INTRODUCCIÓN

En la actualidad, el mercado del café presenta un comportamiento volátil en el tiempo debido a las va­riables que definen su economía. A causa de esto, en las últimas décadas, entidades estatales y privadas han desarrollado diferentes investigaciones enfoca­das al análisis económico del mercado del café. Estas, en su mayoría, han sido investigaciones sociales, eco­nómicas y de mercadeo. Sin embargo, desde el campo de los sistemas dinámicos no se encuentran suficien­tes reportes sobre el tema.

El presente artículo plantea un modelo del mercado del café colombiano construido a partir del análisis de su panorama nacional e internacional. Este trabajo lleva a cabo un estudio de tipo cualitativo con ecua­ciones diferenciales, con el objetivo de generar infor­mación que pueda ser de utilidad para los agentes que toman decisiones en dicho mercado.

Las variables involucradas en el modelado son: la demanda nacional (caracterizada por el consumo tradicional del café a nivel doméstico), la demanda internacional(proveniente en su mayoría de países norteamericanos y algunos europeos, como Alemania), la oferta nacional, las importaciones de café para abastecer parte de la demanda local y el stock de café (bodegas y almacenamiento debido a periodos de cosecha y de recepción de cultivos previo a su exportación o comercialización en el mercado nacional) (Lis-Gutiérrezet-al. 2012).

Después del presente apartado introductorio, el docu­mento se organiza de la siguiente manera: la segunda sección explica la construcción del modelo propuesto; el tercer apartado presenta el cálculo de puntos de equilibrio y el análisis de estabilidad; la cuarta sección muestra las simulaciones del modelo; y la quinta sec­ción expone las conclusiones generadas a partir de los hallazgos de esta investigación.

CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DEL MERCADO ECONÓMICO DEL CAFÉ: INVERSIÓN CONSTANTE EN LA OFERTA

En esta sección se expondrán los elementos necesa­rios para comprender las características más relevan­tes sobre el mercado económico del café arábigo co­lombiano. Además, se formulará un modelo matemá­tico que desde los sistemas dinámicos permita abs­traer características de la realidad del mercado econó­mico del café en Colombia. El modelo estará formado por tres ecuaciones diferenciales correspondientes a las variables de oferta, demanda y stock. Posterior­mente, se considerará una ecuación para la variable ventas, la cual se encuentra implícita en la ecuación de stock. Una vez formulado el modelo, se realizarán los cálculos correspondientes a los puntos de equili­brio y el análisis de su estabilidad. Finalmente, se es­tudiarán los retratos de fase del sistema.

Teniendo en cuenta que Osorio, Aramburo y Morales (2011) sostienen que es relevante considerar que la construcción del modelo y su interpretación se en­cuentran influenciados por la relación de las variables del mismo, el sistema construido para esta investiga­ción se basa en experiencias anteriores para mode­lar diferentes mercados económicos. Adicionalmente, como base del modelo presentado, se considerará el modelo propuesto por (Valencia Calvo, et-al, 2016), el cual fue aplicado al sector eléctrico colombiano.

Consideraciones generales sobre el modelo

Las variables consideradas en este trabajo correspon­den a políticas actuales del mercado económico del café colombiano comercializado como commodity. A continuación, se mencionan algunas consideraciones para el modelamiento propuesto:

1. El modelo considera tres variables de estado: la oferta, la demanda y el stock.

   El modelo considera únicamente el café verde co­lombiano comercializado como commodity.

   Como hipótesis de formulación del modelo, se consideró la variación del precio como constante, es decir, no se considerará el precio como variable de estado del modelo aquí descrito.

   La estimación de los parámetros necesarios para el modelo (tasas de exportación, importación y ventas) son tomados de datos históricos repor­tados por entidades oficiales de información del café tales como la Federación Nacional de Cafete­ros (fnc) y la Organización Internacional del Café (oic).

Caracterización de las variables del modelo

La oferta de café de Colombia

En el mercado económico del café de Colombia, la oferta es definida como el total de la producción de un año cafetero específico (ico, 2011). Por su parte, la oferta exportable corresponde a la oferta total des­contando el consumo nacional y las existencias, las cuales son necesarias para mantener el flujo de ex­portaciones, considerando que 80 % del café produci­do en Colombia tiene como destino los mercados de exportación. Adicionalmente, con el fin de abastecer la demanda interna, es importante señalar que den­tro del inventario se tienen en cuenta las existencias de años anteriores (o cosechas no vendidas) y las im­portaciones (Domínguez, 2013).

