INTRODUCCIÓN

El Teorema de los Números Primos (TNP) fue enunciado por primera vez a finales del siglo XVIII por Carl Friedrich Gauss y Adrien Marie Legendre ambos conjeturaron que

El primer intento de su demostración fue por el matemático ruso Pafnuty Lvóvich Chebyshev, en dicho trabajo demostró que si se hace aproximadamente a la función del orden con un entero positivo muy grande previamente fijado, entonces la aproximación

sería . Además, se deduce que si el límite de la conjetura de los números primos existe debe ser igual a 1.

En 1859, para entrar en la Academia de las Ciencias de Berlín, el alemán Bernhard Riemann redactó sólo ocho páginas, pero en esas páginas se encontraba el camino para llegar al teorema de los Números Primos. La esencia de este documento es que Riemann conecto la función con la función zeta de Euler

Pero el salto de gigante que hizo Riemann, es que considera como una función de variable compleja. Además, una serie de afirmaciones sobre el problema de la demostración del TNP que investigadores posteriores se encargarían de demostrar. La sorpresa ocurrió antes del siglo XX, cuando el francés Jacques Salomon Hadamard y el belga Charles Jean Étienne Gustave Nicolas de la Vallée Poussin, quienes fueron los que demostraron el teorema de forma independiente. Para más información histórica, ver (Trujillo, 2016).

1. Plan de la demostración

La clave de la demostración elemental del Teorema de los Números Primos (TNP), es la fórmula asintótica de Selberg, que establece $\textcolor{red}{}$

De esta fórmula se deduce el TNP. El primer paso es expresar la fórmula (1), de una manera más conveniente que involucre

La fórmula (1) tiene como consecuencia la desigualdad integral

Cuando entonces , esto último es equivalente a demostrar el TNP.

Si definimos , entonces el TNP es equivalente demostrar que . Esto se demuestra suponiendo que para llegar así a una contracción. De la definición de obtenemos que

Donde cuando . Si de (1) y (2) obtenemos que

Con y , cuando . Si hacemos que en (3) obtenemos que y esto es una contradicción.

2. Algunas fórmulas asintóticas de Selberg

La siguiente demostración es producto del trabajo de Tatuzawa e Iseki en 1951.

Teorema 1. Sea (o ) y .

Demostración

Podemos expresar como,

Utilizando la identidad

Obtenemos

Sumando (4) y (5), obtenemos

Haciendo obtenemos

Identificando como en la función definida al principio y obtenemos

Lema 1. Para todo tenemos que

Lema 2. Para todo tenemos que

Teorema 2. (Fórmula asintótica de Selberg) Para obtenemos que

Demostración

Usando el teorema 1, en la función

y también en ,

donde es la constante de Euler-Mascheroni. Utilizando a tenemos

Por el lema 1, obtenemos que

y con respecto a F2 , tenemos lo siguiente

Restando las funciones y , obtenemos que . Tomaremos la estimación débil . Aplicando el teorema 1 en las funciones , y restando las dos relaciones resultantes, obtenemos

Considerando la diferencia

Ordenando los términos y utilizando el lema 2, resulta lo siguiente

El siguiente teorema recoge cuatro ecuaciones que son lógicamente equivalentes.

Teorema 3.

Teorema 4. Para suficientemente grande, tenemos que

Demostración

Notemos que si n=1, entonces

Para , obtenemos

Además, tenemos que

Por otro lado, observamos que

Aplicando (6), (7) y (8) a la función , se demuestra que

Otro resultado importante es el siguiente

Teorema 5. Sea un exponente fijo y con suficientemente grande, tenemos que

Demostración

Ver (Trujillo, 2016).

Teorema 6. Con suficientemente grande, tenemos

La demostración de este resultado depende de la conexión de la función con la función definida de la siguiente forma: para escribimos

y también del resultado del teorema 5 y las propiedades de las funciones involucradas, ver (Trujillo, 2016).

3. Proposición de suavizado

Para todo ,

. Se puede determinar que la función es creciente, para suficientemente grande, tenemos que .

Supongamos que . Además, como es creciente, obtenemos:

Nuestro objetivo principal es demostrar que R(x)=0(x) , usando las desigualdades de Selberg.

Consideremos lo siguiente

Por el teorema 3 (ii), tenemos que

En conclusión, tenemos que

y esto equivalente a

Para , sustituyendo x por x/n (el índice de la sumatoria cambia de n a m ) en el resultado anterior

Combinando los dos resultados anteriores obtenemos

Esto último lo usaremos, pero necesitamos dos resultados primero

y también que

Con estos dos resultados obtenemos que

Consideremos la siguiente sucesión

entonces tenemos que

Si tomamos la siguiente suma

Por la desigualdad de Selberg, siempre que sea suficientemente grande

Vamos a partir desde este punto, pero necesitamos el resultado de suavizado. Antes de eso un resultado conocido del análisis real

Lema 3. Si {a_n} y {b_n} son dos sucesiones de números reales, definimos

Entonces se tiene la identidad

Teorema 7. Para todo sea definido en (9). Con suficientemente grande tenemos lo siguiente

La demostración de este resultado se determina al considerar la sucesión y

para y aplicando el lema 3.

