1. INTRODUCCIÓN

En este trabajo se va a estudiar el problema de valor inicial (PVI)

La ecuación (1) fue derivada por Korteweg y de Vries en Korteweg, D. J. & de Vries, G. (1895) como un modelo que describe la propagación de ondas de longitud (de onda) larga en medios dispersivos y en una dimensión. La propagación de ondas solitarias en la superficie del agua en canales de poca profundidad es un ejemplo de contextos en los que aparece esta ecuación. En adelante se referirá a la ecuación (1) como ecuación KdV.

Desde el punto de vista matemático la ecuación KdV es una ecuación de evolución en derivadas parciales que incluye efectos de dispersión y no linealidad. El término ∂tu(x,t) se puede entender como la evolución temporal de la perturbación u(x,t) mientras que ∂³u(x,t) se traduce en la dispersión del sistema. El término restante u(x,t)∂xu(x,t) es de carácter no lineal

En la literatura la ecuación KdV ha sido ampliamente estudiada (Colliander, J. et al., 2003; Kato, T., 1983; Kenig, C. & Vega, L., 1993; Miura, R., 1976). La descripción de diversos problemas físicos y matemáticos asociados a esta ecuación, que abarcan desde aspectos geométricos y algebraicos hasta cuestiones propias del análisis no lineal, puede ser consultada en Miura, R. (1976). Los esfuerzos serán direccionados a establecer el buen planteamiento local del problema de Cauchy (1).

Durante las últimas décadas el buen planteamiento del problema (1) ha sido objeto de estudio por varios autores, ver por ejemplo (Bourgain, J., 1993; Colliander, J. et al., 2003; Kato, T., 1983; Kenig, C. & Vega, L., 1993) y las referencias allí citadas. Dichos autores estudiaron el problema en los espacios de Sobolev H^s(R). Dado que el índice s en la definición de H^s(R) mide el grado de diferenciabilidad de una función en L²(R), tales espacios son un contexto funcional natural para estudiar el PVI (1). Recientemente se ha incrementado el interés por estudiar el buen planteamiento del problema de Cauchy en espacios que no solo midan el grado de diferenciabilidad de las funciones sino también el tipo de decaimiento que las soluciones del problema puedan tener ((Bustamante, E. et al., 2013), (Bustamante, E. et al., 2018), (Fonseca, G. & Ponce, G. , 2011); entre otras). Tal estudio viene motivado por la existencia de soluciones especiales (ondas solitarias) que tienen un decaimiento particular y por el estudio de la persistencia de soluciones para las cuales el dato inicial u₀ pertenezca al espacio de Schwartz S(R) (Kato, T., 1983) tiene un abordaje ilustrativo).

El trabajo pionero en esta dirección es debido a Tosio Kato. Con el objetivo de estudiar las soluciones del PVI (1) con dato inicial u₀ ∈S(R), Kato propone abordar el problema del buen planteamiento en los espacios de Sobolev con peso H^m(R)∩L²(|x|ⁿdx), donde n y m son enteros positivos Kato, T. (1983). Los resultados de este trabajo han sido extendidos para los casos en que m y n no son necesariamente enteros positivos y para otros modelos dispersivos no lineales como las ecuaciones Benjamin-Ono o Zakharov-Kuznetsov (ver por ejemplo Bustamante, E. et al. (2013), Fonseca, G. et al. (2015), Fonseca, G. & Ponce, G. (2011), Nahas, J. & Ponce, G. (2009) y sus referencias).

A diferencia de otras ecuaciones dispersivas, el efecto de dispersión de la ecuación KdV es significativo y permite estudiarse a la luz de los teoremas de punto fijo. Existen ecuaciones en las que la dispersión es más leve, lo cual exige que la conclusión de buen planteamiento deba ser obtenida con herramientas adicionales. Por ejemplo en Molinet, L. et al. (2001) se demuestra que la función dato-solución de la ecuación de Benjamin-Ono no es localmente C². Más aún, Koch, H. & Tzvekov, N. (2005) garantiza que la misma no es localmente uniformemente continua.