Demanda del mercado del café

En Colombia, la demanda del mercado del café se ve influenciada por dos grandes factores: el mercado in­ternacional, y la demanda interna para su consumo doméstico. Dicha demanda incluye la compra de café verde a otros países productores para abastecer el consumo interno, el cual ha mantenido una tendencia creciente en los últimos años (Uu & Nam, 2017).

El stock de café

En cuanto a las existencias de café, la oic hace una diferencia entre existencias retenidas en países im­portadores (comúnmente denominandas inventa­rios) y las existencias retenidas en países producto­res (conocidas simplemente como existencias o stock) (ico, 2011).

Según (Lis-Gutiérrez et al. 2012), con base en reportes de la oic, las existencias totales a escala global pasa­ron de representar 31,58 % en 2005/06 a 17,03 % en 2009/10, cuya mayor parte correspondió a las exis­tencias de arábica con respecto a la producción de esta misma variedad (37,62 % y 21 %, en 2005/06 y 2009/10, respectivamente). Además, estos autores indican que la tendencia decreciente de las existen­cias puede ser resultado del incremento en el precio internacional antes de 2012; hecho que incentivó las exportaciones, al igual que el consumo interno de los países productores, el cual incrementó 3,6 %.

Modelo matemático: ecuaciones del modelo

Ecuación de la oferta

Según la (fnc, 2014), el parque cafetero llegó en 2015 a 941.000 hectáreas conformadas por 4.835 millo­nes de árboles plantados, alcanzando una densidad de siembra de 5.484 árboles por hectárea y una edad promedio de 7,1 años. Actualmente, el 97 % de las plantaciones son tecnificadas, el 83 % están en etapa joven y 85 % se encuentra en edad productiva (más de 2 años). Además, 71 % se encuentran sembradas con variedades resistentes a la roya.

A continuación, se expone la ecuación para la ofer­ta del café arábigo colombiano comercializado como commodity. Este análisis se lleva a cabo desde dos perspectivas: la producción generada por la capaci­dad e infraestructura interna y las importaciones de café crudo para comercialización interna. La ecuación de oferta se muestra a continuación:

donde, corresponde a la tasa de descen­so de la producción, representa la oferta y l a tasa de café importado. En esta ecua­ción la tendencia se considera en descenso a una tasa constante, denominada r, pues ante una afectación fuerte por alguna enfermedad sobre los cultivos es­tos tenderían a desaparecer.

La ecuación de la oferta tiene en cuenta dos compo­nentes. El primero está relacionado con la producción generada con la capacidad instalada interna. Este fac­tor es atribuido a las zonas de cultivo de café arábigo dentro del terreno colombiano y es influenciado en el tiempo por diferentes factores, tales como la broca, la roya y la edad de las siembras, variables que afectan los cultivos y, por ende, la capacidad de producción que finalmente conforma la oferta de café colombia­no. Por otra parte, el segundo componente que defi­ne la oferta es la tasa de importaciones de café verde comprado a otros países productores para satisfacer la demanda interna, lo cual resulta de gran relevan­cia, considerando que, aunque Colombia es un país productor, durante la última década las tasas de im­portación de este producto se han ubicado por enci­ma del 80 % del café consumido a nivel nacional, de acuerdo con informes de medios nacionales (Domín­guez, 2013).

Inversión en la oferta

Por su parte, la oferta es analizada desde dos com­ponentes: la capacidad instalada interna de produc­ción y el café importado para consumo interno. Como tercer elemento, se incorpora a la ecuación de oferta un término lineal correspondiente a la inversión, ya sea realizada por entes gubernamentales o no, lo cual permite mejorar la capacidad de producción.

La ecuación para la inversión de la oferta se muestraa continuación:

donde, corresponde al factor de conver­sión para la inversión en la oferta y a la inversión en infraestructura interna para la producción de café.

Ecuación de la demanda

La ecuación de la demanda se construye a partir de dos panoramas: el nacional, constituido por políticas de consumo local, y el internacional, caracterizado por las políticas de exportación del café arábigo co­lombiano a diferentes clientes. La ecuación de de­manda se muestra a continuación:

donde, x_2∈R^+corresponde a la demanda, a∈R+ es la tasa de consumo interno, b∈R + es la tasa de producción de café para exportación, w_1∈R+ es la capacidad máxima de demanda nacional (demanda interna) y w_2∈R^+ la capacidad máxima de deman­da internacional (demanda externa).

