1. INTRODUCCIÓN

En el control estadístico de productos no conformes o defectuosos con una baja probabilidad de ocurrencia, se ha propuesto el uso de la denominada carta geométrica en la cual se monitorea el número de ítems buenos hasta el primero que resulte defectuoso. Los límites de esta carta son probabilísticos (con igual probabilidad abajo del límite inferior y arriba del límite superior de control) y constituyen cierta mejora con relación a las cartas np y p (Xie, Goh & Kuralmani, 2000; Yang, Xie, Kuralmani & Tsui, 2002; Tang & Cheong, 2004). Sin embargo, de acuerdo a Xie, Goh & Ranjan (2002) y Montgomery (2007), si la proporción p de ítems defectuosos es extremadamente pequeña, la carta geométrica ya no muestra un desempeño eficiente, por lo que resulta más recomendable monitorear el tiempo transcurrido entre dos unidades defectuosas. En particular, si la ocurrencia de defectuosos se puede modelar como un proceso de Poisson, entonces el tiempo T entre dichos eventos puede modelarse como una variable aleatoria con distribución exponencial (Zhang, Xie & Goh, 2005). Bajo el anterior supuesto, fue propuesta la carta CQC (cumulative quantity control) que también es conocida como carta exponencial, carta TBE o carta t (Chan, Xie & Goh, 2000; Xie et al., 2002). La carta t es por tanto usada en el monitoreo del tiempo entre eventos raros o de baja tasa de ocurrencia, como por ejemplo, los sismos y la producción de unidades defectuosas en procesos altamente confiables (Xie & Goh, 1992; Chan et al., 2000; Borror, Keats & Montgomery, 2003; Jensen, Jones-Farmer, Charles & Woodall, 2006; Santiago & Smith, 2013).

En la literatura de cartas de control han aparecido muchos trabajos con relación al monitoreo del tiempo entre eventos. De acuerdo con Yen, Chong & Ha (2013), Calvin (1983) fue el primero en desarrollar la carta para el tiempo entre eventos, la cual fue luego estudiada por Goh (1987) como el conteo acumulado de no conformes y la denominó como carta CCC (cumulative count of conforming). La contraparte continua de esta carta es la carta CQC propuesta por Chan et al. (2000), aunque previamente Radaelli (1998) ya había presentado una metodología unificada para el diseño de cartas tipo Shewhart unilaterales y bilaterales para el tiempo entre eventos, la cual ejemplificó con la carta exponencial. Xie et al. (2002), Huang & Yang (2015) y Kumar, Chakraborti & Rakitzis (2017) propusieron el monitoreo del tiempo hasta observar r fallas o defectuosos y construyeron límites bajo la distribución Gamma; Xie et al. (2002) consideraron además las distribuciones Weibull y Erlang mientras que Kumar et al. (2017) adicionaron reglas de corridas junto con correcciones a los límites de control con el fin de obtener una carta de ARL insesgado y con mayor sensibilidad a pequeñas desviaciones, asumiendo conocida la tasa de falla del proceso en control; Huang & Yang (2015) también presentaron un método para corregir los límites en la carta Gamma asumiendo conocidos los parámetros de la distribución subyacente. Cheng & Chen (2010) y Santiago & Smith (2013) consideraron la aplicación de reglas de corridas en la carta CQC o carta t con el mismo fin.

Zhang, Xie & Goh (2006) propusieron para la carta exponencial estimar la tasa de falla del proceso durante la Fase I de control aplicando un esquema de muestreo secuencial y la corrección de los límites para obtener una carta de ARL insesgado, siguiendo la misma fórmula de ajuste propuesta por Xie et al. (2000), pero adaptando las constantes de corrección al tamaño de muestra usado en la estimación de la tasa de falla. Por su parte, Guo, Wang & Xie (2014) diseñaron límites para la carta exponencial aplicada a muestras con censura tipo II, para monitorear la media del tiempo de falla de un proceso, construyendo límites de control tales que las cartas fueran de ARL insesgado, tanto en el caso de media conocida como estimada.

Esquemas de monitoreo tipo CUSUM (cumulative sum) y EWMA (exponential weighted moving average) también han sido propuestos para el monitoreo del tiempo entre eventos con el fin de detectar mejor pequeñas desviaciones en la tasa de ocurrencia de unidades defectuosas. Por ejemplo, Borror et al. (2003) proponen una carta CUSUM para detectar el incremento en la tasa de unidades defectuosas monitoreando el tiempo transcurrido hasta observar una unidad defectuosa. Aslam, Azam & Jun (2015) y Ozsan, Testik & Weiβ (2010) proponen una carta EWMA a partir de la cual obtienen una mejora en la sensibilidad de la misma para detectar cambios en el proceso.

De acuerdo a Ryan (2011), cuando se implementa una carta de control con límites 3σ, esto es, a ±3 desviaciones estándar de la media del estadístico o variable monitoreada y se parte del supuesto de que estas cantidades se distribuyen de forma normal o aproximadamente normal. Sin embargo, cuando la no normalidad afecta significativamente el desempeño de la carta, es más recomendable usar límites probabilísticos. En cualquier caso, es necesario considerar que la distribución de probabilidad depende de uno o más parámetros según su tipo, los cuáles suelen asumirse conocidos cuando se opera en la denominada Fase II de control o de monitoreo (Jensen et al., 2006). Este último supuesto en la práctica no es cierto, puesto que resulta necesaria la estimación de los parámetros en la Fase I de control.

El efecto negativo de la estimación de los parámetros sobre el desempeño de las cartas de control ha sido una preocupación para muchos investigadores en el área del control estadístico de procesos (SPC), tal como se evidencia en Ryan (2011), Jensen et al. (2006), Montgomery (2007), Woodall & Montgomery (2014), Psarakis, Vynioua & Castagliola (2014), Knoth, S., & Schmid, W. (2015), entre otros. Se han desarrollado diversos trabajos abordando los efectos de la estimación de parámetros sobre el desempeño de las cartas X¯, S, cartas tipo EWMA y CUSUM (Chakraborti, 2007; Ozsan et al., 2010; Zhang, Peng, Schuh, Megahed & Woodall, 2013; Yang et al., 2002; Khoo, Lee, Teoh, Liew & Teh, 2013; Saghir, Lin & Chen, 2015).

