ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN

LA DERIVADA DE DINI Y EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

DINI DERIVATIRE AND THE FUNDAMENTAL THEOREM OF CALCULUS

Franco, Ángela Yaneth; Zeballos Mitre, Temístocles

Ángela Yaneth Franco

angela06franco@hotmail.com

Universidad de Panamá Panamá

Temístocles Zeballos Mitre

temistocles@matematicacrua.com

Universidad de Panamá Panamá

ORATORES

Universidad Metropolitana de Educación, Ciencia y Tecnología, Panamá

ISSN: 2410-8928

ISSN-e: 2644-3988

Periodicidad: Semestral

núm. 18, 2023

oratores@umecit.edu.pa

Recepción: 15 Marzo 2023

Aprobación: 16 Abril 2023

URL: http://portal.amelica.org/ameli/journal/328/32845243284524003/

DOI: https://doi.org/10.37594/oratores.n18.829

El autor autoriza a la revista el derecho de reproducción, difusión y distribución bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0) en diferentes formatos electrónicos.

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Resumen: En el estudio del cálculo diferencial e integral y especialmente en el análisis real, las derivadas de Dini son una clase de generalización de derivadas, introducidas por Ulisse Dini (1845 – 1918), para estudiar las funciones continuas que no son diferenciables. En este trabajo se presenta la definición de las cuatro derivadas de Dini y se establecen sus propiedades más importantes. También se caracterizan las funciones monótonas a través del signo de las cuatro derivadas de Dini de estas funciones y se prueba que el conjunto de los puntos donde la función no es diferenciable tiene medida cero. Finalmente, se presenta una versión del teorema fundamental del cálculo, pero ahora usando la derivada de Dini

Palabras clave: Continuidad, diferenciabilidad, derivadas de Dini, funciones monótonas, conjunto nulo.

Abstract: In the study of differential and integral calculus and especially in real analysis, Dini derivatives are a type of generalization of derivatives, introduced by Ulisse Dini (1845 – 1918), to study continuous functions that are not differentiable. In this work, the definition of the four Dini derivatives is presented and their most important properties are given. Monotone functions are also characterized by the sign of their four Dini derivatives and it is proved that the set of points where the function is not differentiable has measure zero. Finally, a version of the fundamental theorem of calculus is presented, but now using the Dini derivative

Keywords: continuity, differentability, Dini Derivatives, null set, the fundamental theorem of calculus.

INTRODUCCIÓN

La relevancia histórica del teorema fundamental del cálculo diferencial e integral es la constancia que los procesos de derivación e integración, distintos en apariencia, están estrechamente relacionados (Dunham, 2018), (Edward, 1994). Además, es una herramienta poderosa que permite recobrar una función continuamente diferenciable a través de la integral indefinida de su derivada, o sea que se tienen las fórmulas (Bartle, 2011), (Gordon, 2002), (Folland, 2007)

y

En este artículo se presentan las cuatro derivadas de Dini de una función y se enuncian las propiedades más sobresalientes, especialmente cuando la función es monótona. También se desarrollan unos ejemplos, donde se visualiza la relación que existe entre estas cuatro derivadas. Finalmente se presenta una versión del teorema fundamental del cálculo diferencial e integral, pero ahora usando una de las derivadas de Dini.

METODOLOGÍA

El Teorema Fundamental del Cálculo es el teorema más importante de la teoría del cálculo diferencial e integral, ya que establece una conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial (cálculo de tangentes) y el cálculo integral (cálculo de cuadraturas); indicando que, de cierta manera, los procesos de diferenciación e integración son inversos. Una consecuencia directa de este teorema es el segundo teorema fundamental del cálculo o regla de Barrow, que permite calcular la integral definida de una función utilizando la primitiva de la función integrando; es decir, si es una función con derivada continua en , entonces

(fórmula de Barrow).

Sin embargo, si es solamente diferenciable en , entonces no se puede asegurar que la función derivada sea Riemann integrable en y, por lo tanto, la fórmula de Barrow no tendría sentido.

