Artículos de investigación

Sobre un criterio de divisibilidad entre once

On a divisibility rule for eleve

Blancas Saavedra, Andrés Eduardo; Itzá Ortiz, Benjamín A.; Tetlalmatzi Montiel, Margarita

Andrés Eduardo Blancas Saavedra

pimienta.bros@hotmail.com

Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo México

Benjamín A. Itzá Ortiz

itza@uaeh.edu.mx

Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo México

Margarita Tetlalmatzi Montiel

tmontiel@uaeh.edu.mx

Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo México

Pädi Boletín Científico de Ciencias Básicas e Ingenierías del ICBI

Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, México

ISSN-e: 2007-6363

Periodicidad: Semestral

vol. 8, núm. 15, 2020

sitioweb@uaeh.edu.mx

URL: http://portal.amelica.org/ameli/journal/595/59531155953115013/

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Resumen: Después de una breve reseña sobre la divisibilidad de números enteros, en este trabajo presentaremos el siguiente criterio sencillo de divisibilidad entre 11, el cual es inédito en lo que a los autores respecta: un numero entero es divisible entre 11 si y solo si la suma del número formado por sus dos últimos dígitos mas el numero resultante al borrar esos dos últimos dígitos es divisible entre 11. También se incluyen algunas aplicaciones y notas históricas.

Palabras clave: Divisibilidad, Números enteros, Números capicúa.

Abstract: After a brief review of divisibility rules for integer numbers, in this work we present the following simple divisibility rule for 11, which is new as far as the authors are concerned: an integer is divisible by 11 if and only if the sum of the number formed by its last two digits plus the number obtained by deleting those two digits is divisible by 11. Applications and historical notes are also included.

Keywords: Divisibility, Integer numbers, Palindromic numbers.

1. Introducción

Los criterios para poder realizar cálculos numéricos en forma rápida han sido muy apreciados por su gran utilidad, como cuando no se podía contar con una calculadora. Además, pueden ser una forma divertida y entretenida de motivar las matemáticas. El gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) presenta, al final del primer capítulo de su obra Disquisitiones arithmeticae, varios métodos para comprobar cálculos numéricos empleando congruencias (Ore, 1988). Dentro de estos criterios se encuentran los que permiten saber si un número se puede dividir por otro, sin tener que realizar la división y en una forma relativamente sencilla. Sin embargo, los criterios de divisibilidad tienen su origen varios siglos antes de la aparición del Disquisitiones arithmeticae (Dickson, 2005; Ore, 1988). A pesar de su longevidad, los criterios de divisibilidad en la actualidad tienen aplicaciones muy relevantes, como ejemplo es el área de la criptografía, en donde una de las técnicas para garantizar la privacidad de los mensajes a través del internet está basada en la factorización de los números enteros (Preneel and Rijmen, 1998). En efecto, para saber si un número p es factor en la descomposición de cierto número entero N en factores primos, es equivalente a decidir si N es divisible entre p, por lo que los criterios de divisibilidad juegan un rol determinante. Debe hacerse notar que, aunque actualmente se cuenta con un gran poder computacional, puede ser difícil saber si un número entero muy grande es divisible entre un número primo dado, se dice que con la eventual llegada de una computadora cuántica este problema dejaría de ser complejo, por lo que muchos de estos sistemas criptográficos dejarían de ser seguros.

El ímpetu para este trabajo surgió en uno de los cursos de inducción impartidos a los alumnos de nuevo ingreso a la carrera de Licenciado en Matemáticas Aplicadas de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, en donde se plantearon a los alumnos algunos de los criterios de divisibilidad. La primera inquietud entre los estudiantes fue querer saber él porqué funcionan, lo cual significa estudiar una demostración matemática formal de los criterios. El primer autor fue uno de los estudian tes que asistieron a este curso y propuso un criterio de divisibilidad para 11. La idea consiste en percatarse que si se desea saber cuándo un número es divisible entre 11, por ejemplo, el número 12111, entonces basta sumar al número formado por las dos últimas cifras (en el número 12111 es el 11) al número obtenido al borrar las dos últimas cifras (en el número 12111 es el 121) y checar si el resultado es divisible entre 11. En nuestro ejemplo 121+11=132=11x12, que si es divisible entre 11. Por tanto, 12111 también es divisible entre 11. Por otro lado, el número 1211 no es divisible entre once y en efecto la suma 12+11=23 tampoco lo es. Así, se afirma que el siguiente enunciado es verdadero: un número es divisible entre once si y solo si la suma del número formado por sus dos últimos dígitos más el número obtenido al borrar sus últimos dos dígitos es divisible entre 11. Al momento del curso de inducción solo se pudo comprobar que el criterio funcionaba para varios números en- teros, cosa que el lector mismo puede corroborar. Sin embargo, fue hasta que se planteó´ el problema a los otros dos autores de este trabajo que se propuso una demostración al primer autor, presentada en el Teorema 2.1.