En contraste con las ideas desarrolladas en Colliander, J. et al. (2003), las herramientas principales que serán usadas en este artículo recaen indirectamente sobre la transformada de Fourier (ver Teorema 2.2).

El objetivo entonces es extender el Teorema 2.1 en Kenig, C. & Vega, L. (1993) para demostrar en una forma alternativa a las ideas presentadas en (Fonseca, G. et al., 2015), el buen planteamiento local del problema de Cauchy asociado a la ecuación KdV en los espacios de Sobolev con peso H^s(R)∩L²(|x|^rdx).

En Fonseca, G. et al. (2015) los autores demuestran en el Teorema 2 que el problema de Cauchy para la ecuación KdV modificada

está bien planteado en los espacios de Sobolev con peso. Los autores sugieren que las ideas pueden replicarse para concluir el buen planteamiento de la familia de ecuaciones

donde k es un entero positivo.

A diferencia de lo desarrollado por ellos, en estre trabajo se utilizan estimativas alternativas que no recaen directamente en el uso exhaustivo de la transformada de Fourier (compare Lema 1 de Fonseca, G. et al. (2015) con los lemas 2.4 y 2.5) e ideas de interpolación como las desarrolladas en la demostración del teorema 2.4 de Bustamante, E. et al. (2013) para demostrar que el PVI (1) (caso k=1) está bien planteado sobre los espacios de Sobolev con peso mencionados anteriormente.

Con base en la fórmula de Duhamel (ver la sección 5 del capítulo IX en Kato, T. (2013)) se va a entender como una solución al PVI (1) una función u que satisfaga

donde la familia de operadores {U(t)}_t≥0 es el semigrupo unitario asociado a las soluciones al problema (1) linealizado. De forma que, teniendo en cuenta la expresión (4), una buena forma de afrontar el problema (1) es intentar que el operador que define el lado derecho de (4) sea una contracción en algún espacio métrico razonable. En otras palabras demostrar que el operado

tiene un único punto fijo en cierto espacio Y.

Esta idea fue implementada en Kenig, C. & Vega, L. (1993) por Kenig, Ponce y Vega en los espacios de Sobolev H^s(R), con s > 3/4; donde usando el teorema de punto fijo de Banach, estos autores obtuvieron el buen planteamiento local del problema de valor inicial (1) sobre un subconjunto de H^s(R). Dado que el objetivo de este artículo adicionalmente involucra el estudio del decaimiento de las soluciones del PVI (1), observando (4) y (5) se puede notar que va a ser necesario controlar expresiones del tipo

donde Dr(f) se define por (|x|r f^)∨ . Es decir, en lugar de estimar la norma de U(t)f en L²(|x|rdx) se puede estimar la norma de D^r(e^itξ 3 f^₀) en L²(R).

Con el objetivo de estimar la norma L² del término D^r(e^itξ3 f^₀), se usa una versión alternativa a la derivada fraccionaria usual, que se denotará por Dr . Este operador fue introducido por Stein en Stein, E. (1961) con la finalidad de caracterizar los espacios de Sobolev generalizados L^p_b(Rⁿ). Haciendo uso de esta caracterización, se va a estimar el término ||D^r(e^itξ3 f^)||L_2/ξ vía estimativos sobre la expresión ||D^r(e^itξ3 f^)||L_2/ξ. A su vez, este mismo es acotado en términos de ||f||_L2x , ||D^2rf||_L2x y de |||x|^rf||_L2x.

De tal manera que, tanto los estimativos lineales sobre el semigrupo U(t) obtenidos por Kenig, Ponce y Vega y el acotamiento de |||x|^rU(t)f ||_L2x, permiten escoger un espacio de Banach adecuado en el cual se pueda encontrar soluciones para el problema (1) por medio del teorema de punto fijo de Banach.

