Introducción

La temática de la teoría del control y su implementación práctica son áreas importantes en la aplicación y soluciones en diferentes campos de la actividad humana. [1] En esa temática se incluyen algunos métodos del control para los sistemas de variable discreta, donde los cambios en los mismos se manifiestan como eventos que se “activan” o “disparan”, ya sea por una acción externa o un cambio en alguno o en todos los componentes que la conforman. En los ambientes de manufactura donde hay controles, redes de comunicación e intercambio de información con otros sistemas y subsistemas, manifestándose los eventos discretos, [2,3] se puede utilizar un modelo de representación gráfica y matemática para simular el comportamiento discreto. El modelo es conocido como las redes de Petri.

Creados por el Dr. Carl Adam Petri en 1962, son una herramienta de modelación que puede ser aplicable a cualquier sistema que se caracterice por ser concurrente, asíncrono, distribuido, paralelo, no determinístico y/o escolástico. Como herramienta gráfica, las redes de Petri se utilizan para representar la interacción entre los elementos o subsistemas, similar a un diagrama de flujo. Y como herramienta matemática, se pueden utilizar ecuaciones de estado, ecuaciones algebraicas y otros modelos matemáticos que simulen el comportamiento del sistema. [4] Esta combinación de visualización gráfica y modelación matemática ha hecho popular su utilización para representar sistemas dinámicos, como procesos de manufactura, sistemas de control y redes logísticas. [5]

Una red de Petri de manera general es una representación gráfica que está conformada por diversos elementos: los círculos que representan las plazas; los rectángulos a las transiciones; los puntos dentro de los círculos simbolizan los marcajes o tokens; y los arcos señalan las relaciones o conexiones entre las plazas y las transiciones. [6,7] Con relación a las plazas, estas pueden ser precondiciones, condiciones o postcondiciones, información de entrada o de salida, señales de entrada o de salida, recursos necesarios y liberados, búferes y condiciones; en cambio, las transiciones pueden ser eventos, pasos computacionales, procesamiento de señales, una tarea o acción y cláusulas; y los marcajes o tokens representan estados. [4]

Sin embargo, los trabajos hechos por Ramadge y Wonham [8-12] se consideran como los pioneros en el campo de los sistemas de eventos discretos. Ellos propusieron modelos en donde los eventos, están divididos en dos clases: eventos controlables e incontrolables, donde en los primeros existen condiciones del sistema que pueden ser activados o desactivados a voluntad para influir en el comportamiento del mismo. Mediante la interacción que se realiza con esos eventos, se van reproduciendo resultados. Por tal motivo, se requiere de sistemas de control para que esos eventos se lleven a cabo conforme al comportamiento deseado, y que resulte también en resultados esperados. La solución de algunos problemas de control surge desde la perspectiva que presentaron los autores hace más de tres décadas para entender la dinámica de los sistemas de control de eventos discretos. Sin embargo, a medida que ha evolucionado la tecnología, se tiene a la disposición algunas herramientas informáticas que permiten simular eventos discretos y problemas de control para resolverlos de forma más rápida y eficiente.

El siguiente trabajo tiene como objetivo exponer y dar solución a un problema que los autores Ramadge y Wonham propusieron en el documento titulado On the supremal controllable sublanguage of a given language publicado en 1984 [12] donde proponen conceptos matemáticos del lenguaje de control y la existencia de controles de supervisión para el control de procesos que tienen eventos discretos. Para ejemplificar el funcionamiento del lenguaje de control, los autores proponen un problema sobre un gato y un ratón. El comportamiento de estos animales se expresa en forma de un sistema abstracto linear discreto y dinámico. [13] En términos simbólicos, tanto el gato como el ratón pueden representar robots móviles o dos vehículos de guiado automático (Automatic Guidance Vehicle) en sistemas flexibles de manufactura. [14] Ciertas condiciones se requieren cumplir para resolver el problema, incluyendo el uso de las redes de Petri y un software de simulación.