Con el objetivo de darle significado al teorema fundamental del cálculo en la teoría de integración de Riemann, se ha seguido la siguiente metodología. Primeramente, se extiende el concepto de derivada, definiendo las cuatro derivadas de Dini. Se enuncian las propiedades más sobresalientes, especialmente cuando la función es monótona. También se prueba que las cuatro derivadas de Dini , , y siempre existen en .

Se prueba que si es una función monótona y continua en , entonces en , excepto posiblemente en un conjunto de medida cero. Finalmente, se prueba que si es una función continua con para todo , entonces

para cada intervalo de y, se deduce que si es Riemann integrable en todo intervalo de , entonces

Obteniendo así, una versión generalizada de la fórmula de Barrow.

PRELIMINARES

Sea , un punto de acumulación de y una función. Para cada denote:

y

Note que si , entonces

y

Definición 1: El límite superior de cuando tiende a se denota por y se define por

De igual manera, el límite inferior de cuando tiende a se denota por y se define por

Estos límites siempre están definidos en

Ejemplo 1: Sea la función definida por

Tome , entonces para todo se tiene que

Por lo tanto,

y

Propiedades:

1. Si , entonces existe un tal que para todo , se tiene que

2. Si , entonces existe un tal que para todo , se tiene que

3. Si , entonces

i)

ii)

4. Si , entonces

i)

ii)

5. , si y solo si,

6. Sea . Entonces, si y solo si y .

Denote

Definición 2: El límite inferior por la izquierda de cuando tiende a se denota por y se define por

El límite superior por la izquierda de cuando tiende a se denota por y se define por

De igual manera se definen los límites por la derecha

y

Recuerde que el límite por la izquierda de en se denota por y se define por

De igual manera, el límite por la derecha de en se denota por y se define por

De las propiedades de los limites inferiores y superiores se tiene que:

, si y solo si,

y

, si y solo si,

Por otro lado, si es un intervalo de , y es una función, monótona, entonces:

· Si no es el extremo inferior de , entonces existe.

· Si no es el extremo superior de , entonces existe.

Más aún, si es creciente (decreciente), entonces y (respectivamente, y ), si los términos están definidos.

Propiedades: Sean , funciones definidas en un conjunto y un punto de acumulación de . Si las correspondientes operaciones están definidas, entonces se tiene que (Bartle, 2011), (Gordon, 2002), (Natanson, 2016):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Suponga que existe, entonces

Definición 3: Sea un punto de acumulación y una función.

i. es semicontinua inferiormente en si

ii. es semicontinua superiormente en si

Note que es continua en si y solo si es semicontinua inferiormente y superiormente en .

Definición 4: Sea un subconjunto de . es un conjunto nulo o tiene medida cero y se denota por , si para todo existe una sucesión de intervalos abiertos tal que

y

donde es la longitud del intervalo . El valor es llamado la longitud total de los intervalos ; sin el requerimiento que estos intervalos sean disjuntos dos a dos.

Propiedades

1. Si es un conjunto enumerable (finito o infinito), entonces . En particular, .

2. Si y , entonces .

3. Si y para todo , entonces .

(Natanson, 2016), (Orchinnikov, 2013).

Definición 5: Sea y una función,

i. es continua casi en todo punto (c.t.p) en si

es discontinua en

ii. es diferenciable c.t.p de si no es diferenciable en

iii. En general, sea . Si para algunos de los elemento de un enunciado es definido, entonces se dice que se satisface casi en todas partes en , si el conjunto de todos los puntos para los cuales no está definido o es falso tiene medida cero.

Se usará c.t.p como una abreviatura para “casi en todas partes”

Teorema 1: Sea una función monótona, entonces es discontinua en es a lo sumo enumerable.

Teorema 2: Sea una función diferenciable, entonces es continua en es denso en .

Teorema 3: (Criterio de Integrabilidad de Lebesgue): Sea una función acotada. es Riemann integrable en si y solo si es discontinua en .