4. Una dirección logarítmica

Para todo , definimos

Evocando el siguiente resultado del análisis

Lema 4 (Teorema de Tonelli) Sean dos espacios de medida medible. Entonces

son medibles y

o bien

Escribiendo , con la sustitución en lo que sigue

Esto es posible, ya que el integrando es no negativo y por el lema 4 el valor de la integral es independiente del orden. Además, la región de integración; es el conjunto de puntos que comprende el dominio de integración para

Es lo cual corresponde exactamente al dominio de la doble integral

Entonces tenemos que

Es claro que es acotado, cuando . Entonces,

están bien definidas.

Observación. cuando . La desigualdad no funciona si es reemplazado por un número pequeño.

Por otro lado, cuando tenemos que

y entonces se sigue de (10) que

y entonces . Así, obtenemos que .

5. Últimos pasos para la deducción del teorema

El Teorema de los Números Primos es equivalente probar que , cuando , en otras palabras, cuando . Asumiremos lo contrario que , y deduciremos una contradicción que . Vamos a requerir algunos resultados

Teorema 8 Existe constantes positivas y tales que se obtiene

(i) Para todo y satisfaciendo , tenemos que

Demostración

Vamos a probar (i), usaremos la identidad de Abel con obteniendo

y siguiendo el lema 2, y que tenemos

Escribiendo y , tenemos

lo cual es equivalente decir que se cumple (i).

Vamos a probar (ii), utilizando con la desigualdad (iv) del teorema 3. Si , entonces tenemos

Sustrayendo (11) de la desigualdad (iv) del teorema 3 y notando que la suma

es no negativa y que la función es creciente, tenemos

y entonces

Supongamos que . Entonces escribimos , tenemos que siguiendo de (12) que

Por el teorema de valor medio para las derivadas se obtiene que

Para algún satisfaciendo . Entonces

El resultado (ii) se deduce.

Supongamos ahora que

Escogiendo un adecuado y fijándolo posteriormente, podremos estudiar el comportamiento de la función en un intervalo . La es estrictamente decreciente en los puntos de continuidad, con un salto positivo en los puntos de discontinuidad. Considerando el intervalo abierto , es suficiente

considerar que existe en , tal que cambia de signo al menos una vez en .

El primer paso, escribimos

Entonces

Existe una constante positiva , que depende de , tal que

donde

En el segundo caso, si cambia de signo en , escribimos

Entonces

Si no cambia de signo en , entonces

En cualquier caso, tenemos

Y entonces, escribimos , tenemos que

Existe una constante positiva , que depende de , tal que

Donde . Ahora sea

Entonces

Para un número real suficientemente grande , sea los enteros satisfaciendo las desigualdades

Entonces

Tenemos que

Llegando a una contradicción, así hemos probado el Teorema de los Números Primos.

CONCLUSIONES

El interés histórico en los números primos ha permitido construir y demostrar resultados matemáticos cuya aplicación han influido en el desarrollo de la civilización.

Como hemos visto el Teorema de los Números Primos y la hipótesis de Riemann guarda una relación especial con las fórmulas asintóticas.

Referencias

Apostol, T.M. (2009). Análisis Matemático, Barcelona, España: Reverté.

Apostol, T.M. (2014). Introducción a la teoría analítica de números, Barcelona, España: Reverté.

Erdös, P. (1949). On a New Method in Elementary Number theory which Leads to An Elementary Proof of The Prime Number Theorem, National Academy of Sciences, 35(7), 374-384.

Levinson, N. (1969). A Motivated Account of An Elementary Proof of The Prime Number Theorem, The American Mathematical Monthly,76(3), 225-245.

Newman, D. (1980). Simple Analytic Proof of The Prime Number Theorem, The American mathematical Monthly, 87(9), 693-696.

Selberg, A. (1949). An Elementary Proof of The Prime Number Theorem, Annals of Math, 50(2), 305-313.

Tatuzawa, T., y Iseki, K. (1951). On Selberg’s Elementary Proof of The Prime Number Theorem, Proceedings of the Japan Academy, Series A, 27(7), 340-342.

Trujillo, J. (2016). El Teorema de los Números Primos (tesis de pregrado). Universidad de Panamá, Panamá.