1. Introducción

El conocimiento del vector de estados es importante para muchas tareas control, por ejemplo, cuando se implementa una ley de control por retroalimentación de estados (Mahmoud, 1982), para la estimación de entradas desconocidas (Guan, 1991), para el diagnóstico y aislamiento de fallas (Frank, 1990), entre otros. Desde su aparición en (Luenberger, 1971), los observadores de estados son comúnmente utilizados para acceder a estas señales no directamente disponibles en función de las mediciones de las variables de salida y control (Ogata, 2001).

El uso de métodos lineales prevalece por su simplicidad;sin embargo, al aplicarlos a sistemas no lineales, los resultados son sólo válidos localmente (Khalil, 2002). Técnicas no lineal es como los modos deslizantes (Spurgeon, 2008), esquemas adaptativos (Lor ́ıa et al., 2009), enfoques de geometría diferencial (Noh et al., 2004), observadores de alta ganancia (Besanc ̧on,2003), o combinaciones de ́estos (Boizot et al., 2010; Oh and Khalil, 1997), requieren cierta estructura del modelo o realizantransformaciones no lineales.

Este trabajo adopta un modelado convexo cuya estructura final es similar a los modelos Takagi-Sugeno (TS) (Takagi and Sugeno, 1985) y lo combina con el método directo de Lyapunova fin de obtener condiciones en términos de desigualdades matriciales lineales (LMIs, por sus siglas en inglés) (Boyd et al.,1994). Un modelo tipo TS o convexo es una colección de modelos lineales interconectados por funciones escalares y no lineales (también conocidas como funciones de ponderación) que mantienen la propiedad de suma convexa en un conjunto compacto (Tanaka and Wang, 2001; Lendek et al., 2010). Si el modelo convexo es el resultado del sector no lineal (Ohtake et al.,2001), entonces es una representación exacta del sistema no lineal. Las condiciones en forma de LMI son preferidas porque se pueden resolver en tiempo polinomial mediante técnicas de optimización convexa (Scherer, 2004). Existen varios enfoquespara el dise ̃no de controladores y observadores dentro de esta área, tanto para sistemas de tiempo continuo (Bernal and Guerra, 2010; Sala et al., 2011; Campos et al., 2013; Lee and Kim,2014), como para sistemas de tiempo discreto (Guerra and Vermeiren, 2004; Kruszewski et al., 2008;Ding, 2010); estos ́últimos han mostrado mayor desarrollo debido a que las llamadas funciones de Lyapunov no cuadráticas (convexas) no presentan el inconveniente de las derivadas de las funciones de ponderación (González et al., 2016). Este trabajo se enfoca en sistemas de tiempo discreto.

Sin embargo, en el diseño de observadores hay un problema abierto, a saber: si las variables de ponderación no son medibles, las condiciones de diseño se vuelven complicadas y difíciles de expresar como LMIs. Trabajos recientes abordan este problema empleando el teorema diferencial de valor medio (DMVT por sus siglas en ingles) (Ichalal et al., 2010), enfoques robustos mediante H∞para mitigar la influencia de los parámetros desconocidos (Guerra et al., 2018), restricciones de tipo Lipschitz (Rajamani, 1998; Bergsten and Driankov, 2002); más recientemente en (Ichalal et al., 2018) se propone una transformación, mientras que en (Chadli and Karimi, 2012) se emplean argumentos de robustez propios de sistemas inciertos. En este trabajo, las ideas de (Quintana et al., 2020) son utilizadas para resolver este problema mediante manipulaciones algebraicas para factorizar la señal de error al lado izquierdo de la ecuación en diferencias.

Por otro lado, una clase muy amplia de sistemas puede ser representada por sistemas descriptores (Luenberger, 1971),especialmente en mecánica, biomecánica y mecatrónica, don-de la matriz del descriptor es invertible (Lewis et al., 2003)1. Para esta clase de sistemas descriptores, en (Estrada-Manzoet al., 2014) se diseña un observador convexo, mientras que en(Estrada-Manzo et al., 2016) se proporciona su generalización. Ambos enfoques utilizan el Lema de Finsler para evitar invertirla matriz del descriptor al involucrar la dinámica del error con la función de Lyapunov. El caso de los observadores para sistemas singulares se estudia en (L ́opez-Estrada et al., 2017); esta clase de sistemas está fuera del alcance del presente trabajo.

