Espacios métricos parciales

Partial metric spaces

Lezcano, José; Hernández, Jorge

José Lezcano

jose.lezcano4@utp.ac.pa

Ministerio de Educación Panamá

Jorge Hernández

jorge.hernandez8@utp.ac.pa

Universidad de Panamá Panamá

Visión Antataura

Universidad de Panamá, Panamá

ISSN: 2309-6373

ISSN-e: 2520-9892

Periodicidad: Semestral

vol. 7, núm. 1, 2023

Luis.rodriguez@up.ac.pa

Recepción: 17 Febrero 2023

Aprobación: 10 Abril 2023

URL: http://portal.amelica.org/ameli/journal/225/22544392254439009/

DOI: https://doi.org/10.48204/j.vian.v7n1.a3933

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Resumen: En el presente trabajo, se modifica el axioma de separación de los espacios métricos para introducir los espacios métricos parciales, en los cuales la autodistancia no es necesariamente cero. Se define una relación de orden en estos espacios. Se desarrollan una serie de ejemplos que ilustran los conceptos introducidos y a la vez sirven como contraejemplos para mostrar la independencia de las definiciones presentadas.

Palabras clave: Métricas, espacios métricos, métricas parciales (pmétricas), espacios métricos parciales, autodistancia diferente de cero, orden parcial, conjunto parcialmente ordenado.

Abstract: In this work the separation axiom of metric spaces is modified to introduce partial metric spaces, in which the selfdistance is not necessarily zero. An order relationship is defined in these spaces. A series of examples illustrating the concepts introduced was developed to serve as counterexamples demonstrating the independence of the definitions presented.

Keywords: Metric, metric space, partial metric (pmetric), partial metric space, nonzero selfdistance, partial order, partial orden set.

1. Introducción

Las métricas parciales y los espacios métricos parciales fueron introducidos por el matemático inglés Steve Mathews en el 8° Coloquio Británico para la Teoría de la Ciencia Computacional en 1992. También en ese año, Michael Bukatin en su disertación doctoral trata sobre las métricas parciales. Posteriormente, en 2009 Steve Mathews, Ralph Kopperman, Homeira Pajooheshel presentan un artículo en The American Mathematical Monthly titulado Partial Metric Spaces.

Al igual que en los espacios métricos, los espacios métricos parciales están formados por un conjunto no vacío y una función. A esta función se le conoce con el nombre de pmétrica, la cual toma dos puntos del conjunto y la lleva a un número real no negativo.

En los espacios métricos parciales, la pmétrica de un punto a el mismo no es necesariamente cero. Esto provoca una reacción en cadena, pues para homologar los axiomas de métrica hay que realizar cambios sustanciales en los mismos.

Se mostrará cómo, a partir de espacios métricos parciales, se pueden construir espacios métricos. Además, cómo a partir de espacios métricos se pueden construir espacios métricos parciales. Además se mostrarán, algunos ejemplos de espacios que cumplan estas situaciones.

2. Metodología

Introducidos por Rene Maurice Frechet en su tesis doctoral, los espacios métricos dieron origen a un vasto campo de estudio. Generalizando los espacios métricos se da origen a los espacios métricos parciales, ajustando el axioma de separación. Dando así origen a un nuevo campo de estudio.

Se definen los conceptos de métrica, seudométrica, ponderación y métrica parcial. Posteriormente, se muestra como a partir de espacios métricos, usando la métrica inducida se pueden construir una métrica parcial, por ende un espacio métrico parcial. De igual forma, se pueden construir a través de una métrica parcial una métrica y por lo tanto un espacio métrico.

Se prueba que en los espacios métricos parciales se puede establecer una relación de orden parcial, es decir; los espacios métricos parciales son conjuntos parcialmente ordenados.

Para validar los resultados, se muestran ejemplos para cada uno.

3. Desarrollo del tema: Espacios métricos parciales

· Observaciones:

1. Supongamos que r(x, y) = 0. Luego por MP₀

r(x, x) = 0 y r(y, y) = 0

de donde

r(x, x) = r(x, y) = r(y, y) = 0

3. Conclusiones

Con lo demostrado en este artículo, podemos concluir:

· Los espacios métricos parciales son una generalización de los espacios métricos. Es decir, todo espacio métrico es un espacio métrico parcial; pero no todo espacio métrico parcial es un espacio métrico.

· Dado un espacio métrico, podemos construir a través de la métrica una pmétrica y por lo tanto un espacio métrico parcial.

· De igual forma, si tenemos un espacio métrico parcial, podemos construir a través de la pmétrica una métrica y por lo tanto un espacio métrico.

Referencias bibliográficas

Samet, B., Vetro, C., y Vetro, F. (2013). From metric spaces to partial metric spaces. 5. file:///C:/Users/50764/Downloads/1687-1812-2013-5.pdf

Bukatin, M., Kopperman, R., Matthews S., y Pajoohesh, H. (2009). Partial Metric Spaces. The American Mathematical Monthly, 116(8), 708–718. https://www.jstor.org/stable/ 40391197

Kopperman, R., Matthews S. y Pajoohesh, H. (2004). Partial metrizability in value quantales. Applied General Topology, 5(1), 115 – 127. https://doi.org/10.4995/agt.2004.2000

Kopperman, R. (s.f). Generalized Metrics A Topological Investigation. https://www.generalizedmetrics.com/

Matthews, S. (1994). Partial Metric Topology. Annals of the New York Academy of Sciences, 728, (183-197). https://www.dcs.warwick.ac.uk/pmetric/Ma94.pdf

Matthews, S. (2008, del 29 de Julio al 1 de agosto). Partial Metric Spaces A Fuss about Nothing [conferencia]. The 2008 Summer Conference Universitaria de la UNAM, Ciudad de México, México.

Matthews, S. (s.f). partialmetric.org. http://www.dcs.warwick.ac.uk/pmetric/