El resto del presente trabajo se divide en tres secciones. En la sección 2, después de presentar varios de los criterios conocidos de divisibilidad por 11, enunciamos y demostramos el criterio resultado principal de este artículo. En esta sección también incluimos una aplicación de nuestro criterio para la divisibilidad entre 11 de los números capicúas con un número par de dígitos. Asimismo, se incluye una discusión de cómo aplicar las ideas en la demostración del Teorema 2.1 para formular otros criterios de divisibilidad entre 11. En la sección 3 incluimos una breve reseña histórica sobre criterios de divisibilidad, particularmente del 11. Finalmente, nuestras conclusiones se encuentran en la cuarta y última sección.

2. Criterios de Divisibilidad por 11

El estudio de las propiedades de los números es fascinante. Desde los primeros registros que se tienen del empleo de los números enteros hasta su estudio con un enfoque científico transcurrieron cerca de 5000 años, esto ocurre precisamente con los Pitagóricos al rededor del año 600 de nuestra era (Apostol, 1976). Desde esa época hasta nuestros días, el interés en el estudio de los número enteros ha producido una gran gama de resultados. Dentro de esta gran gama se encuentran las propiedades de divisibilidad, y muy particularmente los criterios de divisibilidad. Un criterio de divisibilidad por un numero entero m es un criterio o algoritmo corto que permite determinar si un número entero d es divisible por m pero sin realizar la división, usualmente empleando los dígitos de d.

Ya que serán nociones muy recurridas en este trabajo, antes de iniciar es pertinente aclarar dos conceptos, el de divisibilidad y el de congruencia. Para el primero considere dos números enteros m y d, con d ≠ 0, se dice que d es divisible por m si existe un número entero c tal que d = m x c. Por ejemplo, 6 es divisible por 2 ya que 6=2 x 3 . Para el segundo considere dos números enteros a y b y un número natural n, se dice que a y b son congruentes módulo n si al dividir a y b por n se obtiene el mismo residuo, esto es denotado como a ≡ b mód n. Como un caso particular, al dividir 16 entre 3 y dividir 4 entre 3, el residuo en ambas divisiones es 1, resultando que 16≡4 mód 3.

En este trabajo nos concentraremos en los criterios de divisibilidad para 11. Existen varios de estos criterios, algunos de ellos se enlistan a continuación.

Un número a=anan−1 . . . a2a1a0 es divisible por 11 si y sólo si

1.Al formar la suma alternada de los dígitos, es decir, la diferencia de la suma de los dígitos en posición impar, menos la suma de los dígitos en posición par, a0 a1 + a2 a3 + a4 , es divisible entre 11 (Niven et al., 1991; Kisacanin, 2002; Richmond and Richmond, 2004; Wikipedia, 2020). Ejemplo: 702 394, como 7 0+2 3+9 4 = 11, se tiene que 702 394 es divisible por 11.

2. La suma de los dígitos en bloques de dos, formados de derecha a izquierda, a1a0 + a3a2 + a5a4 + a7a6 + , es divisible por 11 (Kisacanin, 2002; Wikipedia, 2020) Ejemplo: 297, observe 2 + 97 = 99 = 9 11, entonces 297 es divisible por 11.

3. Al formar la suma alternada de bloques de 3, iniciando de derecha a izquierda, a2a1a0 a5a4a3 + a8a7a6, la suma es divisible por 11 (Kisacanin, 2002). Ejemplo 702394: ya que 702 394 = 308 = 11 28, 702394 es divisible por 11.

4. Al restar el último dígito del resto el resultado es divisible por 11 (Smith, 1971; Wikipedia, 2020). Ejemplo: 297 es divisible por 11, ya que 29 7 = 22 = 2 11.

5. Cuando multiplica el último dígito por 10 y lo suma al resto, la suma es divisible por 11 (Smith, 1971; Wikipedia, 2020). Ejemplo: 297, resulta que 29 + 70 = 99 = × 9 11, luego es divisible por 11.

6. Cuando el número de dígitos es par: suma el primer dígito, resta el último dígito y suma el resto, el resultado es divisible por 11 (Wikipedia, 2020). Ejemplo 702394: el número de dígitos es par (6) y 0239 + 7 4 = 242 = × 22 11, luego 702394 es divisible por 11.

