Definición

α : ℕ x ℕ → ℕ

α (a,b) → ℕ, tal que

i) ∀m ∈ ℕ, α (m,o) = m + 0 = m

ii) ∀m,n ∈ ℕ, α (m,s(n)) = m + s(n) = s(m + n)

Dicho en otras palabras, las sumas de un número natural “m” con cualquier otro número natural “n” se obtienen por inducción, y de una manera ordenada.

Por ejemplo, no es posible saber quién es 7+4 si antes no conocemos quien es 7+3, y tampoco este último, si no conocemos quien 7+2, así sucesivamente.

El concepto suma en el nivel primario, es seguir contando (secuencia numérica), y restar significa, contar hacia atrás. Es decir, en la práctica 7+4 es el resultado de saltar desde la posición 7, 4 saltos adelante y llamar la suma 5+4 el número en el que ha caído en la secuencia numérica, en este caso cae en el número11.

Encontrar la suma de 3+2, como ejemplo de aplicación de la definición de adición en ℕ:

Cabe indicar, lo que se va determinar es el sucesor del número 4. Entonces aplicando sucesivamente la definición de adición en ℕ tenemos:

3+s(1) = s(3+1) = s(3+s(0)) = s(s(3+0)) = s(s(3)) = s(4)

Teorema 01

Si ∀m,n ∈ ℕ → m + n ∈ ℕ (Ley de composición interna)

Demostración por el Principio de Inducción Completa

Sea A = {m,n ∈ ℕ / m + n ∈ ℕ }

1. Si n = 0

m+0 Principio de sustitución

m Definición de adición

2. Si n = k → m + k ∈ ℕ Hipótesis

Si n = s(k) → m + s(k) ∈ ℕ Tesis

s(m+k) Definición de adición ℕ

s(m+k) ∈ ℕ Axioma (b)

Por tanto: A = ℕ

Teorema 02

∀m,n,p ∈ ℕ; m+(n + p) = (m+n) + p (Asociativa)

Demostración por el Principio de Inducción Completa

Sea A = {m,n,p ∈ ℕ / m +(n + p) = (m +n )+ p }

1. Si p = 0

m + (n + 0) = (m + n) + 0 Principio de sustitución

m + n = m + n Definición de adición

2. Si p = k → m + (n + k) = (m + n) + k Hipótesis

Si p = s(k) → m + (n + s(k)) = (m + n) + s(k) Tesis

m + s(n + k) Definición de adición

s[m + (n + k)] Definición de adición

s[(m + n) + k] Hipótesis

(m + n) + s(k) Definición de adición

Por tanto: A = ℕ

Teorema 03

∀m,n,p ∈ ℕ, ∃! 0 ∈ ℕ / 0 + m = m + 0 = m (Identidad aditiva)

Demostración por el Principio de Inducción Completa

Sea A = {m,n,p ∈ ℕ / 0 + m = m + 0 }

a) 0 + m = m + 0

1. m = 0

0 + 0 = 0 + 0 Principio de sustitución

0 = 0 Teorema de 01

2. Si m=k → 0+k = k+0 Hipótesis

Si m=s(k) → 0+s(k) = s(k)+0 Tesis

s(0+k) Definición de adición

s(k+0) Hipótesis

s(k) Definición de adición

s(k) + 0 Definición de adición

Por tanto: A = ℕ

b) m + 0 = 0 (Identidad aditiva por la derecha)

Demostración por el Principio de Inducción Completa

Sea A = {m∈ℕ/m+0 = 0, ∃!0∈ℕ}

1. m = 0

0 + 0 = 0 Principio de sustitución

0 = 0 Definición de adición

2. Si m = k → k + 0 = k Hipótesis

Si m = s(k) → s(k)+0 = s(k) Tesis

(k+1) + 0 Teorema: ∀m∈ℕ/ s(m)=m+1=1+m

k+(1+0) Asociativa aditiva en ℕ

k + 1 Definición de la adición

s(k) Teorema: ∀m∈ℕ/ s(m)=m+1=1+m

Por tanto: A = ℕ

c) 0+m = m (Identidad aditiva por la izquierda)