El primer término del miembro derecho correspon­de a la demanda nacional de café verde que se co­mercializará para el consumo doméstico de Colom­bia, el cual llegó a 1,7 millones de sacos en 2015, con un incremento cercano a 4 % frente a 2014 (fnc, 2014). Este incremento se explica por un au­mento en el segmento de los consumidores jóve­nes y una mayor frecuencia de consumo diario tan­to dentro como fuera del hogar. El segundo térmi­no corresponde a la demanda internacional, cuyos principales destinos son Estados Unidos (41,7 %), seguido de Europa (32,4 %) y Japón (10,5 %); este último es considerado el principal cliente para los cafés especiales (fnc, 2014). Adicionalmente, resul­ta pertinente mencionar que la demanda interna­cional de café representa más del 80 % de la pro­ducción nacional y que esta mantiene una baja tasa de cambio (parámetro b), pues generalmente la de­manda variable está concentrada en el mercado lo­cal y la tasa de cambio de la demanda para consu­mo interno es mayor con respecto a la producción (parámetro a).

Con el fin de simplificar la ecuación para la demanda, se tiene que la capacidad de demanda máxima w es en total la demanda interna y la externa. Sin embargo, esta última es prácticamente su totalidad, por lo cual la demanda máxima del modelo se puede aproximar a la demanda externa. Así, la ecuación simplificada de la demanda obtenida es:

donde x_2R^+ representa la demanda, aR^+ la la tasa de consumo interno, bR^+ lala tasa de producción de café para exportación y wR^+ la capacidad máxima de la demanda.

Ecuación del stock

Es importante resaltar que la variación de la produc­ción total se ve afectada por las ventas como puede evidenciarse en la siguiente fórmula:

De esta manera, es posible generar la siguiente ecua­ción:

donde, x_3∈R corresponde a la variable stock, x_1∈R^+ a la oferta, L∈R^+ a la tasa de ventas y x_4∈R a las ventas.

La comercialización del café verde: las ventas

En el proceso de comercialización del café intervienen diferentes agentes del mercado, quienes ocupan un papel importante dentro de la cadena de valor de este producto. La fnc y el estudio de (Lis-Gutiérrez et al. 2012), particularmente, mencionan que los principa­les agentes del mercado son:

1. Caficultores. La fnc considera a un caficultor como el propietario o poseedor de un predio que cumpla con las siguientes condiciones: i) poseer un área sembrada igual o superior a media hectárea; y que el área señalada cuente con al menos 1.500 árbo­les plantados (Lis-Gutiérrez et-al., 2012).

   Exportadores. Dentro del mercado del café colom­biano, se consideran exportadores a todas aquellas firmas que se encargan de la actividad de comer­cialización extranjera del café verde, el café proce­sado o cafés especiales producidos en Colombia.

   Empresas torrefactoras. En el mercado del café co­lombiano, las empresas torrefactoras son aquellas encargadas de los procesos de adecuación de los granos, descascarillado, tostión y molido del café.

(Lis-Gutiérrez et-al., 2012), con base en cifras de la oic (2011) y lafnc (2011), mencionan que en 2012 existía un total de 96 firmas exportadoras, las cuales se loca­lizaban en el 42,4 % de los departamentos (14 de los 33), con un mayor presencia en la ciudad de Bogotá y el departamento de Caldas. La mayoría de dichas fir­mas exportan café verde (84 de las 96), 50 exportan café tostado y 13 café soluble.

En el año cafetero 2016-17 la producción cafetera co­lombiana permaneció constante en 14,2 millones de sacos anuales. Este comportamiento también lo man­tuvo el nivel de consumo interno, el cual estuvo en un valor de 1,7 millones de sacos. Finalmente, se ob­servó un leve aumento en el nivel de importaciones para consumo interno, el cual pasó de 0,3 millones de sacos en 2016 a 0,4 millones en 2017, cifra que no se daba desde el 2014, lo cual evidenció un aumento en el nivel de exportaciones para el 2017 hacia los 13 mi­llones de sacos anualesfnc (2017).

La ecuación de ventas

La ecuación que modela el comportamiento de las ventas de café se construye a partir del análisis de dos escenarios.