Según Jensen et al. (2006) y Psarakis et al. (2014), cuando los límites de control son determinados usando estimaciones de los parámetros de la distribución subyacente, las cartas de control con dichos límites no exhiben el mismo desempeño que las construidas con los parámetros conocidos, en especial si las estimaciones fueron hechas a partir de muestras pequeñas, aunque en la práctica suele desconocerse que esto puede tener efectos desfavorables en el desempeño de la carta de control en la Fase II de control. Por ejemplo, trabajar con parámetros estimados puede afectar negativamente la tasa de falsas alarmas, así como conducir a una lenta generación de señales válidas sobre desviaciones del estado estable en un proceso, lo cual a su vez puede impedir la corrección y prevención temprana de situaciones críticas debidas a causas asignables. También resultan afectadas medidas de desempeño de la carta como la longitud promedio de corrida o ARL

(Average Run Length), la desviación estándar de la longitud de corrida o SDRL (Standard Deviation of the Run Length), el tiempo promedio para una señal o ATS (Average Time to Signal) y la longitud mediana de corrida o MRL (Median Run Length).

Este artículo tiene como propósito estudiar los efectos de la estimación del parámetro λ0 sobre el desempeño de la carta t en la Fase II de control a partir del análisis de su curva ARL, la cual se define como una función del factor δ que modifica la tasa de falla del proceso, es decir, cuando este parámetro cambia a λ=δλ0, δ > 0. El estudio desarrollado parte de la formulación de límites de control para la carta t, considerando que λ0 es estimado, teniendo en cuenta para ello dos estimadores y para los cuales se analizan y comparan su influencia sobre el desempeño de la carta. Esta es una contribución importante, en la medida que permite establecer una comparación entre los resultados obtenidos con un estimador sesgado y otro insesgado para la ARL de la carta t, a diferencia de lo que ocurre en Zhang et al. (2006) en donde sólo trabaja con el primero. Es de resaltar que aunque en Zhang et al. (2006) usan el mismo estimador insesgado del parámetro λ0 empleado aquí, los autores desarrollan un muestreo secuencial en fase I, el cual consiste en actualizar el valor del estimador cada vez que se tiene una observación (muestra) adicional del proceso, para luego recalcular los límites de control, lo anterior tiene el inconveniente de que la estimación de los límites no es independiente de las observaciones, además, en el desarrollo presentado por los autores no es claro la forma de valorar si dicha observación nueva proviene o no del proceso en control. Además de lo anterior, Zhang et al. (2006) corrigen los límites de control siguiendo la idea aplicada por Xie et al. (2000) en la carta geométrica, para lo cual suponen colas de igual probabilidad. Zhang et al. (2006) realizan el estudio de la ARL de la carta t partiendo de una aproximación del mismo y de acuerdo a Yang et al. (2002). A diferencia de lo anterior, en este artículo se hace un estudio del desempeño de la carta t durante la fase II, usando una muestra histórica en control de tamaño n que corresponde a tiempos distribuidos de manera exponencial para determinar el estimador sesgado o insesgado de λ0 para luego calcular los límites de control de acuerdo a la metodología propuesta, establecer colas nominales de igual y distinta probabilidad fijando en un escenario la ARL en un valor y en otro, la tasa de falsa alarma. Además, para el estudio de la ARL se propone el uso de la ARL exacta de la carta no su aproximación.

El desarrollo del artículo comienza con la definición de la carta t y de los estimadores a usar. En la sección 3 se presenta la ARL de la carta estudiada cuando el parámetro es estimado. En la sección 4, se presentan las propuestas para obtener una carta t de ARL insesgado. Finalmente, en la sección 5 se presentan las conclusiones.

2. LÍMITES DE LA CARTA t

Si se supone que T ∼ exp(t;λ0) representa el tiempo entre eventos, entonces su función de densidad de probabilidad acumulada (fda) es:

en donde λ0 es la tasa de falla. Cuando λ0 se asume conocido, los límites de control inferior y superior de la carta t, LCL y UCL, respectivamente, corresponden a los cuantiles y 1 de la distribución en (1), es decir,

De otra parte, suponga que T1, T2, ··· , Tn representan una muestra aleatoria del tiempo entre eventos que provienen de una distribución exponencial con tasa de falla λ0, tal que para todo i = 1,2,··· ,n, cada Ti es independiente e idénticamente distribuido. Considere Y la suma de estos n tiempos; es decir

entonces se cumple que Y ∼ Gamma(y;n,1/λ0)(Zhang et al., 2006), por lo que su densidad de probabilidad es

Un estimador insesgado para el parámetro λ0 (ver apéndice página 35) de la función de densidad dada en (4) es

Un estimador alternativo para λ0 es el estimador por máxima verosimilitud,

pero sobreestima a λ0, es decir, no es un estimador insesgado, pues . Sin embargo, si n → ∞, E() → λ0 (ver apéndice página 35). Los límites de control para la carta t con λ0 desconocido son definidos de acuerdo a (2), usando un estimador para λ0 ( ^λ0), así

ARL PARA LA CARTA t

λ0 Conocido

En este estudio se considera que si un cambio en el proceso ha ocurrido, el parámetro de la distribución se puede escribir en la forma λ = δλ0, δ > 0, de modo que si 0 < δ < 1, ha ocurrido una mejora en el proceso; por el contrario si δ > 1 se considera que ha ocurrido un deterioro. Ahora bien, si δ = 1, entonces λ = λ0 y por lo tanto el proceso está en control. Ahora bien, la probabilidad de que una observación esté por fuera de los límites de control en (2), cuando T ∼ exp(δλ0), es

y desde que la ARL es el inverso de (8) (Yang et al., 2002; Zhang et al., 2006), entonces