Demostración por el Principio de Inducción Completa

Sea A = {m∈ℕ/0+m = 0, ∃!0∈ℕ}

1. m = 0

0 + 0 = 0 Principio de sustitución

0 = 0 Teorema 01

2. Si m = k → 0 + k = k Hipótesis

Si m = s(k) → 0 + s(k) = s(k) Tesis

s(0+k) Definición de adición

s(k) Hipótesis

Por tanto: A = ℕ

Teorema 04

∀m,n ∈ ℕ / m + n = n + m (Conmutativa aditiva)

Demostración por el Principio de la Inducción Completa

Sea A = {m,n ∈ ℕ / n + m = m + n}

1. m = 0

0 + n = n + 0 Principio de sustitución

n = n Teorema de identidad aditiva

2. Si m = k → n+k = k+n Hipótesis

Si m = s(k) → n+s(k) = s(k)+n Tesis

n+(k+1) Teorema 05

(n+k) +1 Asociativa aditiva

(k+n) + 1 Hipótesis

(k+1) + n Asociativa aditiva

s(k) + n Teorema 05

Por tanto: A = ℕ

Teorema 05

∀m ∈ ℕ / s(m) = m + 1 = 1 + m

Demostración por el Principio de la Inducción Completa (PIC)

Sea A = {m∈ ℕ / s(m) = m+1}

a. s(m) = m + 1

Demostrando por el PIC

Sea A = {m∈ ℕ / s(m) = m+1}

1. m = 0

s(0) = 0+1 Principio de sustitución

s(0) = 1 Teorema 01

2. Si m = k → s(k) = k+1 Hipótesis

Si m=s(k) → s[s(k)]=s(k)+1 Tesis

s(k +1) Hipótesis

s(1+k) Teorema conmutativa aditiva

1+ s(k) Definición aditiva

Por tanto: A = ℕ

b. s(m) = 1 + m

Demostrando por el PIC

Sea A = {m∈ ℕ / s(m) = 1 + m}

1. m = 0

s(0) = 1 + 0 Principio de sustitución

s(0) = 1 Teorema 014

2. Si m = k → s(k) = 1 + k Hipótesis

Si m = s(k) → s[s(k)] = 1 + s(k) Tesis

s(1+k) Hipótesis

1 + s(k) Definición de adición

Por tanto: A = ℕ

c. ∀m ∈ ℕ / 1 + m = m + 1

Demostración por el PIC

Sea A = {m∈ ℕ / 1 + m = m+1}

1. m = 0

1+0 = 0+1 Principio de sustitución

0 = 0 Teorema de simetría aditiva

2. Si m = k → 1+k = k+1 Hipótesis

Si m = s(k) → 1+s(k) = s(k)+1 Tesis

1+(k+1) Teorema 05 (a)

(1+k) + 1 Asociativa aditiva

s(k)+1 Teorema 05 (b)

Por tanto: A = ℕ

Teorema 06

Si m + p = n + p → m = n (cancelativa)

Demostración por el PIC

Sea A = {m,n,p ∈ ℕ / m + p = n + p → m = n}

1. p = 0

m+0 = n+0 Principio de sustitución

m = n Definición aditiva

2. Si p = k → m + k = n + k Hipótesis

Si p = s(k) → m + s(k) = n + s(k) Tesis

s(m + k) Definición aditiva

s(n + k) Hipótesis

n + s(k) Definición aditiva

Por tanto: A = ℕ

Teorema 07

El sucesor de un número es diferente al número, es decir s(m) ≠ m

Demostración por el PIC

Sea A = {x∈ℕ/s(x) ≠ x}

1. x = 0

s(0) ≠ 0 Principio de sustitución

2. Si x = k → s(k) ≠ k Hipótesis

Si x = s(k) → s(s(k)) ≠ s(k) Tesis

s(k + 1) ≠ s(k) Teorema 05 (a) de la adición

k + 2 ≠ s(k) Teorema 05 (a) de la adición

k + 2 ≠ k + 1 Teorema 05 (a) de la adición

Por tanto: A = ℕ

Teorema 08

∀x ≠ 0 ∈ ℕ, ∃!y ∈ ℕ / x = s(y)