7. Cuando el número de dígitos es impar: resta el primero y el último dígito al resto, la suma es divisible por 11 (Wikipedia, 2020). Ejemplo 19305: el número de dígitos es impar (5) como 930 1 5 = 924 = 84 11, el número dado es divisible por 11.

Aparentemente el criterio más popular es el primero de esta lista. Todos estos criterios son algorítmicos, por ejemplo el criterio 4. Esto se puede ver en el siguiente ejemplo, el número 702 394 es divisible por 11, ya que

70239 − 4 = 70235, 7023 − 5 = 7018,

701 − 8 = 693, 69 − 3 = 66 = 6 × 11.

A esta lista de criterios de divisibilidad para 11 queremos agregar el siguiente planteado por el primer autor: un número es divisible entre once si y solo si la suma de los bloques del número formados por los dos últimos dígitos y por el resto de los dígitos es divisible entre 11. En un lenguaje más abstracto se plantea y prueba a continuación.

Teorema 2.1. Sea un número entero positivo con 2 o más dígitos. Entonces s es divisible por once si y solo si la suma es divisible por once.

Demostración. Supongamos que es un numero entero con n ≥ 2 dígitos. Denotemos por el numero formado por los primeros n−2 dígitos de s. Observemos que

1

.

Por tanto, s es divisible entre once si y solo si t + a2a1 = anan−1 · · · a4a3 + a2a1 es divisible entre once.

Por ejemplo, el número 702 394 es divisible por 11, ya que 7023 + 94 = 7117 y 71 + 17 = 88 = 8 × 11 es divisible por 11. Un resultado que nos parece interesante es planteado en el ejercicio 5 de la sección 3.4 de (Richmond and Richmond, 2004), este dice:

Proposición 2.2. Un número capicúa es cualquier número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Si m es un número natural capicúa con una cantidad par de dígitos, entonces m es divisible por 11.

Demostración. El caso de un número capicúa de dos dígitos es de la forma (aa = 10a+a = 11a) por lo que es divisible entre 11. El caso de un número capicúa de cuatro dígitos es de la forma abba. Observe que ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b), como esta suma es divisible por 11, por el teorema 2.1, también abba es divisible entre once.

Para el caso general procedemos por inducción sobre el número de dígitos del numero capicúa. De esta modo, supongamos que todo número capicúa con 2k dígitos es divisible entre 11, donde los casos k igual a 1 y 2 ya han sido demostrados. Consideremos entonces un numero capicúa

con 2(k + 1) dígitos.

Y puesto que por hipótesis de inducción ak . . . a2a1a1a2 · · · ak es divisible por 11 y también es divisible por 11, podemos concluir que el número capicúa deseado es divisible por 11.

En la demostración anterior se afirmó que es divisible por 11. Una forma de comprobar esto es recordando la expansión binomial, siendo

donde . Con lo cual, es divisible por 11, esto es, si n es par es divisible por 11, y si n es impar es divisible por 11. Otra forma de comprobarlo es usando las identidades

, para k = 1,2....

que pueden ser demostradas empleando inducción matemática. Un dato curioso, los números de la forma y son números capicúa con una cantidad par de dígitos.

Combinando el criterio 4 de divisibilidad entre 11 y el Teorema 2.1 obtenemos el siguiente resultado.

Teorema 2.3. Supongamos que es un número entero con n ≥ k dígitos. Se tiene que s es divisible por 11 si y sólo si la suma es divisible por 11.

Observe, en el teorema anterior el caso particular k = 1 no es otra cosa que el criterio 4; mientras que para k = 2 es el resultado del Teorema 2.1. La clave para demostrar el Teorema 2.3 son las relaciones de las potencias de 10 con el 11 (1) y (2) , ya que, siguiendo las ideas de la demostración del Teorema 2.1, se ´ llega a

como existe un r con y si sustituyendo y reacomodando nos queda

Ya que y es la diferencia de los dos números cuando k es impar y es la suma de ellos cuando k es par, podemos concluir que s es divisible por 11 si y sólo si es divisible por 11.

Como una nota adicional, el criterio 3 de divisibilidad por 11 es similar para 7 y 13 (Kisacanin, 2002), esto es:

Un número es divisible por 7 si al formar la suma alternada de bloques de 3 dígitos, iniciando de derecha a izquierda, la suma es divisible por 7. Por ejemplo 978 446 es divisible por 7, ya que 978 − 446 = 534 = 76 × 7.