Materiales

Se tomó en consideración el problema de un gato y un ratón tomado de la página 1077 del artículo ya citado. [10] Estos animalitos se colocan en un lugar que tiene cinco cuartos, de los cuales el gato inicialmente se encuentra en el cuarto número 2 y el ratón en el cuarto número 4. Cada puerta que conecta a todos los cuartos tiene especificada una dirección de movimiento exclusiva para el gato y otra para el ratón. Eso se ejemplifica gráficamente en la Figura 1, donde se observan los cuartos y las respectivas representaciones de movimiento del gato y el ratón. El símbolo c. representa la transición del gato hacia los cuartos donde se puede mover y la letra m. representa la transición del ratón a los cuartos donde se puede mover. Los cuartos 2 y 4 son incontrolables (sin restricciones) para el gato, ya que él es el único que puede entrar y salir de esos dos cuartos sin ningún problema. Sin embargo, en el problema se tienen que encontrar un control que cumpla con las siguientes condiciones:

a) El gato y el ratón nunca deben ocupar el mismo cuarto simultáneamente.

b) Que sea posible que el gato y el ratón regresen a su estado inicial, es decir, que el gato se encuentre en el cuarto 2 y el ratón en el cuarto 4.

Sin embargo, una tercera condición que los autores no tomaron en consideración, pero que Uzam [14] considera también que debe existir, es que el esquema del control debe permitir que el gato y el ratón se muevan lo más libremente posible con respecto a las restricciones de control, que en este caso, no existe para el gato en los cuartos 2 y 4 respectivamente. En otras palabras, el ratón no puede tampoco ocupar los cuartos 2 y 4 si el gato se encuentra en uno de estos cuartos.

Figura 1
Representación del problema del gato y el ratón Adaptado de Uzam 14
Adaptado de Uzam [14]

Para resolver el problema se utilizó el programa HiPS (Hierarchical Petri net Simulator) o Simulador Jerárquico de Redes de Petri, el cual es una herramienta informática desarrollada por el Departamento de Ciencias Computacionales e Ingeniería de la Universidad Shinshu de Japón, escrito en lenguaje de programación C# y C++, que funciona en un ambiente de Windows. [15] Como su nombre lo indica, es un simulador de redes de Petri. Se utilizó la versión 1.x del software. Además, para su operación se tomó en cuenta la información presentada en un video publicado en la plataforma YouTube. [16]

Método

El primer paso fue simular mediante diseño el modelo de red de Petri de sistema de eventos discretos del problema. En la Figura 2 se representa el modelo de red de Petri hecho en el software HiPS para los movimientos del gato, donde se representa su estado inicial, las plazas de acuerdo con número de cuartos, el token inicial o marcaje (cuarto 3 donde se ubica inicialmente el gato), los arcos (conexiones de cada plaza) y las transiciones de cada cuarto. Las transiciones C. y C. son incontrolables, creando un movimiento libre del gato en los cuartos 2 y 4 respectivamente.

Figura 2
Representación de la red de Petri del estado inicial y del comportamiento posible del gato hecho en software HiPS

Por consiguiente, se procedió a simular en el software de HiPS de la misma manera el sistema inicial de la red de Petri de los movimientos del ratón, con el token en la plaza 5 inicial, las plazas, los arcos y las transiciones como lo muestra la Figura 3.

Figura 3
Representación de la red de Petri del estado inicial y del comportamiento posible del gato hecho en software HiPS

Después se procedió a definir los estados que no pueden presentarse con base en las condiciones que se presentan en el problema, que son tres especificaciones. La primera especificación es que el gato y el ratón no deben de estar en un mismo cuarto al mismo tiempo, lo cual indica que no pueden estar los tokens en el mismo lugar al mismo tiempo (porque el gato se come al ratón). También, se debe de considerar las transiciones incontrolables de C. y C. debido a que el gato esta en los cuartos 2 y 4 de manera libre, así que el raton no puede estar en el cuarto 2 si el gato esta en el cuarto 4 y viceversa.