Demostración

Sea A = {0} ∪ s(ℕ)

1. 0 ∈ A, dado que 0 ∈ {0}

2. Si x∈A → s(x)∈A, toda vez que s(x) ∈ s(ℕ)

Por tanto: A = ℕ

Teorema 09

∀x,y,z ∈ ℕ, y ≠ z → x + y ≠ x + z

Demostración por el PIC

Sea A = {x,y,z ∈ ℕ / y ≠ z → x + y ≠ x + z}

1. x = 0

y ≠ z → 0 + y ≠ 0 + z Principio de sustitución

y ≠ z → y ≠ z Teorema simétrico aditivo

2. Si x = k → y ≠ z → k + y ≠ k + z Hipótesis

Si x = s(k) → y ≠ z → s(k) + y ≠ s(k) + z Tesis

k + y ≠ k + z → s(k + y) ≠ s(k + z) Función inyectiva

s(y + k) ≠ s(z + k) Teorema conmutativa aditiva

y + s(k) ≠ z + s(k) Definición aditiva

s(k) + y ≠ s(k) + z Teorema conmutativo aditivo

Por tanto: A = ℕ

Definición

α : ℕ x ℕ → ℕ

α (a,b) → ℕ, tal que

i) ∀m ∈ℕ, α (m,o) = m . 0 = 0

ii) ∀m,n ∈ℕ, α (m,s(n)) = m . s(n) = mn + m

Teorema 10

∀m,n ∈ℕ; m . n ∈ ℕ

Demostración por el PIC

Sea A = {m,n ∈ ℕ / m . n ∈ ℕ}

1. n = 0

m . 0 Principio de sustitución

0∈ℕ Definición multiplicativa

2. Si n = k → m . k ∈ ℕ Hipótesis

Si n = s(k) → m . s(k) ∈ℕ Tesis

m . k + m Definición de multiplicación

Pero m . k ∈ ℕ y m∈ ℕ, entonces

m . s(k) ∈ℕ

Por tanto, A = ℕ

Teorema 11

a. ∀a,b,c∈ℕ; a (b+c) = ab + ac (distributiva multiplicativa con respecto a la adición por la izquierda)

Demostración por el PIC

Sea A = {a,b,c ∈ℕ/ a (b + c) = a b + a c }

1. c = 0

a (b + 0) = a b + a 0 Principio de sustitución

a b = a + 0 Definición aditiva y multiplicativa

a b = a b teorema simétrica aditiva

2. Si c = 0 → a (b + k) = a b + a k Hipótesis

Si c = s(k) → a (b + s(k)) = a b + a s(k) Tesis

a s(b + k) Definición aditiva

[a (b + k) + a] Definición multiplicativa

(a b + a k) + a Hipótesis

a b + (a k + a) Teorema asociativa aditiva

a b + a s(k) Definición multiplicativa

Por tanto, A = ℕ

b. ∀a,b,c∈ℕ; (b+c) a = ba + ca (distributiva multiplicativa con respecto a la adición por la derecha)

Demostración por el PIC

Sea A = {a,b,c ∈ℕ/ (b + c) a = b a + c a}

1. a = 0

(b + c) 0 = b 0 + c 0 Principio de sustitución

0 = 0 + 0 Definición de multiplicación

0 = 0 Teorema 01

2. Si a = k → (b + c) k = b k + c k Hipótesis

Si a=s(k) → (b + c) s(k) = b s(k) + c s(k) Tesis

(b + c) k + (b + c) Definición multiplicativa

(b k + c k) + (b + c) Hipótesis

(b k + b) + (c k + c) Teorema asociativa aditiva

b s(k) + c s(k) Definición multiplicativa

Por tanto A = ℕ

Teorema 12

∀a,b,c ∈ℕ; (a . b) . c = a . (b . c) (asociativa multiplicativa)