λ0 Estimado

Suponga que durante el monitoreo la tasa de falla cambia de λ0 a λ = δλ0, δ > 0 y considere a Ψ(δ|Y = y ) , la probabilidad condicional definida por

luego, usando (7) se obtiene que

De otra parte, la ARL condicional a Y = y para los límites dados en (7), se puede definir como:

entonces la ARL incondicional,

corresponde a

donde Y ∼ Gamma(y;n,1/λ0) y su función de densidad se escribe como en (4). Si se reemplaza a en (7) por los estimadores definidos en (5) y (6), los límites de control quedan respectivamente como ^λ0

y

donde , son respectivamente, los límites estimados de la carta t usando los estimadores ^λunb y ^λbias de λ0. De acuerdo a la ecuación (11), las ARLs incondicionales con estos estimadores son, respectivamente

La Figura 1 muestra las curvas ARL incondicionales vs. δ, en donde, ARL(δ) es la ARL de la carta con límites (2), ARL(δ)_unb representa a (14) y ARL(δ)_bias se refiere a (15), α = 0.0027 y λ0 = 0.01. La Figura 1(a) corresponde a un tamaño de muestra n = 5 y la 1(b) a n = 100, estos tamaños de muestra son considerados con la finalidad de mostrar el comportamiento de la curva ARL cuando se usa una muestra “pequeña”o “grande”. Los resultados muestran que para n = 5 y desviaciones por encima de δ = 1, la carta t con el estimador ^λunb (curva ARL(δ)_unb) tiene mejor desempeño que la carta que se construye con el estimador bλbias (curva ARL(δ)_bias); por el contrario, para desviaciones por debajo de δ = 1 resulta un poco mejor la carta con el estimador ^λbias. Si se compara la curva ARL(δ) con ARL(δ)_unb, se observa que para grandes desviaciones con δ ≥ 4, el comportamiento es aproximadamente el mismo, mientras que la ARL(δ)_bias de la carta con el estimador sesgado es similar a la ARL(δ) en casos donde hay desviaciones por debajo de δ = 1. Obsérvese además que cuando n = 100, la ARL de las cartas de control con parámetro estimado se aproximan a la curva ARL(δ); es decir, cuando λ0 es conocido. La Figura 1 evidencia que sin importar el tamaño de la muestra, las cartas construidas con los estimadores ^λunb y ^λbias son de ARL sesgado, por lo cual es necesario aplicar una corrección a sus respectivos límites,

La Figura 1 evidencia que sin importar el tamaño de la muestra, las cartas construidas con los estimadores ^λunb y ^λbias son de ARL sesgado, por lo cual es necesario aplicar una corrección a sus respectivos límites, de modo que estas cartas sean de ARL insesgado. Finalmente note de la Figura 1, que las curvas ARL no son simétricas alrededor de δ = 1. En particular, para δ = 1−∆, las ARLs son menores que para δ = 1+∆, con ∆ > 0, lo cual implica que en general, las cartas son más lentas para detectar deterioros del proceso que mejoras.

A partir de la ecuación (14) se obtienen los resultados presentados en la Tabla 1, y mediante (15) se obtienen los resultados de la Tabla 2, estas tablas muestran la ARL en control de la carta t empleando los estimadores ^λunb y ^λbias definidos en (5) y (6), respectivamente; la tasa nominal de falsa alarma usada fue α = 0.0027. Los resultados en éstas Tablas muestran que la ARL es sensible al tamaño de muestra n pero no al valor de λ0. También puede observarse que a mayor tamaño de muestra, la ARL en control con ambos estimadores, es decir, ARL(1), se aproxima más al valor nominal ARL0 (ARL0 = 1/α ≈ 370) y por tanto, se acercan al valor de la ARL(1) cuando λ0 es conocido. Nótese además que cuando se usa ^λunb los valores de ARL(1) tienden a acercarse más rápido al valor nominal ARL0 que cuando se emplea el estimador ^λbias, lo cual indicaría un comportamiento más favorable con el primer estimador, en especial si se tienen muestras pequeñas y bajo el proceso en control.

Dado el valor de α = 0.0027, se espera que la ARL en control esté cerca de 370, pero de acuerdo con los valores en las Tablas 1 y 2, dicha meta ni siquiera es alcanzada para un tamaño de muestra n = 200, lo cual indica una fuerte influencia del tamaño de la muestra en el desempeño de la carta cuando λ0 es estimado. Ahora bien, el valor alcanzado por la ARL(1) cuando λ0 es estimado también es afectado por el tipo de estimador que se usa, puesto que si se comparan los valores de la ARL(1) para todos los tamaños de muestra usados en las Tablas 1 y 2, su valor es menor cuando el estimador es ^λbias.

En las Figuras 2(a) y 2(b), se comparan nuevamente las curvas ARL(δ)unb y ARL(δ)_bias respectivamente, con la curva ARL(δ) correspondiente al caso λ0 conocido, usando α= 0.0027 y λ0 = 0.01, pero ésta vez considerando n = 5, 15, 30 y 50. Puede observarse en 2(a) que para n = 5 y 1 < δ ≤ 4 aproximadamente la ARL es menor que la alcanzada con cualquier otro tamaño de muestra, incluso es menor que la ARL(δ), mientras que para δ > 4 prácticamente coinciden las curvas, en tanto que en 2(b), se observa que con n = 5 la curva ARL se ubica por debajo del resto cuando 1 < δ ≤ 2.2. Sin embargo con δ mayores es peor el desempeño a menor tamaño de muestra (las curvas ARL con λbias quedan por encima de la curva ARL(δ) y se alejan más de ésta a menor n. Lo anterior parece indicar que mientras no se corrijan los límites, resulta mejor un tamaño de muestra pequeño en la detección de deterioros del proceso de la carta t construida con los límites definidos en (12). Sin embargo, lo deseable es que el incremento del tamaño de muestra favoreciera el desempeño de la carta y no al contrario.