LAS DERIVADAS DE DINI

En lo que sigue se introducen varios conceptos de derivabilidad.

Definición 6: Sea una función y .

i. La derivada superior de en se denota por y se define por

ii. La derivada inferior de en se denota por y se define por

Note que estos dos límites siempre existen en , pero ellos no siempre son iguales.

De hecho, si y solo si es diferenciable en y, en este caso .

Definición 7: (Derivadas de Dini): Sea una función y .

i. Si , entonces:

a) La derivada superior derecha (de Dini) de en se define por

b) La derivada inferior derecha de en se define por

ii. Si , entonces:

a) La derivada superior izquierda de en se define por

b) La derivada inferior izquierda de en se define por

iii. Si y , a este valor común se le llama la derivada por la derecha de en y se denota por ; o sea,

iv. Si y , a este valor común se le llama la derivada por la izquierda de en y se denota por ; o sea,

Las cuatro derivadas , , y se llaman las derivadas de Dini de en y, siempre existen en .

Note que es derivable en si y solo si ; es decir, si las cuatro derivadas de Dini de en son iguales y finitas. Este valor común es igual a . Además, si ,entonces

Ejemplo 2: Sea la función definida por

entonces

Por lo tanto,

Por otro lado, como

Se tiene que

Por lo tanto,

Observe que si es una función y , entonces

i. Si , entonces para todo existe un tal que

ii. Si , entonces para todo existe un tal que

Ejemplo 3: Sea la función definida por

Entonces

y

Por lo tanto,

y

Ejemplo 4: Sea la función de Dirichlet definida por

Si , entonces

y ,

Si , entonces

y ,

Ejemplo 5: Sea la función definida por

Entonces

Por lo tanto,

y

Sin embargo, no es diferenciable en (En este caso se dice que existe en y ) (Gelbaum, 2003).

Propiedades: Sean y . Las siguientes desigualdades son verdaderas, siempre que las sumas sean posible

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Más aún, si , se pueden reemplazar y por y respectivamente, en todas las desigualdades y; si , se pueden reemplazar y por y , respectivamente en todas las desigualdades.

Todas estas 24 desigualdades se deducen de las 8 desigualdades de los límites inferiores y límites superiores (Natanson, 2016), (Orchinnikov, 2013).

9. Suponga que es creciente en , entonces

y

para todo .

· Si , se pueden reemplazar y por y , respectivamente en estas desigualdades.

· Si , se pueden reemplazar y por y , respectivamente en estas desigualdades.

10. Si tiene derivada por la derecha en , entonces

11. Si tiene derivada por la izquierda en , entonces

Dada una función , se puede definir la función por . La relación entre las derivadas de , , y son las siguientes

i.

ii.

iii.

En las identidades anteriores se pueden intercambiar los signos + y – en la letra D.

También se tiene

iv.

v.

vi.

Aquí se sobre entiende; por ejemplo, que denota la derivada inferior por la derecha de la función con respecto a en el punto .

Teorema 4: Sea una función y . Si y son ambos finitos, entonces es continua en .

Demostración:

Sea . Luego por la definición de estas derivadas, existe un tal que

Para todo , . Por lo tanto

y

para todo . Esto implica que es continua en .

Teorema 5: Sea una función continua. Entonces es creciente en si y solo si para todo .

Demostración:

Suponga que es creciente en , entonces el cociente

para todo . Por lo tanto, para todo .

Suponga que para todo . Suponga que existen tal que y , entonces existe un con y algunos puntos tal que (ya que es continua en ). Sea

Obviamente, y, por la continuidad de , se tiene que . Luego, para todo , se tiene que

Por lo tanto, , lo que es una contradicción. Por consiguiente es creciente en .

Suponga ahora que para todo y sea .

Entonces

Para todo . Luego, por lo probado anteriormente, se tiene que es creciente en para todo . Esto implica que es creciente en .