Contribución: Desarrollo de observadores convexos para sistemas descriptores no lineales a través de una metodología sistemática que permita escribir el sistema del error de forma convexa y exacta tal que el método directo de Lyapunov se pueda utilizar para encontrar condiciones de diseño en forma de LMIs. La metodología propuesta reduce conservatividad al evitar el cálculo de cotas Lipschitz, del teorema diferencial del valor medio o enfoques propios de sistemas inciertos.

El resto del documento está organizado de la siguiente manera: la sección 2 plantea el problema, proporciona lemas y notación; la sección 3 establece las condiciones LMI para el diseño de observador no lineal a través de modelos convexos; la sección 4 ilustra la propuesta a través del péndulo de Furuta; la sección 5 concluye este trabajo.

2. Planteamiento del Problema

Considere un sistema descriptor no lineal en tiempo discreto de la forma:

donde x_k∈R_n es el vector de estados, u_k∈R_m es el vector de entradas, y_k∈R_q es el vector de salidas; A(x_k), B(y_k), C(x_k), y E(y_k) son funciones matriciales cuyos elementos son suaves y están acotados en el conjunto compacto Ω_x⊂R_n, que incluye el origen. En este trabajo sólo se considera el caso particular cuandoE(·) es de rango completo para x_k∈Ω_x, es decir, de(1) siempre es posible obtener una representación en espacio de estados estándar:

Los argumentos de funciones serán omitidos cuando su significado pueda inferirse del contexto.

El problema del diseño de observadores no lineales se enfrenta con el estudio de un sistema del error con la forma e_k+1=(f(y_k)−L(y_k))e_k+φ(x_k)−φ(ˆx_k), donde e_k=x_k−x_k es el error de observación, x_k es el estado estimado, L(·) es la ganancia del observador, f(·) yφ(·) son continuamente diferenciales y acotadas. En la literatura sobre modelos convexos, la mayoría de los autores sólo consideran variables de ponderación medibles y por tanto φ(x_k)−φ( x_k)=0 (Guerra et al.,2012). Al considerar variables de ponderación no disponbles, la expresión φ(x_k−φ( x_k) es tratada por medio de cotas Lipschitz (Bergsten and Driankov, 2002), o como una perturbación a través enfoques de control H∞(Ichalal et al., 2008), o como una incertidumbre vía enfoques para sistemas inciertos (Chadli and Karimi, 2012); otros utilizan el teorema diferencial de valor medio (Guerra et al., 2018) o transformaciones para extender el vector de estado (Ichalal et al., 2018). Sin embargo,los primeros enfoques no son realistas al no incluir variables no medibles, los segundos son aproximaciones conservativas del problema mientras que los ́últimos incrementan la complejidad computacional y son válidos para casos particulares; ninguno de ellos estudia observadores para sistemas de la forma (1).

En este trabajo, se retoman los desarrollos propuestos por Quintana et al. (2020) y se aplican a sistemas de la forma (1) para expresar el sistema del error como E(y_k)e_k+1=( ̄f(·)−L(·))e_k; entonces la variación de la función Lyapunov a lo largo delas trayectorias del sistema sea puede escribir como ∆V(e)=eT_kQ(·)ek_y por tanto se garantice que ∆V(e)<0 siQ(·)<0, esto último de manera sistemática a través de modelos convexos y desigualdades matriciales lineales. Entonces, con lo anterior en mente, se adopta la siguiente estructura de observador:

donde ˆx_k∈Rⁿ es el estado del observador, ˆy_k=C( ˆx_k, y_k) ˆx_k es la salida del observador y L( ˆx_k, y_k)∈R^n×qes una ganancia de observador no lineal que será diseñada tal que el error de observación e_k tienda a cero a medida que k tiende a infinito. Note que la ganancia del observador no lineal depende de todas las señales disponibles, por esto la distinción en la matriz A( ˆx_k, y_k). La dinámica del error es:

donde ̄A(x_k,ˆx_k)e_k=A(x_k)x_k−A( ˆx_k,y_k) ˆx_k, ̄C(x_k,ˆx_k) e_k=C(xk)xk−C( ˆx_k,y_k) ˆx_k tienen entradas acotadas en Ω_x×Ωˆ_x. En (Quintana et al., 2020), se demuestra que (4) siempre se puede obtener por medio de operaciones algebraicas. Por ejemplo,asuma que se tiene una diferencia de polinomios p(x)−p( ˆx), con p(x)=x₁x₂, entonces p(x)−p( ˆx)=x₁x₂−ˆx₁ˆx₂=0,5(x₂+ˆx₂)(x₁−ˆx₁)+0,5(x₁+ˆx₁)(x₂−ˆx₂)=0,5(x₂+ˆx₂)e₁+0,5(x₁+ˆx₁)e₂.

