1. Introducción

La epidemiologia estudia los patrones de salud y enfermedad, así como los factores asociados a sus niveles en la población. Aunque la epidemiologia abarca el estudio de enfermedades que no se transmiten entre personas, en este trabajo se plantea un modelo de una enfermedad infecciosa, que también es tema de la epidemiologia.

Una enfermedad infecciosa es resultado de la presencia de algún agente microbiano: una bacteria, un virus, un hongo, un parasito. Ejemplos de enfermedades infecciosas causadas por bacterias son la neumonía y la tuberculosis. Enfermedades causadas por virus son la influenza y el dengue.

La transmisión de una enfermedad infecciosa puede ocurrir de diferentes maneras: de persona a persona (en forma directa o indirecta), por el aire, por el agua, por alimentos, por vectores (como el mosquito) o de manera vertical (través de la placenta) (Martcheva, 2010).

Los modelos deterministas han sido ampliamente estudiados y hay mucha literatura sobre su análisis (Brauer et al., 2008), (Brauer et al., 2014). Una ventaja de los modelos deterministas reside en su análisis. Aunque la complejidad del modelo se incremente, hay mucha herramienta matemática para realizar su análisis (Britton, 2010), (Britton, 2003).

Sin embargo, los modelos estocásticos permiten representar de manera más natural la propagación de una enfermedad. Resulta más natural definir la probabilidad de transmisión de la enfermedad entre dos individuos, que la certeza de que dicha transmisión ocurrirá. Los modelos deterministas describen la propagación, bajo el supuesto de acción de masas, basados en la ley de los grandes números. Una parte importante de la modelación estocástica es la de mostrar que los modelos deterministas y los estocásticos convergen, cuando el tamaño de la población es grande.

Los modelos estocásticos son una herramienta para representar una gran variedad de fenómenos físicos. Para estudiar estos modelos, es importante conocer distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Algunas de estas distribuciones, a pesar de su simplicidad, pueden utilizarse para modelar fenómenos complejos.

Para el caso de los modelos epidemiológicos, son una alternativa a los modelos tradicionales que utilizan sistemas de ecuaciones diferenciales, ordinarias o parciales.

En este trabajo describiremos dos tipos de modelos estocásticos en epidemiologia: un modelo con cadenas de Markov de tiempo discreto y un modelo con cadenas de Markov de tiempo continuo. En el primer modelo, tanto el tiempo como las variables de estado son discretas. En el segundo modelo, el tiempo es continuo y las variables de estado siguen siendo discretas.

Figura 1
Modelo SIS

2. El modelo determinista SIS

En el modelo SIS, los individuos en la población de tamaño N, están clasificados en dos categorías: Susceptibles (S) e Infecciosos (I). Los susceptibles, al entrar en contacto con un infeccioso, pasan al grupo infecciosos a una tasa constante β/N. Al grupo de susceptibles llegan nuevos susceptibles a una tasa constanteα, y del grupo de infecciosos se reintegran al grupo de susceptibles a una tasa constante γ. Este modelo se representa en el esquema de la figura 1. En este modelo, un individuo infeccioso retorna a la clase susceptible debido a que la enfermedad no confiere inmunidad definitiva. Este modelo es adecuado para estudiar la mayoría delas enfermedades transmitidas por bacterias o parásitos intestinales; también es adecuado para estudiar algunas enfermedades de transmisión sexual como la gonorrea. El sistema de ecuaciones diferenciales que describe a este modelo es

(1)

dondeβ >0 es la tasa de contacto entre infecciosos y susceptibles γ >0 es la tasa de recuperación yα ≥0 es la tasa de crecimiento. Una suposición fuerte en este modelo es que la población permanece constante N=S+I, y, por lo tanto

Las condiciones iniciales deben satisfacer S (0)>0, I (0)>0 y S (0) +I (0) =N. La dinámica de este modelo este determinado por el numero reproductivo básico que es el número de infecciones secundarias causadas por un individuo infeccioso. En este caso, el número reproductivo básico está dado por

Si la población entera es susceptible y se introduce un individuo infectado dentro de la población, el número reproductivo básico representa el numero promedio de contactos exitosos(β), durante el periodo de infección, que resultara en un nuevo individuo infeccioso. La importancia de la idea del número reproductivo básico para enfermedades infecciosas y otros números reproductivos relacionados con es la utilidad que pueden tener para diseñar estrategias de control.

La dinámica de este sistema se puede enunciar mediante el siguiente teorema

Teorema 2.1. Sean S (t) e I(t) una solución del modelo (1)

1. Si ≤1, entonces

2. 2.Si >1, entonces

Una demostración de este teorema se puede encontrar en (Brauer et al., 2008).

Puede demostrarse (Brauer and Kribs, 2016) que si

y, si

El valor del número reproductivo básico para cada enfermedad, depende de muchas variables, tales como la densidad población (van den Driessche, 2017). La idea presentada en esta sección, establece la relevancia de estimar este valor umbral, y el significado epidemiológico de , que puede emplearse en modelos deterministas como en modelos estocásticos.