Observación:

1. Como el teorema anterior es verdadero si se reemplaza por .

2. El teorema anterior sigue siendo verdadero si se reemplaza la desigualdad por . Solo es necesario tomar

3. En la modificación dada en (2) también se puede reemplazar por . Como una consecuencia se obtiene el siguiente resultado.

Teorema 6: Sea una función continua. Entonces, es creciente (decreciente) en si y solo si cualquiera de las cuatro derivadas de Dini de es no negativa (respectivamente no positivo) en .

Corolario 1: Sea una función continua. Si una de las cuatro derivadas de Dini de es mayor o igual a cero en , entonces lo mismo es cierto para las otras tres derivadas de Dini de en .

Teorema 7: Sea una función continua y . Si para todo , entonces

Donde representa cualquiera de las cuatro derivadas de Dini de .

Demostración:

Como para todo , de las propiedades de las derivadas de Dini se tiene que

para todo

Luego, por el Teorema 6, la función es creciente en . Por lo tanto

De donde

Observación: Sea una función creciente (decreciente) y defina la función por . Entonces es una función creciente (respectivamente decreciente).

Además, por las propiedades de las derivadas de Dini, se tienen que

y

para todo .

Teorema 8: Sea una función monótona y continua. Entonces c.t.p en ; es decir, es un conjunto de medida cero.

Demostración:

Sin pérdida de generalidad se puede suponer que es creciente (si es decreciente, tome en la demostración). Las cuatro derivadas de Dini de son no negativas en . Sean y considere el conjunto

puede ser cubierto por una sucesión de intervalos abiertos disjuntos dos a dos , tal que

(Van Rooij,1982). Aplicando este resultado a la restricción de en el intervalo , se puede afirmar que el conjunto se puede cubrir por una sucesión de intervalos abiertos disjuntos dos a dos, , tal que

Por consiguiente,

Así, siguiendo este proceso inductivo, se puede cubrir el conjunto por una sucesión de intervalos abiertos disjuntos dos a dos, cuya longitud total es menor o igual que , para todo número natural . Esto implica que es un conjunto de medida nula, ya que .

Por otro lado, como

Y la unión enumerable de conjuntos de medida cero es un conjunto de medida cero, se tiene que el conjunto es de medida cero.

Teorema 9: Sea una función monótona continua. Entonces, c.t.p en y, por lo tanto, las cuatro derivadas de Dini de son iguales c.t.p en .

Demostración:

Sin pérdida de generalidad se supondrá que es creciente. Defina la función por . Entonces es una función creciente y por las propiedades de las derivadas de Dini, se tiene que

y

Además, por el Teorema 8, c.t.p en . Luego,

c.t.p en .

Así pues

c.t.p en .

Nuevamente, por las propiedades de las derivadas de Dini y el Teorema 8, se tiene que

c.t.p en .

de donde

c.t.p en .

ya que la unión finita de conjuntos de medida cero es un conjunto de medida cero.

En el Teorema 9 no se ha probado que las funciones monótonas y continuas son diferenciables c.t.p en . Para esta afirmación se necesita el siguiente teorema.

Teorema 10: Sea una función monótona y continua. Entonces

es un conjunto de medida cero.

Demostración:

Sin pérdida de generalidad se puede suponer que es creciente. En efecto, para cada defina el conjunto . Luego, y cada puede ser cubierto por una sucesión de intervalos abiertos disjuntos dos a dos de longitud total (Van Rooij, 1982). Luego, como se tiene que . Así,

, c.t.p en .

Teorema 11: Sea una función monótona y continua entonces es derivable c.t.p en .

Demostración:

Por los Teoremas 9 y 10, las cuatro derivadas de Dini son iguales y diferentes de c.t.p en .

Esto implica que es derivable c.t.p en .

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

En esta sección se probará que una función se puede recobrar como una integral indefinida de una de las derivadas de Dini.

Teorema 12: Sea una función continua tal que para todo .

