷√3 son irracionales.

3. Prueba de la irracionalidad de 𝝅 y 𝒆

Como señala Lagarias (2013), la primera prueba de la irracionalidad del número 𝑒 fue dada por el matemático suizo Leonhard Paul Euler en 1737; y la deduce a partir de la expansión de 𝑒 en fracción continua, determinada por él; a saber:

Por otro parte, Dorrego (2014) refiere que la primera demostración de la irracionalidad de 𝜋 aparece en las Actas de la Academia de Ciencias de Berlín y fue publicada por Johann Lambert en 1768; la cual se apoya en la expansión, determinada por él, de tan 𝑥 en términos de una fracción continua; a saber:

Las pruebas que se presentan a continuación, siguiendo la idea central del presente trabajo, son una síntesis de las presentadas por Niven(1985, p.16), Parks (1986) y Castro (1989).

Propiedad 3. (Teorema Fundamental del Cálculo) Supóngase que 𝑓 es continua sobre [𝑎, 𝑏], entonces:

Propiedad 4. (Teorema de Weierstrass)

Si 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ es continua en [𝑎, 𝑏], entonces 𝑓 está acotada superior e inferiormente, es decir, existen 𝑀, 𝑁 tal que 𝑁 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

Definición 2. (Función Especial para 𝑐 ∈ ℝ⁺)

Sea 𝑐 ∈ ℝ⁺ , 𝑓 una función continua de [0, 𝑐] en ℝ y positiva en (0, 𝑐). Se dice que 𝑓 es una función especial para 𝑐 (F.E. para 𝑐), si existe una sucesión de funciones 𝑓₁, 𝑓₂, … de [0, 𝑐] en ℝ, derivables en (0, 𝑐) tales que para todo 𝑘 ≥ 2 y tal que 𝑓_𝑘(0), 𝑓_𝑘(𝑐) son enteros para todo 𝑘 ≥ 1.

Definición 3. (Conjunto Especial de polinomios para 𝑐 ∈ ℝ⁺)

Sea 𝑐 ∈ ℝ⁺. Se dice que un conjunto Ƥ de polinomios sobre ℝ es un conjunto especial de polinomios para c si, ∀𝑔(𝑥) ∈ Ƥ;

𝑔(0), 𝑔(𝑐), 𝑔′(0), 𝑔′(𝑐), … , 𝑔^(𝑘)(0), 𝑔^(𝑘)(𝑐), … , ∈ ℤ

Es decir, Ƥ = {𝑔(𝑥) ∈ ℝ[𝑥]: 𝑔(0), 𝑔(𝑐), 𝑔′(0), 𝑔′(𝑐), … , 𝑔^(𝑘)(0), 𝑔^(𝑘)(𝑐), … , ∈ ℤ}.

Ejemplo 1. Si 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ⁺ y $c=\frac{m}{n}$; es claro que 𝑡(𝑥) = 𝑚 − 2𝑛𝑥 ∈ Ƥ

Lema 1: Sean 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ ℝ[𝑥] , entonces

Prueba: (Por inducción)

Para 𝑛 = 1

Supongamos que se tiene para 𝑛, Hipótesis de Inducción (H.I). Veámoslo para 𝑛 + 1.

Lema 2: Si 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ Ƥ, entonces 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) ∈ Ƥ.

La prueba se sigue del Lema 1.

Lema 3. Sea 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ⁺ y $c=\frac{m}{n}$ , entonces:

Prueba: Por inducción

1. 𝑔₀(𝑥) = 1. Luego 𝑔₀(𝑥) ∈ Ƥ

2. Supongamos que 𝑔_𝑘−1(𝑥) ∈ Ƥ.

Es evidente que 𝑔_𝑘(0) = 𝑔_𝑘(𝑐) = 0; luego basta probar que $g_k^{\text{'}}\left(x\right)$ ∈ Ƥ para, por la misma definición de Ƥ , concluir que 𝑔_𝑘(𝑥) ∈ Ƥ. Ahora bien:

Donde 𝑡(𝑥) = 𝑚 − 2𝑛𝑥 ,del ejemplo 1.

Como 𝑔𝑘−1(𝑥) ∈ Ƥ (H.I) y 𝑡(𝑥) ∈ Ƥ, por el lema 2 se tiene que

𝑔𝑘−1(𝑥)𝑡(𝑥) ∈ Ƥ

Luego, $g_k^{\text{'}}\left(x\right)$ ∈ Ƥ.

Lema 4. Si 𝑓 es F.E para 𝑐 , entonces:

${\int }_0^c$ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∈ ℤ; ∀𝑔(𝑥) ∈ Ƥ

Prueba.

Sea 𝑔(𝑥) ∈ Ƥ, con 𝑔𝑟(𝑔) = 𝑑 ; se tiene, aplicando integración por partes y la propiedad 3 que:

Teorema 3: Si 𝑓 es F.E para 𝑐, entonces 𝑐 es irracional.