Una vez que se tiene el sistema del error (4), este se expresa en forma convexa a través de la metodología del sector no lineal presentada en la siguiente sección.

2.1. Modelado Convexo

Note que E(yk), ̄A(xk,ˆx_k), y ̄C(xk,ˆx_k) contienen términos no constantes que dependen de x_k, ˆx_k, y y_k; claramente no todas las variables de estado están disponibles; por lo tanto, una reescritura convexa que sea útil debe tener esto en cuenta. El enfoque del sector no lineal (Ohtake et al., 2001) permite expresar términos no constantes y acotados z(·)∈[z⁰,z¹] como sumas convexas de sus líımites, es decir, z(·)=w₀(z)z⁰+w₁(z)z¹,donde z⁰ y z¹ son el mínimo y el máximo de z(·) en un conjunto compacto Ω_x; las funciones w₀=(z¹−z(·))/(z¹−z⁰) y w1=1−w0 cumplen con la propiedad de suma convexa en Ω_x,es decir, w₀(z)+w₁(z)=1 y w_0,1∈[0,1]. Los siguientes pasos extienden esta metodología a nuestro caso:

Paso 1: Identificar todos los términos no constantes en E(y_k), ̄A(x_k,ˆx_k) y ̄C(x_k,ˆx_k) que dependan exclusivamente delas variables disponibles para formar un vector de ponderación z( ˆx_k,y_k)∈R^s, el resto de términos deben agruparse en otro vector ζ(xk,ˆx_k,y_k)∈R^σ.

Paso 2: Construir para cada z_i( ˆx_k,y_k),i∈ {1,2,...,s} y ζ_j(x_k, ˆx_k, y_k),j∈{1,2,...,σ} un par de funciones de la siguiente manera:

Estas funciones cumplen con la propiedad de suma convexa en Ω_x×Ω_ˆx.

Paso 3: Definir las funciones de ponderación:

con i∈ {1,2,...,r},j ∈ {1,2,...,ρ} i_j∈ {0,1}, r=2^s, ρ=2^σ. Estas funciones también cumplen la propiedad de suma convexa en Ω_x×Ω_ˆx.

Paso 4: Calcular los modelos vértice E_i=E(y_k)|_wi=1, ̄A_{i j}= ̄A(x_k,ˆx_k)|_wiωj=1, ̄C_{i j}= ̄C(x_k,ˆx_k)|_wiωj=1, i ∈ {1,2,...,r}, j ∈ {1,2,...,ρ}.

Finalmente, una representación convexa exacta de (4) es:

La ganancia del observador no lineal L( ˆx_k, y_k) se definir a más adelante.

Notación: Para las expresiones convexas se utilizará la siguiente notación abreviada: sumas convexas simples Υ_w(zk)=∑^r_i=1w_i(z_k)Υ_i y su inversa Υ⁻¹w(z_k)=(∑^r_i=1w_i(z_k)Υ_i)⁻¹, con funciones de ponderación adelantadas Υ_w(zk+1)=∑^r_i=1w_i(z_k+1)Υ_i, o dependiendo de variables no disponibles Υ_ω(ζk)=∑^ρ_j=1ω_j(ζ_k)Υ_j, y así sucesivamente. Además, A>0 (<0) significa que A∈R_n×n es definida positiva (negativa). Se usará un asterisco (∗) en las expresiones matriciales para denotar el elemento simétrico; para expresiones en línea denotará la transpuesta de los términos en su lado izquierdo. Por lo tanto, el sistema (4) se puede escribir como:

Los siguientes resultados son útiles para encontrar las condiciones LMI para el diseño de L( ˆx_k,y_k). El primero se refiere aun esquema de relajación de sumas convexas tomado de (Tuanet al., 2001); el segundo permite evitar el cálculo de E⁻¹(y_k) agregando variables extras (Estrada-Manzo et al., 2016).

Lema 1.(Tuan et al., 2001) Sean Υ^jm_il=(Υ^jm_il)^T, (i,l,m)∈{1,2,...,r}³, j∈{1,2,...,ρ} matrices de dimensiones adecua-das: entoncesΥ_{w(zk)w(zk)w(zk+1)ω(ζk)}<0 se cumple si

para todo (i,l,m)∈{1,2,...,r}³, j∈{1,2,...,ρ}.