Un número es divisible por 13 si al formar la suma alternada de bloques de 3, iniciando de derecha a izquierda, la suma es divisible por 13. Por ejemplo, el que 5 131 269 sea divisible por 13 se sigue de la suma 5 − 131 + 269 = 143 = 11 × 13.

La razón de esto es 1001 = 7 × 11 × 13, resultando las congruencias . Empleando propiedades de congruencia de números enteros, se tiene que también para k = 0, 1, 2, . . . y m = 7, 11 y 13. Al agrupar los dígitos de tres en tres, si , se obtienen los grupos , para k entero no negativo, m = 7, 11 y 13 y un cierto entero

Otro criterio que es similar para 7, 11 y 13 se puede ver en (Bogomolny, 2018).

El numero 11 pertenece a una familia de números llamados repituno (repunit en ingles), estos son números que en sus dígitos solo tienen al 1, por ejemplo 11, 111, 1111. Los números repituno tienen muchas propiedades curiosas e interesantes como puede verse en (Wells, 1986), por ejemplo 1 111 111 111 al cuadrado es 12345678900987654321. Se puede observar que todos ellos son números capicúa, por lo que los números repituno con una cantidad par de dígitos son números divisibles por 11. Que este resultado no engañe al lector, ya que no es sencillo determinar la factorización en números primos de los números repituno debido a que son números muy grandes. Si se representa por R1 = 1, R2 = 11, . . . , se sabe que R2, R19, R23, R317 y R1031 son números primos, sin embargo, no se conoce toda ´ la factorización en números primos de R323 (Studio Kamada, 2020; Wells, 1986).

Confiamos en que el lector concuerde con nosotros: el estudio de las propiedades de los números es fascinante. Para el lector interesado en continuar la lectura sobre criterios de divisibilidad le sugerimos, ademas de las referencias ya mencionadas, el artículo (Renault, 2006)

3. Notas históricas

Al enlistar los criterios de divisibilidad por 11 no es posible apreciar el esfuerzo que por siglos ha dado origen a los diferentes criterios de divisibilidad. Posiblemente uno de los primeros criterios de divisibilidad registrados es el encontrado en el Talmud de Babilonia, obra compilada entre los siglos tercero y sexto de nuestra era. Este criterio es sobre divisibilidad por 7, en lenguaje matemático moderno dice: si a y b son números enteros, 100a + b es divisible por 7 si 2a + b es divisible por 7 (Dickson, 2005; McDowell, 2018). Por ejemplo

5586 ≡ 100(55) + 86 mód 7

≡ 2(55) + 86 mód 7 ≡ 196 mód 7

≡ 100(1) + 96 mód 7

≡ 2(1) + 96 mód 7

≡ 98 mód 7

≡ 14 mód 7,

por lo tanto, como 14 es divisible por 7, 5586 es divisible por 7.

Sobre criterios de divisibilidad por 11 se mencionan algunos a continuación. En uno de los trabajos del matemático persa Alkarkhi (953-1029) que llegaron a Europa en la Edad Media, aproximadamente en el año 1015, se encuentran criterios para 9 y 11 (Dickson, 2005; Ore, 1988). El matemático italiano Leonardo Pisano o Fibonacci (1170 - 1240) estudio los números indoarábigos en África del Norte y tuvo un papel importante en la introducción de estos números a Europa, particularmente con su libro Liber Abbaci (1202) (Ore, 1988). En este libro, Fibonacci indica y demuestra un criterio para 9 (Dickson, 2005). Aunque Dickson menciona que Pisano da un criterio de divisibilidad para el 11, coincidimos con Cantor (Cantor, 1880) en que su criterio es a prueba y error. Por ejemplo, encuentra la factorización en números primos del número 624481 = 112 × 13 × 397 realizando divisiones sucesivas, probando uno a uno los números primos en orden ascendente hasta que el cuadrado del ultimo que prueba es mayor al número que tiene, así concluye que 397 es un numero primo, y comprueba esta factorización empleando congruencia módulo 7 (Singler, 2002). Nos parece muy notable la soltura con que Pisano emplea las propiedades de las congruencias. La lista podría continuar con muchos otros personajes de la historia de las matemáticas, entre ellos se encuentran Blaire Pascal (1623 - 1662), Jean le Rond d’Alembert (1717- 1783) y Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Pascal proporciona un criterio general de divisibilidad que es generalizado por Lagrange para números enteros en otras bases (Dickson, 2005).

Antes de mencionar el Criterio de Pascal es conveniente tener presente las siguientes propiedades de congruencias.

Si n es un numero entero positivo, y a, b, c y d son números enteros que cumplen las relaciones a ≡ b mód n y c ≡ d mód n, se tiene que

1. a + c ≡ b + d mód n.