Demostración por el PIC

Sea A = {a,b,c ∈ℕ/ (a . b) . c = a . (b . c)}

1. c = 0

(a b) 0 = a (b 0) Principio de sustitución

a b = a b Definición multiplicativa

2. Si c = k → (a b) k = a (b k) Hipótesis

Si c=s(k) → (a b) s(k) = a (b s(k)) Tesis

(a b) k + (a b) Definición multiplicativa

a (b k) + a b Hipótesis

a (b k + b) Teorema de la distributiva (izquierda)

a (b s(k)) Definición multiplicativa

Por tanto, A = ℕ

Teorema 13

∀a ∈ℕ, ∃!1∈ℕ/ a . 1 = 1 . a = a (Simetría multiplicativa)

Este teorema requiere tres aspectos que debemos demostrar:

a) a . 1 = a

Demostración por el PIC

Sea A = {a,b ∈ℕ/ a . 1 = a}

1. a = 0

0 . 1 = 0 Principio de sustitución

1 . 0 = 0 Conmutativa multiplicativa

0 = 0 Definición multiplicativa

2. Si a = k → k . 1 = k Hipótesis

Si a = s(k) → s(k) . 1 = s(k) Tesis

(k + 1) . 1 Teorema 05 (a) de la adición

k . 1 + 1 . 1 Distributiva multiplicativa de la adición por la derecha

k + 1 Hipótesis y Teorema 01

s(k) Teorema 05 (a)

Por tanto, A = ℕ

b) 1 . a = a

Demostración por el PIC

Sea A = {a,b ∈ℕ/ 1 . a = a}

1. a = 0

1 . 0 = 0 Principio de sustitución

0 = 0 Definición multiplicativa

2. Si a = k → 1 . k = k Hipótesis

Si a = s(k) → 1 . s(k) = s(k) Tesis

1 . k + 1 Definición multiplicativa

k + 1 Hipótesis

s(k) Teorema 05 (a) de la adición

Por tanto, A = ℕ

c) 1 . a = a . 1

Demostración por el PIC

Sea A = {a,b ∈ℕ/ 1 . a = a . 1}

1. a = 0

1 . 0 = 0 . 1 Principio de sustitución

1 . 0 = 1 . 0 Conmutativa multiplicativa

0 = 0 Definición multiplicativa

2. Si a = k → 1 . k = k . 1 Hipótesis

Si a = s(k) → 1 . s(k) = s(k) . 1 Tesis

1 . k + 1 Definición multiplicativa

k . 1 + 1 Hipótesis

k . 1 + 1 . 1 Simetría multiplicativa

(k + 1) . 1 Distributivo multiplicativa de la adición por la derecha

s(k) . 1 Teorema 05 (a) de la adición

Por tanto, A = ℕ

Teorema 14

∀a,b ∈ℕ; a . b = b . a (conmutativa multiplicativa)

Demostración por el PIC

Sea A = {a,b ∈ℕ/ a . b = b . a}

1. b = 0

a . 0 = 0 . a Principio de sustitución

0 = 0 Definición multiplicativa

2. Si b = k → a . k = k . a Hipótesis

Si b = s(k) → a . s(k) = s(k) . a Tesis

a . k + a Definición multiplicativa

k . a + a Hipótesis

k . a + 1. A Simetría multiplicativa

(k+1) . a Distributiva multiplicativa de la adición por la derecha

s(k) . a Teorema 05 (a)

Por tanto, A = ℕ

Teorema 15

Dados a,b ∈ ℕ. Si ab = 0, entonces a = 0 ó b =0 (se dice que si esto es cierto, entonces en ℕ, no hay divisores de cero)