En el primero, el mercado del café tiene una baja de­manda (variable x2) y tanto la oferta (variable x1) como el stock (variable x3) superan con exceso la demanda del momento. Esta situación (x2 < x1+ x3) se caracteriza por una disponibilidad de existencias para ser agota­das y una alta producción con respecto a la deman­da, la cual controla las ventas. Además, se señala que el precio de venta es denominado normal (parámetro Pn), pues deben bajar los precios de venta para que se dé la comercialización para así agotar las existencias de inventario y posteriormente la producción.

En el segundo, la demanda es alta y la oferta y el stock no alcanzan a satisfacer la demanda de café del mo­mento. Esta situación (x2 > x1+ x3) se caracteriza por una demanda alta, por lo tanto, el stock y la oferta no alcanzan a satisfacerla, ya que éstas últimas definen el proceso de ventas que corresponden a la capaci­dad de responder la demanda. Así mismo, el precio de venta es denominado alto (parámetro Pn), pues el proceso de venta se realiza con el mejor postor, apro­vechando la situación de escasez del producto.

Con base a los escenarios mostrados, se obtiene la siguiente ecuación:

donde p_nR^+ es el precio normal de venta, p_nR^+ el precio alto de venta, p_nR^+ la oferta, p_nR^+ re­presenta la demanda, p_nR^+ el stock y p_nR^+ las ventas.

Modelo matemático condensado

La tabla 1 presenta el modelo matemático condensa­do del mercado del café de Colombia para las varia­bles de estado: oferta, demanda y stock.

Parámetros utilizados en el modelo

En la tabla 2 se presenta el listado de parámetros uti­lizados en la formulación del modelo, las descripcio­nes, valor y unidad de cada uno, los cuales son punto de referencia para todos los análisis realizados en las secciones posteriores.

Es necesario tener presente que los parámetros son determinados a partir de datos históricos reporta­dos por organismos oficiales del sector cafetero, tales como la Federación Nacional de Cafeteros (fnc) y la Organización Internacional del Café (oic). En la tabla 2 vemos una explicación más detallada sobre la obten­ción de estos parámetros.

CÁLCULO DE PUNTOS DE EQUILIBRIO

En esta sección se muestran los cálculos de puntos de equilibrio del modelo propuesto en este artículo úni­camente para la región.

Tomando en cuenta el modelo,

junto con

Para calcular los puntos de equilibrio se procede a re­solver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

Se debe observar que al estar representada la varia­ble (ventas) como una función definida a tramos, los puntos de equilibrio a obtener estarían en dos regio­nes. En esta sección, solo se considerarán los puntos de equilibrio encontrados en la región, obteniendo así los siguientes puntos de equilibrio:

donde,

Además, al evaluar el valor de los parámetros se tiene:

Al respecto, se debe tener en cuenta que, al estar los puntos de equilibrio en la región (x2 > x1+ x3) y al considerar que en el equilibrio x1 = x3, los puntos de equilibrio P1 y P2 son virtuales, puesto que se encuen­tran en la superficie de conmutación (Colombo et al., 2012; Escobar, 2013).

Los puntos de equilibrio P1 y P3 no pueden ser apli­cados a la realidad de este mercado, pues la oferta no puede adquirir valores negativos; es decir, estos pun­tos de equilibrio son no admisibles (Bernardo et al., 2007, 2008; Redondo-Ortegón, 2012).

Determinación de la estabilidad de los puntos de equilibrio calculados

Considerando los puntos de equilibrio determinados en la sección anterior, se procede a determinar la es­tabilidad de los mismos, haciendo uso de la matriz ja­cobiana y de los teoremas de estabilidad expuestos en Bernardo et al. (2008) y Leine y Van-Campen (2006).

La matriz jacobiana del modelo expuesto en este artículo se representa como:

obteniendo los siguientes valores propios:

Al evaluar los valores de los parámetros y determinar el signo de los valores propios se obtiene que λ1 y λ2 son siempre negativos y que la estabilidad va a depen­der de λ3:

1. Para el punto de equilibrio se tiene: correspon­diente a un punto de silla.

   Para el punto de equilibrio se tiene: correspon­diente a un punto de equilibrio estable.

Al ser no admisibles, los puntos de equilibrio no son incluidos en el análisis de estabilidad.

SIMULACIONES Y ANÁLISIS DEL MODELO OBTENIDO

A continuación, se muestran algunas simulaciones y análisis para el modelo obtenido. Las simulaciones fueron realizan para el sistema de ecuaciones diferen­ciales expuesto en la tabla 1, mediante el programa MATLAB®. Para la solución de las ecuaciones diferen­ciales se utiliza la función ODE45 que ya está imple­mentada en dicha herramienta (Tabares-Soto, 2016).