3. Modelo SIS de tiempo discreto

Sean , variables aleatorias que representan el número de susceptibles e infecciosos al tiempo t. En este modelo, que resulta una cadena de Markov de tiempo discreto (DTMC por sus siglas en inglés) (Doob, 1990), (Allen, 2010), y las variables aleatorias satisfacen

Note que las variables aleatorias son discretas.

En el modelo SIS hay una variable aleatoria independiente , puesto que . Se asume que el tamaño de la

población N es constante.

El proceso estocástico con función de probabilidad

para i = 0, 1, 2, . . ., N y t = 0, ∆t, 2∆t, . . ., donde

Sea el vector de probabilidad asociado con . El proceso estocástico tiene la propiedad de Markov (Doob, 1990), (Brzezniak and Zastawniak, 1999) si

Esto significa que el proceso en el tiempo solo depende del valor del proceso en el tiempo previo t.

Denotemos la probabilidad de transición del estado =i al estado(t+)= j como

Para reducir el número de transiciones en el tiempo , supongamos que el paso de tiempo es tan pequeño que el número de individuos infectados cambia, a lo más, en uno, es decir

Esto significa que hay una nueva infección (nacimiento) o un recuperado (muerte), o no hay cambio durante el intervalo (Allen, 2017). En este caso, las probabilidades de transición están definidas a partir de las tasas mostradas en el modelo SIS determinista, multiplicadas por .

Entonces, las probabilidades de transición para el modelo epidemiológico SIS con cadena de Markov de tiempo discreto son

Para relacionar el proceso epidemiológico SIS con un proceso de nacimiento y muerte, la probabilidad de transición para un nuevo infectado se puede escribir como , y para un recuperado se puede escribir como . Por lo tanto, la probabilidad de transición se puede escribir como

En ambos casos, la suma de las tres probabilidades de transición es uno, porque estas transiciones representan todos los posibles cambios en el estado i durante el intervalo . Para garantizar que esas probabilidades de transición estén dentro del intervalo

[0,1], el paso de tiempo debe ser lo suficientemente pequeño para que

Al aplicar la propiedad de Markov y las probabilidades de transición antes descritas, las probabilidades se pueden escribir en términos de las probabilidades al tiempo t (Braueret al., 2008).

(2)

Para i=1,2,...,N, donde.

Ahora, construiremos la matriz de transición. El elemento(1,1) en la matriz de transición es la probabilidad de ir del estado 0 al estado 0, es decir y el elemento(N+1, N+1) es la probabilidad de transición del estado N al estado N, o sea

Llamemos a la matriz de transición . Esta matriz resulta ser una matriz tridiagonal de la forma

Dado un vector de probabilidad inicial . Entonces, la ecuación (2) se puede escribir como

(3)

Donde t = k

A partir de la ecuación en diferencias (2) se puede calcular el valor esperado de

Y el valor esperado de (t+ )

Al simplificar tenemos

3.1. Simulaciones

Los ejemplos que se presentan a continuación son implementaciones del modelo estocástico descrito en la sección anterior. Se realizaron en R, y se empleó, en cada paso, un numero aleatorio con distribución normal estándar. El tamaño de la población N = 100, y la condición inicial para el número de infecciosos es = 2.

En la figura 2 se muestran tres simulaciones para el modelo SIS de tiempo discreto. En este caso, el número reproductivo básico es = 1, con β = 1, α = 0.25, γ = 0.25. La línea puteada representa la solución del modelo SIS determinista. En las tres simulaciones, el número de infectados tiende a cero, como era de esperarse, puesto que el número reproductivo básico no es mayor a uno.

Figura 2:
Simulaciones del modelo SIS estocástico de tiempo discreto

con =1

En la figura 3 se muestran tres simulaciones para el modelo SIS de tiempo discreto. En este caso, el numero reproductivo básico es =2, con β=1, α=0.5, γ=0.5. La línea punteada representa la solución del modelo SIS determinista para el número de infectados. En las tres simulaciones, dado que el número reproductivo básico es mayor que uno, el número de infectados tiende al total de la población. En estas simulaciones, el tiempo que dura cada simulación el mismo. Finalmente, en la figura 4 se presentan tres simulaciones para =2 y tres simulaciones para =2, para tiempos largos.

Figura 3:
Simulaciones del modelos SIS estocástico de tiempo discreto con

= 2.

Figura 4:
Simulaciones del modelo SIS estocástico para tiempos grandes.

La grafica superior corresponde al caso = 1, y la gráfica inferior es para = 2. En ambos casos, la línea punteada representa la solución del modelo determinista para el número de infectados.