4. CARTA t DE ARL INSESGADO CON λ0 ESTIMADO

Debido a los resultados presentados en la sección anterior, se buscará construir unos límites de control con los cuales la carta t sea de ARL insesgado. Lo anterior se hará de varias formas, usando límites de control con colas nominales de igual o distinta probabilidad nominal, en ambos casos fijando la ARL o la tasa nominal de falsa alarma.

4.1. Ajuste de Límites con Probabilidades de Colas Iguales

Con la finalidad de construir una carta t de ARL insesgado se recurre a ajustar los límites de control dados en (12) y (13) siguiendo las ideas propuestas por Zhang et al. (2006), Xie et al. (2000), Huang & Yang (2015) y Guo et al. (2014). Conforme a ésto se procede a escribir respectivamente los límites de control corregidos de forma conveniente como

tal que Dα > Cα > 0 y D *α > C*α > 0. Se busca determinar cuáles son los valores que deben tomar estas constantes de forma tal que la carta t sea de ARL insesgado, con λ0 estimado de acuerdo a (5) y (6), respectivamente.

Nótese que con los límites corregidos la ARL para cada estimador, según las ecuaciones (14) y (15), se puede escribir respectivamente como

donde Y es definida como en (3).

Carta t de ARL Insesgado Fijando la ARL en Control

Para resolver el problema de ARL sesgado de la carta t se plantearán varias propuestas, en la primera se busca obtener un valor fijo de la ARL en control, ARL0, y tal que éste sea el máximo valor alcanzado; es decir, se requiere que ARL(1)= ARL0 y que adicionalmente, cuando δ = 1 por lo que según el estimador a usar ^λunb o ^λunb, se debe trabajar respectivamente con los sistemas de ecuaciones

En los sistemas de ecuaciones (20) y (21) se desea hallar respectivamente, los pares de valores (Cα,Dα) y (C*α ,D*α ), satisfaciendo las condiciones expresadas por estas ecuaciones. A partir de la evaluación en δ = 1 de (18) y (19) y de su correspondiente derivada, los sistemas (20) y (21) quedan

La Tabla 3 es obtenida haciendo uso de la función R multiroot del paquete rootSolve de Soetaert (2015) y resume los coeficientes obtenidos para los tamaños de muestra 5, 15, 30, 50, 100 y 200 en la solución de los sistemas (22) y (23), usando una ARL0 = 370 y un λ0 = 0.01, junto con la ARL que produce cada una de las soluciones respectivas. La Tabla muestra que las ARLs en control son 370 o valores muy próximos a éste

La Tabla 3 muestra además que a medida que n → ∞, los valores tomados por los pares (Cα, Dα) y (C*α , D*α ) tienden a ser muy parecidos. Se puede verificar que si n = 35000 por ejemplo, se obtienen los valores de Cα = 0.002409653, Dα = 8.126261849, C*α = 0.002409722 y D*α = 8.126494035

Las Figuras 3(a)y 3(b) representan la ARL de la carta t con límites corregidos de acuerdo a (16) y (17), usando las constantes halladas respectivamente en la solución de (22) y (23), para n = 5, 15, 30 y 50. Las figuras mencionadas muestran que con ambas propuestas se obtienen cartas de ARL insesgado, permitiendo además de controlar el valor de la ARL0 de acuerdo a la necesidad del usuario, es decir, se puede tener una ARL0 fijo sin importar el tamaño de la muestra con la que se cuente. Una propiedad que resulta conveniente frente a las limitaciones prácticas que se pueden tener en algunos campos de aplicación donde los datos disponibles pueden ser escasos. También, las Figuras 3(a) y 3(b) muestran que para δ < 1 ó δ > 1, a mayor n son menores los valores de la ARL, lo que indica que en promedio a mayor n, las cartas informan más rápido que el proceso ha sufrido cambio. Lo anterior es una característica deseable y muestra que al corregir los límites de control se elimina un patrón desfavorable que fue observado en la Figura 2, puesto que ahora se observa que el incremento de la muestra mejora el desempeño de la carta para informar situaciones de cambio del proceso, en particular cuando hay deterioro (incremento de λ=δλ0).

Note además que al comparar las Figuras 3(a) y 3(b) en cada n, las curvas ARL son similares, y esto ocurre debido a que para cada n los pares de límites corregidos son prácticamente iguales. Para verificar esto, basta comparar los pares de coeficientes Cα/n−1 , C*α/n , Dα/n−1 y D*α/n que multiplican a Y en las ecuaciones (16) y (17) y usando los valores óptimos de (Cα, Dα) y (C*α , D*α ) encontrados como soluciones de (22) y (23). En la Tabla 4 pueden observarse estos valores para n = 5, 15, 30, 50, 100, 200, y puede concluirse que con cualquiera de los estimadoresbλunb o bλbias los límites corregidos en cada tamaño de muestra toman los mismos valores aproximadamente. En la Figura 3(c) se muestran las (2006). A primera vista parece que las curvas ARL para esta carta no se diferencian de las obtenidas con las correcciones propuestas. Sin embargo, la Tabla 5 revela que sí hay diferencias importantes. En esta Tabla se presentan los valores de las ARLs de las cartas t con parámetro λ0 estimado sin correcciones de límites: ARL(δ)_unb, ARL(δ)_bias y los límites corregidos ARL(δ)α,unb, ARL(δ)α,bias y ARL(δ)α,Zhang, donde los sufijos unb y bias hacen referencia a las cartas con λ0 estimado por bλunb o bλbias respectivamente, mientras que el sufijo Zhang denota la carta con límites corregidos para la carta t y propuestos por Zhang et al. (2006). En esta Tabla de nuevo se observa la proximidad entre las ARLs de las cartas con límites corregidos según las propuestas formuladas en este trabajo. Ahora bien, comparando con la propuesta de Zhang et al. (2006), se observa que esta última es más efectiva para valores de δ < 1, es decir, para detectar mejoras, pero es menos efectiva cuando δ > 1, o sea, cuando hay deterioro del proceso. Si ahora se comparan las ARLs de las cartas con límites corregidos vs. sin corregir, la Tabla 5 muestra que las correcciones perjudican el desempeño en la detección de mejoras del proceso (δ < 1), en especial con n pequeño, pues la ARL con límites corregidos son mayores que las ARL con límites sin corregir; sin embargo, cuando hay deterioro en el proceso (δ > 1), es mejor usar límites corregidos, y esta ventaja es mayor a medida que n aumenta. Considerando que resulta más grave la menor efectividad en la detección de deterioro que la mejora del proceso, se puede concluir que la corrección de los límites es necesaria y recomendable.