2. ac ≡ bd mód n.

Blaire Pascal fue un matemático francés que realizo importantes contribuciones en varias áreas de la matemática, incluso trabajo en el diseño y la construcción de la primera calculadora mecánica. Pascal presenta en su artıculo De Numeris Multiplicibus un criterio de divisibilidad general, esto es, con el criterio de Pascal se pueden propocionar criterios para cualquier entero positivo (Dickson, 2005; Kisacanin, 2002; McDowell, 2018). Con este se pueden justificar varios de los criterios anteriores, e incluso inventar algunos. Se invita al lector a apreciar como una pizca de creatividad puede derivar en proponer nuevos criterios alternativos.

Teorema 3.1. (Criterio de Pascal (Kisacanin, 2002)). Si m y a son números enteros no negativos, y los dígitos de a son , es decir, si

Entonces a es divisible por m si y solo si es divisible por m, donde , con k =0, 1, 2, . . . , n.

Demostración. Por las propiedades de divisibilidad, y del hecho de que m, para k= 0, 1, 2, ..., n, se tiene que m divide a , también a y además a . Nuevamente por las propiedades de divisibilidad y por la última identidad, se puede concluir que si m divide a alguno de los números a o , entonces también divide al otro.

El primer criterio de divisibilidad para 11, de la lista proporcionada, queda justificado con el Criterio de Pascal, por las congruencias y considere y para k = 0, , 1, 2, . . . Así, es divisible por 11 si y solo si a0 − a1 + a2 − a3 + a4 − · · · es divisible por 11.

Una variante del Criterio de Pascal es considerar agrupamientos de los dígitos de un numero y no solo considerarlos de uno en uno (Kisacanin, 2002; McDowell, 2018). Con esta variante se justifican los criterios 2 y 3 de la lista. Para el criterio 2, al agrupar los dígitos de dos en dos las potencias de 10 que les acompañan son pares y cada una de ellas es congruente con 1 modulo 11, así es divisible por 11 si y solo si a1a0 +a3a2 +a5a4 +· · · . El criterio 3 se sigue al observar que los grupos de tres dígitos tendrían al 10 a una potencia múltiplo de 3.

El criterio 4 se obtiene observando que

a = an an−1 . . . a2 a1 a0

= 10(an an−1 . . . a2 a1) + a0

≡ −1(an an−1 . . . a2a1) + a0 mod 11.

Para los criterios 6 y 7 observe

a + 10b + c ≡ −a − b + c mod 11

y que

a + 10b + c ≡ 1a − b + c mod 11 ´ .

Esto proporciona otra demostración para el teorema 2.1 observando que a = an an−1 . . . a2 a1 a0 = 100(an an−1 . . . a2) + a1 a0 ≡ 1(an an−1 . . . a2) + a1 a0 mod 11 así como para el teorema 2.3 al hacer los agrupamientos necesarios.

Finalmente el criterio 5 de la lista resulta de la identidad, para a y b enteros, 11a + 11b = (10a + b) + (a + 10b), se tiene 10a + b ≡ −a − 10b mod 11, es decir 11 divide a 10a + b si y solo si 11 divide a a + 10b. Para an an−1 . . . a2 a1 a0, considere a = an an−1 . . . a2 a1 y b = a0.

4. Conclusiones

En este trabajo se propone y demuestra un criterio de divisibilidad entre 11, el cual es inédito en lo que a los autores respecta. Entre otras aplicaciones, se muestra como nuestro criterio puede utilizarse para probar que todo número capicúa con un numero par de dígitos es divisible entre 11. Los criterios de divisibilidad son de gran interés en matemáticas, no solo por su gran utilidad a la hora de querer descomponer un numero entero como el producto de sus factores primos, sino por la importancia en la formación de un alumno universitario al invitarlo a cuestionarse por qué estos criterios funcionan. Por esta razón en el artıculo se proveen discusiones históricas e ideas con el afán de que el lector pueda plantear o descubrir sus propios criterios de divisibilidad. La teoría de números, a la cual pertenece el presente artıculo, es de aquellas ramas de matemáticas que se prestan a planteamientos muy intuitivos de ideas matemáticas, pero que muchas veces puede llegar a ser muy difícil proveer una prueba o demostración de los resultados. Por tal motivo, creemos que el presente artıculo puede motivar la curiosidad del lector y hacerle percibir un poco de lo que consiste el quehacer matemático.

Agradecimientos

Los autores agradecen los valiosos comentarios de los revisores que han contribuido a la mejora del presente artículo.

Referencias

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