Demostración por el absurdo

Supongamos que a ≠ 0

Evidentemente 0 (cero) cumple con a . 0 = 0

Sabemos que a . s(b) = a . b + a,

Luego: a . s(b) = a . b + a = 0 → ab = 0 y a = 0

Contrario a lo supuesto de que a ≠ 0, esto es,

a . s(x) = 0 (a por el sucesor de cualquier número es igual a cero, entonces a = 0)

Como cualquier número natural excepto el cero es sucesor de otro natural y cero es el único que no es sucesor de otro, entonces b no es sucesor de ninguno.

Por lo tanto: b = 0

Teorema 16

Sean a,b,c ∈ℕ. Si ac = bc → a = b

Demostración

Supongamos que c ≠ 0

Si ac = bc (identidad) y consideramos que

a . s(c) = b . s(c)

Por definición de multiplicación

ac + a = bc + b……… (1)

Pero ac = bc

Reemplazando en (1)

ac + a = ac + b

Por el teorema de cancelación aditiva

a = b

Corolario 01

Si ab = b y b ≠ 0 entonces a = 1 (demostración para el culto lector)

Teorema 17

Si a ≠ 1, entonces ab ≠ 1

Demostración por el PIC

Sea A = {a,b ∈ℕ/ ab ≠ 1, a ≠ 1}

1. b = 0

a . 0 ≠ 1 Principio de sustitución

0 ≠ 1 Definición multiplicativa

2. Si b = k → b . k ≠ 1 Hipótesis

Si b = s(k) → b . s(k) ≠ 1 Tesis

b . k + b Definición multiplicativa

Pero por hipótesis, tenemos que b . k ≠ 1 y a ≠ 1

Entonces, b . k + b = 0

Por tanto, A = ℕ

Corolario 02

Si ab = 1, entonces a = 1 y b = 1 (demostración para culto lector)

Potenciación en el conjuntos de los números naturales

Definición

α : ℕ x ℕ → ℕ

α (a,b) → ℕ, tal que

i) ∀m ∈ℕ, α (m,o) = m0 = 1; m≠0

ii) ∀m,n ∈ℕ, α (m,s(n)) = mS(n) = mn+1 = mn + m; m≠0

Teorema 18

La potenciación de dos números naturales es otro natural.

∀x,y ∈ℕ/ xy ∈ℕ

Demostración por el PIC

A = { x,y ∈ℕ/ xy ∈ℕ}

1. y = 0

x0 Principio de sustitución

1∈ℕ Definición de potenciación

2. Si y = k → xk ∈ ℕ Hipótesis

Si y = s(k) → xs(k) ∈ ℕ Tesis

xk + x ∈ ℕ Definición de potenciación

Pero x∈ ℕ ⋀ xk ∈ ℕ

Luego xs(k) ∈ ℕ

Por tanto, A = ℕ

Teorema 19

0b = 0, ∀b ∈ℕ, b≠0

Demostración

Si b≠0, entonces b = s(q), para algún q ∈ℕ

Por definición de potenciación, tenemos

ab = as(q) = aq . a = 0q . 0 = 0 (hemos hecho a = 0)