La Tabla 6 muestra para diferentes tamaños de muestra, las tasas de falsa alarma, α_unb, α_bias, αα,unb y αα,bias para las cartas construidas con los límites según (12), (13), (16) y (17), respectivamente, en los dos últimos casos con las soluciones óptimas encontradas para los sistemas de ecuaciones en (22) y (23). Puede observarse que en todos los casos, las tasas de falsa alarma son mayores al valor nominal y que antes de corregir los límites, existen diferencias notorias entre las tasas de falsa alarma de las cartas usando los estimadores ^λunb y ^λbias, especialmente para n pequeño, siendo α_unb < α_bias. Una vez se aplican las correcciones a los límites de control, las diferencias entre las tasas de falsa alarma disminuyen significativamente (αα,unb y αα,bias). Otro aspecto importante a resaltar, es que a mayor n, las tasas de falsa alarma se aproximan a la tasa de falsa alarma nominal de α = 0.0027, sin embargo, la aproximación es más rápida con los límites corregidos, pero en general, se necesita un tamaño de muestra grande para alcanzar este valor.

Ahora bien, si se comparan las tasas de falsa alarma αα,unb y αα,bias con los de la Tabla 3 de Zhang et al. (2006), columna para λ0 = 0.01 para los tamaños de muestra n = 5, 10, 15, 30, 50, 100, 200 y 300, éstos últimos son ligeramente mayores, esto quiere decir que las correcciones propuestas en este trabajo logran una leve mejora en ésta característica, comparada con Zhang et al. (2006), puesto que la aproximación con esta última al valor nominal es más lenta

4.1.2. Carta t de ARL Insesgado Fijando la Tasa de Falsa Alarma en un Valor Nominal α

Una forma alternativa de construir una carta t de ARL insesgado cuando λ0 es estimado, consiste en corregir los límites de forma tal que la ARL obtenga su máximo en δ = 1 y tal que la tasa de falsa alarma sea un valor α fijo. Para ello, sea T ∼ exp(t;λ), con λ = δλ0 e independiente de Y ∼ Gamma(y;n,1/λ0). Se buscarán los pares de constantes (Eα,Fα) y (E*α ,F*α ), tal que los límites de la carta control con ^λunb y ^λbias sean, respectivamente

Sean ARL(δ)*α,unb y ARL(δ)*α,bias las funciones de ARL incondicionales, usando los límites de control definidos en (24) y (25), respectivamente. Las expresiones matemáticas de estas funciones son similares a las dadas en (18) y (19) respectivamente, pero con (Eα,Fα) en lugar de (Cα,Dα) y (E*α ,F*α ) en lugar de (C*α ,D*α ). Entonces se hallan (Eα,Fα) tal que

y (E*α ,F*α ) tal que

Las propuestas dadas en (26) y (27) como en el caso anterior, se deben resolver para las constantes de corrección. En estos sistemas se pretende hallar los valores de los coeficientes (Eα,Fα) y (E*α ,F*α ), respectivamente, que permitan que la ARL sea máximo cuando el parámetro está en control y que además, se cumpla la tasa de falsa alarma nominal esperada α, donde las expresiones probabilísticas dadas correspondan a las tasas de falsa alarma en cada carta, es decir, T ∼ exp(t;λ0)

corresponde a

Entonces reemplazando (29) y ARL(δ) ∗ α,unb evaluada δ = 1 en (26) se obtiene,

Semejante a lo anterior, (27) se puede escribir como,

En la Tabla 7 se muestran los resultados obtenidos para los pares (Eα,Fα) y (E*α ,F*α ), mediante la función multiroot del paquete R rootSolve de Soetaert (2015), y que corresponden a las soluciones de las ecuaciones (30) y (31), para tamaños de muestra n = 5, 15, 30, 50, 100 y 200 y una tasa de falsa alarma nominal de α = 0.0027. En la misma Tabla, se resumen la ARL(1)*α,unb y ARL(1)*α,bias, que se obtienen en cada caso. La Tabla 7 evidencia, que ARL(1)*α,unb es muy similar ARL(1)*α,bias, lo que se concluye que con ambos procedimientos se logra básicamente el mismo resultado para un tamaño de muestra seleccionado.

La Tabla 8 compara los coeficientes n−1 con n , n−1 con n , usados como factores multiplicando a la variable aleatoria Y en los correspondientes límites de control superior e inferior dados en (24) y (25). Puede verse en cada tamaño de muestra que estos coeficientes son aproximadamente iguales, por lo que los límites de control en (24) y (25) resultan similares al igual que sus respectivas curvas ARL, exhibidas en las Figuras 4(a) y 4(b). Estas Figuras muestran que usando los límites corregidos según (24) y (25), la carta es de ARL insesgado para cada tamaño de muestra, además, se observa el comportamiento deseado en la ARL conforme aumenta el tamaño de muestra, esto es, que a mayor n menor es la ARL cuando el parámetro del proceso cambia, permitiendo detectar en promedio más rápido esta situación. Nótese además, la similitud entre las ARL de las Figuras 4(a) y 4(b) en cada tamaño de muestra n.