A partir de una condición inicial se grafica el comporta­miento que presenta las diferentes variables de estado del problema. Para la variable oferta se generó la simu­lación sin tener en cuenta la inversión, incorporando posteriormente este parámetro en el modelo (figura 1).

Considerando el desgaste de la oferta debido a fac­tores como enfermedades de los cultivos y manteni­mientos en la industria, entre otros, tanto el gremio cafetero como el Gobierno Nacional se ven en la ne­cesidad de invertir para asegurar que la producción en este sector alcance los niveles esperados y así evi­tar que su comportamiento en el tiempo sea decre­ciente y presente tendencias a la desaparición.

Teniendo en cuenta que el mercado del café se carac­teriza por su rápido dinamismo, las tasas de inversión en este sector se hacen cada vez más elevadas en la medida que la dinámica de comercialización se agiliza como resultado del desgaste de los cultivos, los equi­pos y la maquinaria. En general, la industria cafetera es cada vez mayor, por lo que las iniciativas de inver­sión que pretenden mejorar la oferta son un factor re­levante para este sector.

En cuanto a la demanda, se puede observar un compor­tamiento creciente de tipo logístico. En la figura 1 se ob­serva que la variable crece hasta su valor máximo, de­terminado por el parámetro w, el cual está constituido por la demanda nacional más la internacional, siendo esta última superior al 80 % del total (Uu & Nam, 2017).

Finalmente, la variable stock evidencia la disminu­ción de los inventarios disponibles hasta ser agota­dos. Prontamente, se da la aparición de inventarios negativos, lo cual es ocasionado por el aumento de la demanda y las ventas efectivas. El inventario negativo representa las ventas que se darán debido a las me­joras en la capacidad instalada, lo que compromete ventas a futuro.

Retrato de fase para las variables oferta y demanda

Se muestra el retrato de fase para el modelo en cuanto a las variables de estado oferta y demanda, con el ob­jetivo de interpretar el flujo que adoptan las diferen­tes trayectorias del sistema al partir de un conjunto ar­bitrario de condiciones iniciales. En la figura 2 se pre­senta el retrato de fase para las variables oferta y de­manda, en el cual se puede observar cómo, a partir de distintas condiciones iniciales, el flujo lleva al sistema a conseguir un punto de equilibrio de tipo estable aproxi­madamente en la coordenada (17, 20) correspondien­te al punto de equilibrio obtenido para el modelo.

CONCLUSIONES

Este trabajo presentó una revisión detallada de las principales variables que afectan el mercado econó­mico del café colombiano, con el propósito de iden­tificar las características más relevantes del mercado presentadas en el modelo tridimensional planteado para las variables oferta, demanda y stock.

Por medio de la solución del modelo, se mostraron di­ferentes análisis para cada una de las variables. Para la oferta (x1), se observó que la producción representa un componente con gran influencia sobre el mercado, ya que la capacidad instalada interna adquiere un com­portamiento decreciente en el tiempo, lo que indica que en un tiempo finito la oferta tiende a desapare­cer debido a cuestiones de mantenimiento y falta de inversión.

Posteriormente, se incorporó un término lineal co­rrespondiente a una inversión constante con el ob­jetivo de modificar el comportamiento de la oferta. Luego, se encontró que la demanda para el sector ca­fetero colombiano es gobernada por la demanda de carácter internacional y que permanece en aumento hasta su capacidad máxima, dada por el parámetro w, permitiendo proponer una ecuación diferencial de tipo logístico.

En este modelo se encuentra que para la región donde x2 > x1+ x3 el sistema presenta cuatro puntos de equi­librio, de los cuales dos (P2 y P4) son los únicos admisi­bles para el modelo, pues los puntos P1 y P3 se obtie­nen para una oferta con valor negativo, como se men­cionó anteriormente.

En los puntos de equilibrio se obtiene uno de tipo silla cuando la demanda es 0, lo que explica que las trayec­torias del sistema son salientes en dicho punto. Por otro lado, cuando la demanda toma el valor de la ca­pacidad máxima de la misma, correspondiente a 20 millones de sacos de 60 kg, se obtiene un punto de equilibrio de tipo estable, comportamiento señalado en el retrato de fase (Guardia et-al., 2011).

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