Otra solución

0b = 0, ∀b ∈ℕ, b≠0

Demostración por el PIC

A = { b ∈ℕ / 0b = 0, si b ≠ 0}

1. b = 1

01 = 0 Principio de sustitución

0 = 0 Definición de potenciación

2. Si b = k → 0k = 0 Hipótesis

Si b = s(k) → 0s(k) = 0 Tesis

0k . 0 Definición de potenciación

0 .0 = 0 Hipótesis

Por tanto, A = ℕ

Teorema 20

Sean a,b,c ∈ℕ/ (ab)c = ac . bc

Demostración por el PIC

A = {a,b,c ∈ℕ/ (ab)c = ac . bc }

1. c = 0

(ab)0 = a0 . b0 Pprincipio de sustitución

1 = 1 . 1 Definición de potenciación

1 = 1 Teorema 10

2. Si c = k → (ab)k = ak . bk Hipótesis

Si c = s(k) → (ab)s(k) = as(k) . bs(k) Tesis

(ab)k . (ab) Definición de potenciación

(ak . bk ) . (ab) Hipótesis

(ak . a) (b . bk ) Asociativa multiplicativa

as(k) . bs(k) Definición de potenciación

Por tanto, A = ℕ

Teorema 21

Sean a,b,c ∈ℕ/ ab . ac = ab+c

Demostración por el PIC

A = {a,b,c ∈ℕ/ ab . ac = ab+c }

1. c = 0

ab . a0 = ab+0 Principio de sustitución

ab . 1 = ab Definición de potenciación y adición

ab = ab Definición de multiplicación

2. Si c = k → ab . ak = ab+k Hipótesis

Si c = s(k) → ab . as(k) = ab+s(k) Tesis

ab . (ak . a) Definición de potenciación

(ab . ak ) . a Asociativo multiplicativo

ab+k . a Hipótesis

ab+s(k) Definición de potenciación

Por tanto, A = ℕ

Teorema 22

Sean a,b,c ∈ℕ / (ab )c = abc

Demostración por el PIC

A = {a,b,c ∈ℕ / (ab )c = abc}

1. c = 0

(ab )0 = ab . 0 Principio de sustitución

1 = a0 Definición de potenciación y multiplicación

1 = 1 Definición de potenciación

2. Si c = k → (ab )k = ab.k Hipótesis

Si c = k → (ab )s(k) = ab.s(k) Tesis

(ab )k . (ab) Definición de potenciación

ab.k . ab Hipótesis

ab.k + b Teorema 21

ab.s(k) Definición de multiplicación

Por tanto, A = ℕ

Teorema 23

Si 0 < a < b y x > 0, entonces a x < b x

Demostración por el PIC

A {a,b,x ∈ℕ / a x < b x , 0 < a < b y x > 0}

1. x = 1

Si a < b

a1 < b1 Definición de potenciación

Si x = 1, entonces

a x < b x

2. Si x = k → a k < b k Hipótesis

Si x = s(k) → a s(k) < b s(k) Tesis

Sabemos que:

a x < b x …… (1)

a < b …….. (2)

Sumando las ecuaciones y (1) con (2)

a x + 1 < b x + 1

a s(k) < b s(k) Definición de potenciación

Por tanto, A = ℕ

Teorema 24

a > 0 ⟺ a x > 0, ∀a,x ∈ℕ

Demostración por el PIC

A {a,x ∈ℕ / a > 0, a x > 0}

1. x = 0

a0 = 1 > 0

a0 > 1

ax > 0

2. x ∈A → s(x) ∈A

ax > 0 → as(x) > 0

a > 0

ax . a > 0 Multiplicando miembro a miembro

a s(x) > 0 Definición de potenciación

Por tanto, A = ℕ

Definición

∀a∈ ℕ, definimos la expresión sn(a) como:

sn(a) = s(s(s(s…s(a)))…)

Ejemplos:

1. s4 (2)

s ( s ( s ( s ( 2 ) ) ) = s ( s ( s (2 +1) = s ( s (2+1+1) = s(2+1+1+1) = 2+1+1+1+1 = 2 + 4 = 6

2. s5 (3)

s(s(s(s(s(3))))) = s(s(s(s(3+1)))) = s(s(s(3+1+1))) = s(s(3+1+1+1)) = s(3+1+1+1+1) = 3+1+1+1+1+1 = 3 + 5 = 8

3. s3 (0)

s(s(s(0))) = s(s(0+1)) = s(0+1+1) = 0+1+1+1 = 0 + 3 = 3

Definición

i. Se dice que a es mayor que b, y se denota a > b, si existe un único elemento x∈ℕ-{0} , tal que a = b + x, o sea:

a > b, si ∃!x∈ℕ – {0} / a = b + x

a > b, si ∃!x∈ℕ – {0} / a = sx(b)