Si bien las correcciones a los límites propuestos en (16), (17) (24) y (25) producen cartas de ARL insesgado, las dos primeras permiten controlar el valor de la ARL0 de acuerdo a la necesidad del usuario; es decir, se puede tener un valor de ARL0 fijo sin importar el tamaño de la muestra con la que se cuente, además de lo anterior, los resultados son consistentes sin importar si el estimador de λ0 es insesgado como el dado en (5) o sesgado como (6). Con las dos últimas propuestas son necesarios tamaños de muestra n ≥ 30 para tener

una ARL0 del nivel deseado, tal cual se muestra en las Figuras 4(a) y 4(b)

En la Tabla 9 se presentan los valores de las ARLs de las cartas t con parámetro λ0 estimado sin correcciones de límites: ARL(δ)unb, ARL(δ)bias y los límites corregidos ARL(δ) ∗ α,unb, ARL(δ)*α,bias. En esta Tabla se observa que si bien las cartas con límites (24) y (25) son de ARL insesgado, la detección de cambios del proceso es más lenta que cuando los límites de la carta son (12) ó (13). Nótese además, que ARL(δ)*α,unb = ARL(δ) *α,bias.

Ajuste de Límites con Probabilidades Nominales de Colas Distintas

Una forma alternativa de escribir los límites de control de la carta t tal que ésta sea de ARL insesgado cuando λ0 es conocido es hallar β tal que

en donde se considera que las colas de probabilidad nominal no son necesariamente iguales; en este caso, β es tal que P (T < LCLα,β|λ = λ0) = β, y P( T > UCLα,β|λ = λ0 ) = α−β. Además se debe cumplir que P (LCLα,β ≤ T ≤ UCLα,β|λ = λ0 ) = 1 − α. De acuerdo a lo anterior, se puede pensar que cuando λ0 es desconocido, también es posible hacer uso de dicha idea, por lo que los límites dados en (32), usando los estimadores dados en (5) y (6), son

para los cuales la ARL incondicional se escribe respectivamente

en donde fY (y;n,1/λ0) es la f.d.p de Y ∼ Gamma(y;n,1/λ0) definida en (4).

Se puede mostrar que si λ0 es conocido, un valor óptimo para β, si α = 0.0027 es 0.0023952. Las Figuras 5(a) y 5(b), comparan la ARL cuando λ0 es conocido y β = 0.0023952 (ARL(δ)α,β) con ARL(δ)β,unb y ARL(δ)β,bias respectivamente, obtenidas a partir de (35) y (36) usando tamaños de muestra de n = 5, 15, 30 y 50, λ0 = 0.01, α = 0.0027 y β = 0.0023952. Las Figuras permiten ver que cuando el tamaño de la muestra aumenta, las curvas ARL(δ)β,unb y ARL(δ)β,bias tienden a la curva ARL(δ)α,β. Además de lo anterior, se puede observar que persiste el problema de que para tamaños de muestra n < 30 aproximadamente, se detecta más rápido que el proceso se ha salido de control, que para muestras de mayor tamaño, comportamiento que como se ha dicho, no es el esperado. Adicionalmente, la Tabla 10 contiene las ARLs en control: ARL(1)β,unb y ARL(1)β,bias y fuera de control: ARL(1.02)β,unb y ARL(1.02)β,bias, para las cartas construidas con los límites (33) y (34) y mostradas en las Figuras 5(a) y 5(b), respectivamente. En esta Tabla se puede ver que ARL(1.02)β,unb > ARL(1)β,unb y ARL(1.02)β,bias > ARL(1)β,bias, es decir, las cartas son de ARL sesgado (aunque el sesgo no es muy grande), aspecto que es más notorio en tamaños de muestra pequeños y cuando el estimador es bλbias. Debido al sesgamiento de la ARL de las cartas con límites como los definidos en (33) y (34), se hace necesario aplicar correcciones sobre ellos, tal que las cartas de control sean de ARL insesgado

Carta t de ARL Insesgado Fijando la ARL en Control v de ARL Insesgado Fijando la ARL en Control 4.2.1. Carta t de ARL Insesgado Fijando la ARL en Control

De acuerdo al problema presentado con anterioridad, se desea ajustar los límites (33) y (34) de forma que la carta de control sea de ARL insesgado y la ARL en control pueda ser fijado en una cantidad independiente del tamaño de muestra usado para estimar a λ0; por ello, se escriben las ecuaciones (33) y (34) de la forma

en donde se supone que Y ∼ Gamma(y;n,1/λ0), α = 0.0027, β = 0.0023952 y los pares (Cβ,Dβ) y (C*β ,D*β ) serán coeficientes por determinar. Lo anterior se puede obtener de forma similar como se hizo en la Sección 4.1.1; es decir, se busca que ARLα,β,unb(1) = ARL0, ARLα,β,bias(1) = ARL0 y que adicionalmente, d dδ ARLα,β,unb(δ)|δ=1 = 0, d dδ ARLα,β,bias(δ)|δ=1 = 0, por lo que se debe resolver en cada caso, el sistema de ecuaciones,

En donde

con fY (y;n,1/λ0) la f.d.p de Y definida en (4).

Usando (41) y (42) evaluada en δ = 1 y su derivada en (39) y (40) se obtienen respectivamente,

con las cantidades UCL d α,β,unb, LCL dα,β,unb, UCL d α,β,bias, LCL dα,β,bias de acuerdo a (37) y (38) respectivamente. La Tabla 11 muestra algunas soluciones obtenidas mediante la función multiroot del paquete R rootSolve de Soetaert (2015) para los sistemas de ecuaciones (43) y (44). En ella se muestra que la ARL en control alcanzada por la carta es de 370 para todo tamaño de muestra. La información mostrada en la Tabla 11 evidencia que a medida que n → ∞, los valores de (Cβ, Dβ ) y (C*β , D*β ) se aproximan a 1, lo que hace pensar que para un tamaño de muestra grande, los límites de control construidos para el estimador ^λunb o ^λbias satisfaciendo (43) y (44) respectivamente, se acercan a los valores de los límites que se obtienen con (32)

Las Figuras 6(a) y 6(b) son la representación de las curvas ARL de la carta t cuando los límites están determinados por las soluciones contenidas en la Tabla 11, con n = 5, 15, 30, y 50. En ellas se muestra que las cartas son de ARL insesgado sin importar el tamaño de muestra y que el valor tomado en δ = 1, es de 370, valor de la ARL0 que es asignado de acuerdo al interés del usuario.