4. Modelo SIS de tiempo continuo

En el modelo epidemiológico SIS, el proceso estocástico depende de la colección de variables aleatorias discretas

y sus funciones de probabilidad

, donde

Las probabilidades de transición al tiempo

dependen únicamente del valor en

Las probabilidades de transición están definidas para pequeños intervalos de tiempo

(Choisy et al., 2007). Pero en este modelo, se tratan como probabilidades infinitesimales de transición, porque sólo son válidas para tiempos suficientemente pequeños. Además, se está incluyendo el termino

, que cumple la propiedad

Entonces, las probabilidades infinitesimales de transición pueden definirse como

donde

. En este caso, el modelo SIS es un proceso de nacimiento y muerte (Andersson and Britton, 2000),

donde

i = 0, 1, . . . , N. Note que hay un solo estado absorbente (Andersson and Britton, 2000)

Si

> 1, el modelo epidemiológico SIS es un caso especial del modelo logístico (Allen, 2017). En este caso,

donde

y

Si empleamos la misma notación que en el modelo de tiempo discreto tenemos

Supongamos que

. Entonces

Si en esta ecuación se resta

, se divide por

y se toma el lımite cuando

, se tiene

(4)

para . i = 1, 2, . . . , N y

. La ecuación (4) se conoce como Ecuación Diferencial de Kolmogorov (Doob, 1990; Brzezniak and Zastawniak, 1999), y puede escribirse en forma matricial como

(5)

donde

y la matriz A esta definida como

4.1. Simulaciones

Para realizar la simulación del modelo de tiempo continuo, se hace uso del hecho que el tiempo entre eventos tiene una distribución exponencial. Esto se debe a la propiedad de Markov (Britton, 2003). La distribución exponencial se caracteriza por no tener memoria. En este modelo, las probabilidades de transición al tiempo dependen únicamente del valor en y en ese sentido se habla de no tener memoria.

Supongamos que y que , el tiempo entre eventos, es una variable aleatoria continua para el tiempo. Sea la probabilidad de que el proceso permanezca en el estado i para un periodo de tiempo t. Entonces

Por lo tanto,

Al restar , dividir por y tomar el lımite, tenemos la ecuación diferencial

La solución de esta ecuación diferencial es

puesto que . Por lo tanto, el tiempo entre intervalos tiene una distribución exponencial con parámetro .La distribución acumulada de es

Para simular el tiempo entre eventos, usamos una variable aleatoria con distribución uniforme en [0,1].

Figura 5:
Simulación del modelo SIS de tiempo continuo.

Se grafica el número de susceptibles en rojo, y el número de infecciosos y en azul. En este ejemplo, el número reproductivo básico es =1. La simulación se detiene cuando el número de infecciosos es cero.

Sea U una variable aleatoria con distribución uniforme en [0,1], por lo tanto

Entonces, dado , el tiempo entre eventos satisface

Los siguientes ejemplos son realizaciones del modelo estocástico de tiempo continuo. Se implementaron en R, y se empleó, en cada paso, un tamaño de la población N=100, y condición inicial para el número de infecciosos es .

En la figura 5 se presenta una simulación para el modelo SIS de tiempo continuo. Para esta simulación, el número reproductivo básico es Importar imagen , con β=1,α=0.25,γ=0.25. La línea roja es el número de susceptibles y la línea azul el número de infecciosos. En este caso, la simulación se termina cuando el número de infecciosos es igual a cero, puesto que este es un estado absorbente, por lo que la simulación no necesariamente llega al valor del tiempo establecido para la corrida.

En la figura 6 se muestra una simulación para el modelo SIS de tiempo continuo. En esta simulación, el número reproductivo básico es , con β=1,α=0.5,γ=0.5. La línea roja es el número de susceptibles y la línea azul el número de infecciosos. Es importante notar que, en estas simulaciones, el tiempo que dura cada simulación no es constante, puesto que el tiempo que transcurre entre la transición de un estado a otro, es una variable aleatoria (Allen and Tarnita, 2012).

Figura 6:
Simulación del modelo SIS de tiempo continuo.

Se grafica el número de susceptibles en rojo, y el número de infecciosos y en azul. En este caso, el número reproductivo básico es

5. Conclusión

En este trabajo se presentaron tres versiones de un modelo epidemiológico clásico. Se planteó el modelo SIS en su forma determinista, como base de los modelos estocásticos. El teorema 1 establece el resultado asintótico del sistema de ecuaciones. El número reproductivo básico determina si la enfermedad persiste o desaparece. El caso de que persista, el equilibrio endémico depende de la forma de la fuerza de infección (Allen and Burgin, 2000).

Siguiendo las ideas del modelo determinista, se formuló el modelo de tiempo discreto, en donde se supone que, para un tiempo suficientemente pequeño, sólo puede ocurrir un cambio hacia el estado anterior, hacia el estado siguiente, o permanecer en dicho estado. Este modelo esta formulado como una cadena de Markov. Este modelo puede aplicarse al caso del sarampión (van den Driessche, 2017).

A partir de este modelo, se puede construir el modelo de tiempo continuo, en el cual, el tiempo que transcurre entre la transición de un estado a otro, es una variable aleatoria. (van den Driessche, 2017).

En el trabajo no se hace una comparación entre las tres versiones de este modelo, sino que se plantean los escenarios en los cuales cada una de estas representaciones tiene validez y significado epidemiológico. Debe considerarse que los modelos matemáticos son una abstracción, que permiten analizar, bajo muchos supuestos (May, 2004), el comportamiento de un fenómeno físico, por lo que la aplicación de estos modelos no siempre es directa.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido realizado gracias al apoyo del Programa para el Desarrollo Profesional Docente, mediante la beca posdoctoral de R.R.J.M.

Referencias

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