Lema 2.(Oliveira and Skelton, 2001) Sean χ∈Rn, Q=QT∈Rn×n, yB ∈Rm×n, rank(B)<n; entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

A continuación, se ilustrará que (1) facilita el diseño del observador (Estrada-Manzo et al., 2014, 2016).

3. Condiciones LMI para el Diseño del Observador

Observador En esta sección se obtienen condiciones LMI para calcular L( ˆx_k, y_k). Los desarrollos consideran una función candidata convexa de Lyapunov² similar a (Estrada-Manzo et al., 2014):

con Pi>0, i∈{1,2,...,r}; su variación en el tiempo es:

que puede expresarse como (sin sustituir la dinámica del error de estimación (4)):

Note que la función de Lyapunov (7) es convexa y sólo depende de las variables disponibles.

Teorema 1. El origen e_k=0 del sistema del error (4) es asintóticamente estable si existen matrices P_l=P^T_l>0, N_l, y G_l tales que las LMIs en (6) se cumplan con

para todo (i,l,m)∈{1,2,...,r}³, j∈{1,2,...,ρ}. La ganancia no lineal del observador es L( ˆx_k,y_k)=G⁻¹_w(zk)N_w(zk). Además,cualquier trayectoria e_k que comience en el nivel más grandede Lyapunov dentro de{e:V(e_k)≤c}⊂Ω_x×Ω_ˆx,c>0, tiende a cero a medida que k tiende a infinito.

Demostración 1. Recuerde que el sistema del error (4) puede expresarse de forma exacta y convexa (5); por lo tanto, y considerando Lema 2 y (8), tenemos que ∆V(e)<0 se cumple bajo la restricción (tomado del error del sistema (4) en su forma convexa)

si lo siguiente se cumple

Por lo tanto, seleccionando Z₁=0y Z₂=G_w(zk) junto con L( ˆx_k,y_k)=G⁻¹_w(zk)N_w(zk), se obtiene:

con Υ^(2,1)=G_w(zk) ̄A_w(zk)ω(ζk)−N_w(zk) ̄C_w(zk)ω(ζk). Por medio del lema de relajación 1, se llega al resultado deseado.

La velocidad de convergencia del observador (3) se puede aumentar si se cumple la siguiente condición ∆V(e_k)≤(α²−1)V(e_k), 0< α≤1 que se puede escribir fácilmente como LMI, es decir, resolver las LMIs (6) con

Note que la mayoría de los trabajos anteriores no considera funciones de ponderación no medibles (Guerra et al., 2012;Estrada-Manzo et al., 2014,2016) ni sistemas descriptores dela forma (1) (Guerra et al., 2012; Xie et al., 2015).

En este trabajo, se utiliza una función de Lyapunov convexa como la utilizada en (Guerra and Vermeiren, 2004); si las condiciones de LMI en el Teorema 1 resultan ser demasiadas, se puede reducir su complejidad al “eliminar” algunas funciones de ponderación, ya sea de la función de Lyapunov o de las ganancias del observador (Estrada-Manzo et al., 2016).

4. Aplicación al Péndulo de Furuta

El sistema mecatrónico a considerar es el péndulo de Furuta (Furuta et al., 1992), también conocido como péndulo invertido rotatorio; un esquema del mismo se muestra en la figura 1. Las ecuaciones dinámicas se obtendrán utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange D(q) ̈q+C_o(q, ̇q) ̇q+G(q)=τ, donde q es el vector de coordenadas generalizadas, D(q) es la matriz de inercia, Co(q, ̇q) es la matriz de Coriolis, G(q) es el vector de gravedad y τ es el vector de torque generalizado. A partir del esquema, tenemos que el brazo del motor tiene una longitud de Lr, un momento de inercia de Jr, y su ángulo,θ, aumenta positivamente cuando gira en sentido antihorario. Al final del brazo giratorio está la barra de péndulo, que tiene una longitud total de L_p y la longitud hasta el centro de masa es L_p/2, el momento de inercia en su centro de masa es J_p. El ángulo del péndulo invertido,α, es cero cuando está perfectamente vertical y aumenta positivamente cuando se gira en sentido antihorario.