En la Tabla 12 se comparan los factores −log(1−β) Cβ n−1 con −log(1−β) C ∗ β n y −log(α −β) Dβ n−1 con −log(α−β) D ∗ β n usados sobre la variable aleatoria Y en los límites de control en (37) y (38) respectivamente. Puede observarse que en cada tamaño de muestra los factores correspondientes al estimador ^λunb y ^λbias son similares en sus valores, por lo que es de esperar que también sean similares los valores de los límites de control al igual que características como la ARL.

En la Tabla 13 se presenta la ARL de la carta t con los pares de límites dados en (33) y (34), (37) y (38), respectivamente, variando δ y n. En ella se observa que cuando δ ≤ 1, ARL(δ)β,bias es menor ARL(δ)β,unb; sin embargo, sucede lo contrario cuando δ > 1. También se observa en cada tamaño de muestra que los valores de ARL(δ)α,β,unb son iguales a los de ARL(δ)α,β,bias; es decir, las correcciones propuestas sobre los límites de control definidos con los respectivos estimadores bλunb y bλbias, según soluciones a los sistemas de ecuaciones en (43) y (44) respectivamente, conducen no sólo a una carta de ARL insesgado, sino también a cartas de igual desempeño en promedio. Note además que los valores tabulados de ARL(δ)α,β,unb y ARL(δ)α,β,bias en cada tamaño de muestra, no sólo son iguales entre sí, sino también iguales a los reportados en la Tabla 5 para ARL(δ)α,unb y ARL(δ)α,bias y que corresponden a la carta t con límites corregidos según las ecuaciones (16) y (17), respectivamente.

Finalmente de la Tabla 13, al comparar los resultados de las ARLs, cartas t corregidas vs. no corregidas, se paga un precio al controlar el valor de la ARL, pues se perjudica la detección cuando δ 6= 1, puesto que para los límites corregidos según (37) y (38) sus ARLs son mayores que los de los límites sin corregir, según (33) y (34). Sin embargo, este efecto adverso se reduce al incrementar el tamaño de muestra. La Tabla 14 exhibe la tasa de falsa alarma de las cartas construidas según los límites de control en (33), (34), (37) y (38), los dos últimos obedeciendo a las soluciones óptimas de (43) y (44) respectivamente para distintos tamaños de muestra n y denotadas en su orden por αβ,unb, αβ,bias, αα,β,unb y αα,β,bias. Puede observarse que previa corrección de los límites de control, existen diferencias entre las tasas de falsa alarma, particularmente para n pequeño, siendo αβ,unb < αβ,bias; sin embargo, luego de aplicar las correcciones a los límites de control, las diferencias entre las tasas de falsa alarma disminuyen notablemente (ver αα,β,unb y αα,β,bias). Se puede observar además, que a mayor n, las tasas de falsa alarma están más próximas a la tasa de falsa alarma nominal de α = 0.0027; aunque dicha aproximación es más rápida con los límites corregidos, en general se requiere un tamaño de muestra grande para alcanzar este valor.

Al comparar los resultados de la Tabla 6 con los de la Tabla 14, se notará que las diferencias entre las tasas de falsa alarma para los límites corregidos, en cada tamaño de muestra considerado, son mínimas, pero al comparar los valores obtenidos con límites de control sin corregir, vemos que la Tabla 6 (columnas αunb y αbias) son mayores a los de la Tabla 14 (columnas αβ,unb y αβ,bias). Si se comparan los resultados de las Tablas 6 y 14, se verá que las diferencias entre las tasas de falsa alarma con los límites corregidos y sin corregir, son más notables en el primer caso, nótese además que las diferencias entre αβ,unb y αβ,bias son menores que las observadas entre αunb y αbias para tamaños de muestra pequeños.

Carta t de ARL Insesgado Fijando la Tasa de Falsa Alarma en un Valor Nominal α

En esta sección se busca que la carta t sea de ARL insesgado cuando el parámetro λ0 es estimado, pero fijando la tasa de falsa alarma α en un valor deseado, por ejemplo α = 0.0027. Para lograr lo anterior, sea

y

los límites de control de la carta t que se espera sea de ARL insesgado, en donde se supone que Y ∼ Gamma(y;n,1/λ0), β = 0.0023952 y α = 0.0027 y con (Eβ,Fβ) coeficientes por determinar y tales que permitan satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones,

en tanto que (E*β ,F*β ) son tales que

con T ∼ exp(t;λ0) e independiente de Y. Las ARLs incondicionales correspondientes a los límites en (45) y (46) son,

con fY (y;n,1/λ0) la f.d.p de Y ∼ Gamma (y;n,1/λ0) definida en (4). Las expresiones que definen a

son

y

respectivamente, por lo que sustituyendo d dδ ARL(δ) ∗ α,β,unb |δ=1 y (51) en (47), así como d dδ ARL(δ) ∗ α,β,bias (δ)|δ=1 y (52) en (48) se obtienen, respectivamente,

y

La Tabla 15 presenta las soluciones o valores óptimos para los pares (Eβ,Fβ) y (E*β ,F*β ) de acuerdo a (53) y (54), respectivamente, así como las ARL en control, con α = 0.0027, λ0 = 0.01 y tamaños de muestra n = 5, 15, 30, 50, 100 y 200. Los resultados muestran que ARL(1)*α,β,unb y ARL(1)*α,β,bias son similares, aunque este último es un poco menor que el primero, además, ambas medidas tienden al valor de 370 conforme aumenta n, siendo que con n pequeño difieren bastante de este valor de 370. Por tanto, para aproximar el desempeño de las cartas con los límites corregidos según (45) y (46), al que se obtiene cuando λ0 es conocido (es decir, según límites en (32)), es necesario estimar λ0 a partir de muestras de n ≥ 50 aproximadamente; sin embargo, en la práctica, muestras con tales tamaños son relativamente grandes y difíciles de obtener, en especial cuando los eventos de interés son de rara ocurrencia. Observe además que tal como ocurrió con los factores de corrección hallados en las soluciones a los sistemas de ecuaciones (43) y (44), (ver Tabla 11), aquí también se observa que los pares (Eβ, Fβ ) y (E*β , F*β ) se aproximan a 1 cuando n → ∞, de modo que los límites de control respectivos se aproximan a los límites en (32)