Prueba:

Sea 𝑓 una F.E para 𝑐 y supongamos que 𝑐 es racional, es decir, $c=\frac{m}{n}$. Sin pérdida de las generalidades, supóngase que 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ⁺

Por los lemas 3 y 4 se tiene que:

(*) ${\int }_0^{c}f\left(x\right)g_k$ (𝑥)𝑑𝑥 ∈ ℤ

Como 𝑓 y 𝑔_𝑘 son continuas es [0, 𝑐] y positivas en (0, 𝑐) se sabe que

(**) ${\int }_0^{c}f\left(x\right)g_k$ (𝑥)𝑑𝑥 > 0

Ahora en vista de que la función ℎ(𝑥) = 𝑥(𝑚 − 𝑛𝑥) es continua en [0, 𝑐] y positivas en (0, 𝑐), al igual que 𝑓 se tiene por el Teorema de Weierstrass que existen 𝐿 > 0 y 𝑀 > 0 tales que:

𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 y ℎ(𝑥) ≤ 𝐿 , ∀𝑥 ∈ [0, 𝑐]

Corolario 1. Si cos 𝑟 y sen 𝑟 son racionales, con 0 < |𝑟| ≤ 𝜋, entonces 𝑟 es irracional.

Demostración:

Si cos 𝑟 y sen 𝑟 son racionales, existe 𝑚 ∈ ℤ⁺ tal que 𝑚 cos|𝑟| y 𝑚 sen|𝑟| son enteros. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑥, ∀𝑥 ∈ [0, |𝑟|] y 𝑓₁(𝑥) = −𝑚 cos 𝑥 , 𝑓₂(𝑥) = −𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑓₃(𝑥) = 𝑚 cos 𝑥 , 𝑓₄(𝑥) = 𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑥 , 𝑓₅(𝑥) = −𝑚 cos 𝑥 , 𝑓₆(𝑥) = −𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑥, … . Claramente 𝑓 es una F.E para |𝑟|, entonces |𝑟| es irracional y por lo tanto 𝑟 es irracional.

Corolario 2. Si 𝑟 ∈ ℚ+ y 𝑟 ≠ 1, entonces ln 𝑟 es irracional.

Prueba.

i. Si 𝑟 > 1, ln 𝑟 > 0. Como 𝑟 ∈ ℚ⁺, existen 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ⁺ tal que $r=\frac{m}{n}$.

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑛𝑒^𝑥 y 𝑓(𝑥) = 𝑓₁(𝑥) = 𝑓₂(𝑥) = ⋯ = 𝑓_𝑘(𝑥) = ⋯

Claramente 𝑓 es una F.E para ln 𝑟, por lo tanto ln 𝑟 es irracional

ii. Si 0 < 𝑟 < 1, $\frac{1}{r}$ > 1, luego por (i) ln $\frac{1}{r}$ es irracional y por lo tanto ln 𝑟 = − ln $\frac{1}{r}$ es irracional

Del corolario 1 se deduce que 𝜋 es irracional ya que 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = −1 y 𝑠𝑒𝑛 𝜋 = 0.

Del corolario 2 se deduce que 𝑒 es irracional ya que, si fuese racional, se tendría en vista de que 𝑒 > 1 que ln 𝑒 = 1 es irracional, lo que obviamente no es cierto.

CONCLUSIONES

Las primeras pruebas de la irracionalidad de ciertos números no están al alcance; en muchas ocasiones, incluso, de los estudiantes de los primeros años de la Licenciatura en Matemática. Es necesario que el docente procure presentar pruebas alternativas que sean accesibles a la mayoría de los estudiantes; para, posteriormente, abordar las que se dieron inicialmente.

Algunos temas de investigación para estudiantes de Matemática podrían ser la deducción minuciosa de la prueba de la irracionalidad de 𝜋 y 𝑒 hechas por Lambret y Euler, respectivamente, así como un estudio histórico, cronológico y comparativo de pruebas de la irracionalidad de éstos y otros números.

Referencias

Boyer, C. (1986). Historia de la matemática. Madrid: Alianza Editorial

Castro, I. (1989). Un método elemental para encontrar números irracionales. Revista Integración, 7 (1), 23-31. Recuperado de: file:///G:/Redacci%C3%B3n%20de%20art%C3%ADculos%20cient%C3%ADficos/S obre%20art%C3%ADculos/1161-Texto%20del%20art%C3%ADculo-2989-1-10- 20101130%20(1).pdf

Dorrego, E. (2014). Sobre la irracionalidad de 𝜋: Ideas generales de la demostración de Lambert. Notae Philosophicae Scientiae Formalis, 3 (1-2), 81-93.

Fel’dman, N.I. y Nesterenko, Y. V. (1988). Trascendental Numbers. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 44. New York: Springer.

Lagarias, J. (2013). Euler’t Constant: Euler’s Word and modern developments. The American Mathematical Society, 50 (4), 527-628. Recuperado de: https://www.ams.org/journals/bull/2013-50-04/S0273-0979-2013-01423- X/S0273-0979-2013-01423-X.pdf

Niven, I. (1985). Irrational Numbers. Carus Mathematical Monographs, 11. Estados Unidos de América. The Mathematical Association of America.

Parks, A. (1996). 𝜋, 𝑒 and other irrational numbers. The American Mathematical Monthly, 93 (9), 722-723. Recuperado de: https://www-fourier.ujf- grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/articles_et_extraits_livres/irationalite/Park_A. E._pi_e_and_other_irational_numbers.pdf

Spivak, M. (1978). Cálculo Infinitesimal, 2. Barcelona: Editorial Reverté