Ejemplo

7 > 4, si ∃! 3∈ℕ ∧ 3 ≠ 0 / 7 = 4 + 3

ii. Se dice que a es menor que b, y se denota a < b, si existe un único elemento x∈ℕ – {0}, tal que b = a + x

a < b, si ∃!x∈ℕ – {0} / b = a + x, ó

a < b si ∃!x∈ℕ – {0} / b = sx(a)

Ejemplo

a. 4 < 6 si ∃! 2∈ℕ ∧ 2 ≠ 0 / 6 = s2(4)= s(s(4)= s(4+1) = 4+1+1 = 4+2

b. 4 < 6 si ∃! 2∈ℕ ∧ 2 ≠ 0 / 6 = 4+2

iii. Se dice que x es menor o igual que y, el cual se denota x ≤ y, si x < y ó x = y

Teorema 25

La relación menor es una relación transitiva. O sea:

Si a < b ∧ b < c entonces a < c

Demostración

Si a < b entonces a = b + n, n∈ℕ……. (1)

Si b < c entonces b = c + m, m∈ℕ…… (2)

Sumando las ecuaciones (1) con (2), tenemos

a + b = b + c + (n + m)

a = c + (n + m) Teorema 06

Pero n + m = z∈ℕ. Entonces

a = c + z

Por definición de ordenación

a < c, ∃! z∈ℕ ∧ z≠0

Teorema 26

La relación menor o igual es una relación de orden, es decir:

i. Reflexiva:

∀x∈ℕ, x ≤ x

Demostración

x = x

Por definición de ordenación (iii)

x ≤ x

ii. Antisimétrica

Si x ≤ y ∧ y ≤ x entonces x = y

Demostración

x ≤ y ∧ y ≤ x

Por definición de ordenación

x ≤ y, ∃! a∈ℕ ∧ a ≠ 0 / y = x + a…… (1)

y ≤ x, ∃! b∈ℕ ∧ b ≠ 0 / x = y + b…… (2)

Sumando 1 con 2

(x + y) = (x + y) + (a + b)

0 = a + b Teorema 06

La suma de a con b, nos permite indicar que: a = b = 0

Reemplazando en la ecuación (1), tenemos

x = y

iii. Transitiva

Si x ≤ y ∧ y ≤ z entonces x ≤ z

Demostración

x ≤ y, ∃! a∈ℕ ∧ a ≠ 0 / y = x + a…… (1)

y ≤ z, ∃! b∈ℕ ∧ b ≠ 0 / z = y + b…… (2)

Sumando las ecuaciones (1) con (2)

y + z = x + a + y + b

z = x + (a +b) Teorema 06

Pero si a + b = w∈ℕ, entonces

z = x + w, w∈ℕ

x ≤ z Definición de ordenación

Teorema 27

No existe ningún natural k, tal que a < k < s(k)

Demostración por el absurdo

Supongamos que si ∃k ∈ ℕ ∧ a < k < s(k) entonces ∃m ∈ ℕ, m ≠ 0, siempre que:

Si a < k, entonces a + m = k……..…..(1)

Además ∃n ∈ ℕ ∧ n ≠0, con la condición:

Si k < s(a), entonces k + n = s(a).……(2)

Sumando las ecuaciones (1) con (2)

(a + m) + (k + n) = k + s(a)

a + (m + n) + k = k + s(a) Asociativa aditiva

a + (m + n) = s(a) Teorema 06

a + (m + n) = a + 1 Teorema 05 (a) aditivo

m + n = 1 Teorema 06

De aquí tenemos dos opciones

i. m = 0 y n = 1

ii. m = 1 y n = 0

Apreciamos que tanto (i) como (ii), se contradicen el hecho de que m≠0 ∧ n≠0

Por tanto: k ∉ (a < k < s(k))