Las figuras 7(a) y 7(b) muestran que las cartas construidas usando los límites (45) y (46) con los factores de corrección según las soluciones óptimas de (53) y (54), respectivamente, son de ARL insesgado, pero el valor en control varía con n, siendo que para n pequeños son mayores que 370 y con n →∞ se aproximan a 370.

La información contenida en la Tabla 16 corresponde a los factores que multiplican a la variable aleatoria Y en los límites de control dados en (45) y (46) con los factores de corrección obtenidos de acuerdo a la solución óptima de (53) y (54), respectivamente. Dada la similitud entre los valores de −log(1 − β) Eβ n−1 y −log(1 − β) E ∗ β n y entre −log(α − β) Fβ n−1 y −log(α − β) F*β n , se espera que el valor tomado por el par de límites (LCL d*α,β,unb, UCL d*α,β,unb) sea similar al de (LCL d*α,β,bias, UCL d*α,β,bias) , de la misma manera que sus ARLs, tal como ocurrió con las correcciones previamente estudiadas.

La Tabla 17 contiene los valores para ARL(δ)β,unb, ARL(δ)β, bias correspondientes a los límites en (33) y (34) respectivamente y ARL(δ) ∗ α,β,unb, ARL(δ) ∗ α,β,bias correspondientes a los límites en (45), (46); en todos los casos α = 0.0027 y β = 0.0023952. Los resultados dejan ver que las cartas de control con los límites definidos según (45) y (46) son de ARL insesgado, pero la detección de cambios del proceso es más lenta que cuando los límites de la carta son dados por (33) ó (34). Además, se puede ver que ARL(δ) ∗ α,β,unb = ARL(δ) ∗ α,β,bias; la ARL de la carta t según los límites corregidos en (45) y (46) es la misma, pese a que los estimadores de λ0 son bλunb y bλbias.

CONCLUSIONES

De acuerdo a lo discutido sobre la carta t con parámetro estimado, se pudo ver que en general la carta es de ARL sesgado y por tanto, se hacen necesarias correcciones sobre los límites de control.

Al trabajar con límites estimados sin corregir se pudo observar que es mejor usar límites con probabilidades de colas nominales distintas, cuando se desean detectar deterioros del proceso, debido a que muestran una ARL menor para los casos en los que δ > 1, siendo la ARL más pequeña cuando el estimador usado es el insesgado.

Las estimaciones del parámetro λ0 afectan desfavorablemente el comportamiento de la ARL de la carta t cuando no se han corregido los límites y se tienen muestras pequeñas. Las correcciones deben considerar los tamaños de muestra, por lo que se hace necesario la implementación de los procesos de optimización presentados con cada valor de n que se desea usar para la estimación.

Una vez corregidos los límites de control de la carta t, con cualquiera de los criterios de optimización utilizados y bien sea usando límites con probabilidades de colas iguales o diferentes, da lo mismo usar un estimador sesgado o insesgado para estimar al parámetro λ0, puesto que en cada uno de los procedimientos de construcción de las cartas que se estudiaron, los valores de los límites obtenidos, así como las ARLs, con similares.

Las cartas obtenidas tienen un comportamiento muy similar en su ARL en control. Esto mismo sucede cuando se fija la tasa de falsa alarma. Sin embargo, es mejor controlar la ARL que la tasa de falsa alarma, debido a que si el tamaño de muestra es pequeño, la ARL en control es muy grande. La única forma de obtener los mismos resultados fijando la ARL o la tasa de falsa alarma es que el tamaño de la muestra usada sea grande, de tal forma que se pueda obtener una ARL en control cercana a 1/α. Por lo anterior, parece que no es conveniente obtener una carta de ARL insesgado fijando la tasa de falsa alarma, sino más bien fijando la ARL.

Destacando previamente que el trabajo desarrollado por Zhang et al. (2006) difiere con la metodología propuesta aquí, dado que en dicho trabajo estos usan muestreo secuencial, realizan el análisis de desempeño de la ARL de la carta t en fase I, obtienen la ARL a partir de un proceso de aproximación. En cambio, en este trabajo se realizó un análisis de desempeño durante la fase II, los límites de control se calculan usando dos estimadores que consideran para ello una muestra histórica que corresponde a tiempos que se distribuyen exponencial y que provienen de un proceso en control, además de lo cual, la ARL es obtenida de manera exacta. Pese a lo anterior, comparando las correcciones propuestas en este trabajo con las presentadas por Zhang et al. (2006), tanto con λ0 conocido como estimado se lograron mejoras con las cartas corregidas partiendo de límites de probabilidades de cola con valores nominales iguales, especialmente en la detección del deterioro del proceso.

Apéndice

Cálculo de valor esperado de estimadores de λ0

Desde que Y ∼ Gamma(y;n,1/λ0), donde n > 1,n ∈ Z+ es el parámetro de forma y es el parámetro de escala, entonces su densidad de probabilidad es la dada en la ecuación (5). Luego, por definición de esperanza, tenemos que,

Observe que con n > 1, el integrando en (55) es la densidad de una variable aleatoria con distribución Gamma (y;n−1,1/λ0), de allí que la integral es 1 y por tanto E( bλunb) = λ0. Por otra parte, desde que (bλbias = n Y = n n−1 bλunb), se sigue que E-(bλbias) = n n−1 λ

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