Como siguiente paso se procedió a realizar una tabla de alcanzabilidad y covertura de las dos redes de Petri en el software HiPS, tal como lo muestra la Figura 4. Dicha tabla es un modelo matemático para describir los marcajes o tokens asignados a cada plaza que pueden ser posiblemente en las plazas de toda la red. [5]

Figura 4
Resultados de la alcanzabilidad y la covertura del modelo de la red de Petri del gato y el ratón en HiPS

A continuación, se realizó la matriz de incidencia de los dos modelos de las redes de Petri (gato y ratón), según se representa en la Figura 5. [4]

Figura 5
Matriz de incidencia de los dos modelos de las redes de Petri gato y ratón

Se identificaron los estados donde no causaba ningún conflicto con las condiciones que se registraron en el problema, donde el gato y el ratón no ocupaban el mismo cuarto, ni que el ratón estuviera en los cuartos 2 y 4 cuando el gato estuviera en cualquiera de estos dos cuartos, los cuales se presentan en la Tabla 1.

Tabla 1.

Lista de los estados sin restricciones del problema del gato y el ratón, representando sus marcas y plazas para que se cumplan las condiciones del problema planteado

Posteriormente se procedió a construir otro modelo de Petri en HiPS para controlar las transiciones de acuerdo con los estados que no debería tener restricciones del problema. Es decir, se corrió el modelo a partir de la eliminación de las restricciones y las transiciones se ejecutaron sin bloqueos. El modelo se refleja en la Figura 6.

Figura 6
Modelo de red de Petri con controladores de algunas transiciones para ejecutar los estados sin restricciones

Resultados

Al correr el programa HiPS con el modelo planteado, se obtuvo la matriz de incidencia del modelo representado en la Figura 7.

Figura 7
Matriz de incidencia del nuevo modelo con los controladores

Al ejecutar el programa HiPS para analizar el alcance y cobertura del modelo de Petri propuesto, arrojó los mismos estados sin restricciones que se identificaron anteriormente, según lo representa la Figura 8.

Figura 8
Matriz de incidencia del nuevo modelo con los controladores

También, con respecto al bloqueo o punto muerto de la simulación del sistema mediante la dinámica y el movimiento de los tokens o marcajes en cada plaza, se analizó esta propiedad en el software HiPS y el resultado fue que no encontró ningún bloqueo en la simulación, según lo muestra la Figura 9.

Figura 9
HiPS no encontró ningún bloqueo o punto muerto en la simulación del modelo de Petri

Por último, para comprobar la reversibilidad de los estados, es decir, que el gato y el ratón volvían a su estado inicial, en el software de HiPS se hizo el análisis de esta condición, arrojando lo resultados en la Figura 10.

Figura 10
Análisis de reversibilidad de las marcas

Por lo tanto, se concluye con la información presentada que con el uso del software HiPS se pudo realizar con éxito el resultado del problema planteado por Wonham y Ramadge. Para el lector interesado, los archivos de los datos y métodos utilizados se ponen a disposición en la siguiente liga de Github: https://github.com/saulmanuel/HiPS-Gato-y-Raton.

Conclusiones

Las redes de Petri pueden ser una herramienta práctica de modelación para varios tipos de sistemas dinámicos, incluidos aquellos donde se manifiestan eventos discretos. Desde sus orígenes, se han publicado bastantes artículos sobre sus usos y aplicaciones. [5]

El problema expuesto en este artículo es solamente un ejemplo de la aplicación práctica de las redes de Petri tomando la ventaja de las tecnologías de información que permiten la modelación de una manera rápida y automatizada. Se enfatiza la importancia de incrementar el estudio de la aplicación de las redes de Petri en otras áreas de conocimiento, donde los sistemas dinámicos y eventos discretos puedan ser modelados. También, el problema puede servir de referente para desarrollar herramientas útiles para el análisis de modelos donde se requiere tomar en consideración restricciones o estados conflictivos de un sistema para encontrar la solución óptima que permita la “ruta de viaje” adecuado de la marca o token.