Entonces

para cada intervalo de , donde las integrales son las integrales inferiores y superiores, respectivamente, de Riemann.

Demostración:

Sea una partición del intervalo y sea .

Denote

y

entonces , para todo . Tome

y

Por las propiedades de las derivadas de Dini se tiene que

y

para todo . Luego, por el Teorema 6, la función es creciente en y la función es decreciente en . Esto implica que

y

De donde

Para todo . Esto implica que

Por consiguiente

Corolario 2: Sea una función continua. Si es Riemann integrable en todo intervalo de , entonces

Teorema 13: Sean funciones continuas tales que y para todo . Si para todo , entonces existe una constante tal que , para todo .

Demostración:

Por las propiedades de las derivadas de Dini, se tiene que

para todo . Luego, por el Teorema 6, las funciones y son crecientes en , lo que implica que es una función constante. Por consiguiente, existe una constante tal que para todo .

CONCLUSIONES

1. Las cuatro derivadas de Dini de una función existen en , sin embargo, ellas pueden ser iguales en un punto sin que la función sea diferenciable en ese punto. Tome por ejemplo la función y .

2. Una función es diferenciable en si las cuatro derivadas de Dini de en son iguales y finitas.

3. Dada una función monótona , entonces el conjunto Dis es discontinua en es a lo sumo enumerable, sin embargo Ndif no es diferenciable en es un conjunto de medida cero. (Kharazishvily, 2018)

4. Una función continua es creciente (decreciente) en si y solo si cualquiera de las cuatro derivadas de Dini es no negativa (respectivamente no positiva) en .

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Bartle, R.G. and Sherbert, D.R (2011). Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons – Inc. USA.

Dunham,(2018). The Calculus: Gallery Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton University Press. U.S.A.

Edward, C.H. 1994. The Historical Development of the Calculus. Springer-Verlag. USA.

Folland, G. B. 2007. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley. USA.

Gelbaum, B. R. and Olmsted, J.M.H. 2003. Counterexamples in Analysis. Dover Publications, Inc. USA.

Gordon, R.A. (2002). Real Analysis. A first Course. Addison Wesley. USA.

Kharazishvily, A. (2018). Strange Functions in Real Analysis. CRC Press Taylor & Francis Group. USA.

Natanson, I. R. 2016. Theory of Functions of Real Variable. Volume I. Dover Publications, Inc. USA.

Orchinnikov, S. 2013. Measure, Integral, Derivative: A Course on Lebesgue’s Theory. Springer-Verlag. USA.

Van Rooij, A.C.M. and Schikhof, W.H. (1982). A second Course on Real Functions. Cambridge University Press. USA.

Notas de autor

1 Licenciada en Matemática, Universidad de Panamá, Panamá; Profesora de Educación Media con Especialización en Matemática, Universidad de Panamá, Panamá; Magíster en Docencia Superior, Universidad Latina de Panamá, Panamá; Magíster en Dificultades en el Aprendizaje de la Matemática, UDELAS, Panamá; Especialista en Entornos Virtuales de Aprendizaje, Universidad de Panamá, Panamá; Maestría en Ciencias con Especialización en Matemática Educativa, Universidad de Panamá, Panamá; Maestría en Matemática, Universidad Tecnológica de Panamá, Panamá.

2 Licenciado en Matemática, Universidad de Panamá, Panamá; Profesor de Educación Media con Especialización en Matemática, Universidad de Panamá, Panamá; Especialista en Matemática Educativa, Universidad de Panamá, Panamá; Especialista en Matemática, Universidad de Panamá, Panamá; Especialista en Docencia con Especialización en Matemática, Universidad de Panamá, Panamá; Especialista en Docencia Superior, Universidad de Panamá, Panamá; Magíster en Dificultades en el Aprendizaje de la Matemática, UDELAS, Panamá; Especialista en Entornos Virtuales de Aprendizaje, Universidad de Panamá, Panamá; Maestría en Matemática Pura, Universidad de Panamá, Panamá.