Figura 1
Figura 1: Diagrama del p ́endulo de Furuta.

Entonces, las ecuaciones dinámicas en la forma Euler-Lagrange son

Se asume que se conocen las posiciones α y θ. Por lo tanto, con la elección de las variables de estado x₁=θ, x₂=α, x₃= ̇θ, y x₄= ̇α; los valores de los parpametros son tomados de (Arceoet al., 2016):T₁=J_r+m_pL²_r=0,0363, T₂=m_pL²_p/4=0,0306, T₃=J_p=0,356, T₄=−m_pL_pL_r/2=0,0260, T₅=m_pL_p/2=0,3829, g=9,8 , se tiene un modelo tipo descriptor en tiempo continuo

cuyas matrices son

Se utilizará la aproximación de Euler para discretizar el sistema: ̇x=(xk+1−xk)/Ts con Ts=0,01 segundos; entonces tenemos:

(13)

De este modo, siguiendo la metodología de (Quintana et al.,2020), la dinámica del error esta dada por,

al considerar las señales medidas y_k, se tiene lo siguiente

A través de manipulaciones algebraicas, se puede escribir lo siguiente

finalmente tenemos un sistema del error:

(14)

con ̄C=Cy

Para escribir (14) en forma convexa (5), se consideran los con-juntos compactosΩ_x={|x₂| ≤π/4,|x₃| ≤10,|x₄| ≤3}yΩˆx={|ˆx₃| ≤10,|ˆx₄| ≤3}. Por lo tanto los términos noconstantes se pueden acotar como z₁=sin²x₂∈[0,0,5],z2=cosx₂∈[0,7071,1],z₃=sinx₂∈[−0,7071,0,7070],z₄=ˆx₃∈[−10,10],z₅=ˆx₄∈[−3,3],ζ₁=x₃∈[−10,10], y ζ₂=x₄∈[−3,3]. Entonces, las funciones convexas se construyen como en la sección 2.1. Algunos de los vértices son:

Las condiciones LMI del Teorema 1, con una tasa de decaimiento α=0,75 y estableciendo P_w(zk)=P, fueron implemen-tadas en YALMIP (Lofberg, 2004) junto con el solver SeDuMi(Sturm, 1999) para MATLAB2019b. Las condiciones resultan factibles, algunas de las ganancias obtenidas son:

Los resultados de la simulación se muestran en las figuras 2 y 3 para las condiciones iniciales x_k(0)=[0,0,08,0,0]^T yˆx_k(0)=0; la entrada es u_k=sin(k); se puede ver que los estados x₃ y x₄ son estimados. En la Figura 4 se muestra la evolución de la función Lyapunov.

Note que los enfoques (Bergsten and Driankov, 2002; Ichalal et al., 2008; Guerra et al., 2018; Ichalal et al., 2018) no se pueden aplicar puesto que son para sistemas en tiempo continuo y en forma estándar; el trabajo de Estrada-Manzo et al. (2016) tampoco puede ser utilizado porque a pesar de considerar sistemas descriptores en tiempo discreto, sólo toma en cuenta funciones de ponderación medibles. Más aún, note que el sistema (13) también se puede escribir en forma estándar (2), sin embargo la dificultad para calcular un sistema del error habría incrementado así como la cantidad de términos no constantes.

Figura 2:
Figura 2: Resultados de simulación del estado x3 y su estimación.

Figura 3:
Figura 3: Resultados de simulación del estado x4 y su estimación.

Figura 4:
Figura 4: Función de Lyapunov.

5. Conclusiones y perspectivas

Se ha presentado una metodología novedosa para resolver el problema de observación de sistemas descriptores no lineal es en tiempo discreto. La metolodología comienza por factorizar la señal del error sin necesidad de utilizar estimaciones u cotas de Lipschitz. Una vez que se tiene un sistema del error adecuado, se reescribe en forma convexa y exacta separando las varia-bles disponibles y no disponibles; así la ganancia del observador utliza todas las señales disponibles. El observador diseñado por medio de las condiciones LMI encontradas, se han probado en el péndulo de Furuta. Como trabajo futuro se pretende utilizar el observador para la estimación de entradas desconocidas y la detección de fallas.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido realizado gracias al apoyo de CONACYT a través de la beca número 930683, al laboratorio LANAVEX de la Universidad Politécnica de Pachuca y al proyecto ITSON-PROFAPI CA-18

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Notas de autor

victorestrada@upp.edu.mx