Además, el éxito del uso de sistemas informáticos de simulación donde se combinan métodos de modelación de sistemas dinámicos depende de la habilidad del usuario de aplicar el modelo en las condiciones indicadas, los niveles de interpretación del mismo y la disponibilidad de la tecnología.

Referencias

[1] Kuntsevich, V. M., Gubarev, V. F., Kondratenko, Y. P., Lebedev, D. V. y Lysenko, V. P. (2018). Control Systems: Theory and Applications. River Publishers.

[2] Balemi, S. (1992). Control of Discrete Event Systems: Theory and application. ADAG Administration & Druck AG.

[3] Gunardi, Y. y Hanafi, D. (2022, julio 20-21). Petri net modeling for mobile robot in sharp turning cases [conferencia]. International Seminar of Intelligent Technology and its Applications (ISITIA). Surabaya, Indonesia. doi: https://doi.org/10.1109/ISITIA56226.2022.9855287

[4] Murata, T. (1989). Petri nets: Properties, analysis and applications. Proceedings of the IEEE, 77(4), 541-580. doi: https://doi.org/10.1109/5.24143

[5] Wang, J. (2007). Petri Nets for Dynamic Event-Driven System Modeling. En P. A. Fishwick (Ed.), Handbook of Dynamic System Modeling. Monmouth University. doi: https://doi.org/10.1201/9781420010855

[6] Zurawski, R. y Zhou, M. (1994). Petri nets and industrial applications: A tutorial. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 41(6), 567-583. doi: https://doi.org/10.1109/41.334574

[7] Restrepo, P. L. A. (2011). Un método computacional para la detección y caracterización de conflictos en redes de Petri. Revista Ingenierías Universidad de Medellín, 10(19), 189-199. https://repository.udem.edu.co/handle/11407/931

[8] Ramadge, P. J. (1983). Control and Supervision of Discrete Event Processes. Department of Electrical Engineering, University of Toronto.

[9] Ramadge, P. J. y Wonham, W. M. (1982, diciembre 8-10). Supervision of discrete event processes [conferencia]. 21st IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, FL, EE.UU. doi: https://doi.org/10.1109/CDC.1982.268351

[10] Ramadge, P. J. y Wonham, W. M. (1987). Supervisory control of a class of discrete event processes. SIAM Journal on Control and Optimization, 25(1), 206-230. doi: https://doi.org/10.1137/0325013

[11] Wonham, W. M. y Ramadge, P. J. (1987). On the Supremal Controllable Sublanguage of a given Language. SIAM Journal on Control and Optimization, 25(3), 637-659. doi: https://doi.org/10.1137/0325036

[12] Wonham, W. M. y Ramadge, P. J. (1984, diciembre 12-14). On the supremal controllable sublanguage of a given language [conferencia]. 23rd Conference on Decision and Control. Las Vegas, NV, EE.UU. doi: https://doi.org/10.1109/CDC.1984.272178

[13] Čapkovič, F. (1993). A Petri Nets-Based Approach to the Maze Problem Solving. En S. Balemi, P. Kozák y S. Smendiga (Eds.), Discrete Event Systems: Modeling and Control (pp. 173-179). Birkhäuser Basel. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-9120-2_15

[14] Uzam, M. (2004). Synthesis of feedback control elements for discrete event systems using Petri net models and theory of regions. International Journal of Advance Technology, 24, 48-69. doi: https://doi.org/10.1007/s00170-003-1715-x

[15] Harie, Y., Mitsui, Y., Fujimori, K., Batajoo, A. y Wasaki, K. (2017, octubre 24-27). HiPS: Hierarchical Petri Net design, simulation, verification and model checking tool[conferencia]. IEEE 6th Global Conference on Consumer Electronics (GCCE). Nagoya, Japón. doi: https://doi.org/10.1109/GCCE.2017.8229199

[16] KWasaki1967. (2017, junio 4). HiPS: Hierarchical Petri net Simulator [video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=usF1JrQegOE

Notas de autor

saulmanuel.favela@upaep.edu.mx