Este artículo está organizado de la siguiente manera: en la sección 2 la teoría lineal relacionada al problema. La solución del problema linealizado, la definición del semigrupo unitario asociado, estimativas sobre la derivada de Stein del semigrupo, los estimativos lineales de Kenig, Ponce y Vega junto con algunos lemas de interpolación serán abordados. Al inicio de la sección 3 se explica la relación entre los índices de regularidad y decaimiento s y r enunciados en el teorema principal. La demostración de este teorema será presentada en dos pasos: inicialmente se recuerda la existencia y unicidad de soluciones locales para el problema (1) en H^s(R) obtenidas en (Kenig, C. & Vega, L., 1993). El segundo paso involucra el decaimiento de las soluciones y será dividido en dos subcasos; cuando 3/4 < s ≤ 1, con base en los estimativos lineales, se usará el método de punto fijo de Banach y cuando s > 1, usando la propiedad de regularidad de Kenig, Ponce y Vega junto con los lemas de interpolación, se demostrará que la solución que se tenía en H^s(R) también pertenece al espacio L²(|x|^rdx).

2. TEORÍA LINEAL PARA LA ECUACIÓN KORTEWEG-DE VRIES

Es importante resaltar que para esta sección y las siguientes la constante C será usada para representar cantidades escalares que pueden variar línea a línea y cuya dependencia será siempre especificada.

2.1. Solución del problema de valor inicial lineal asociado

Considere el problema lineal homogéneo asociado a (1)

Vía transformada de Fourier se puede ver que la solución a (7) está dada por el operador U : [0,∞) → C¹(R;R) definido por

Este operador es llamado el grupo unitario asociado a la ecuación KdV linealizada y la familia {U(t)}_t≥0 define un semigrupo de operadores lineales. La parte constante en el exponente, 8π³, será omitida frecuentemente cuando se invoque U(t). La razón de tal simplificación es que, en adelante, el término 8π3 solo aportará constantes en las estimativas y por lo tanto lo que se demuestre para el exponente itξ³ será válido tambien para el exponente 8π³itξ³, a menos que se especifique lo contrario.

2.2. Derivada de Stein

Para una función con las propiedades adecuadas (por ejemplo una de la clase de Schwartz) y b > 0 se definen los siguientes operadores:

Definición 2.1. Denote por L_b^p(Rⁿ) el conjunto {f = J_b(g) | g ∈ L^p(R)}.

Note que en el caso p = 2, el espacio L_b^p(Rⁿ) coincide con el espacio de Sobolev H^b(Rⁿ).

Una caracterización simple de los elementos de L_b^p(Rⁿ) en términos de su suavidad sin utilizar la transformada de Fourier queda condensada en el próximo teorema extraido de (Stein, E., 1961).

Teorema 2.2 (Stein). Sean b ∈ (0,1) y 2n/(n+2b) < p < ∞. Una función f pertenece a Lp b (R n ) si, y solo si,

La expresión D^bf definida en el numeral 2 del Teorema 2.2 se conoce como Derivada de Stein y tiene varias ventajas con respecto a la derivada fracionaria clásica

Un ejemplo de la afirmación anterior es que no se conoce aún si se puede o no obtener una regla del producto, similar al Teorema 2.3 (abajo), pero con Db en lugar de Db. Ver la Proposición 1 de (Nahas, J. & Ponce, G., 2009).

Teorema 2.3 ( (Nahas, J. & Ponce, G., 2009)). Sean b ∈ (0,1) y 1 ≤ p ≤ ∞. Si f,g : Rⁿ → C son funciones medibles, entonces

2.3. Estimativos sobre el Semigrupo

Se comienza la sección con el Lema 2.4 que es debido a Bustamante, Jiménez y Mejía (ver Lema 2.2 en Bustamante, E. et al. (2018)). Este lema permite acotar la derivada de Stein del multiplicador que aparece en la definición del semigrupo unitario asociado a la ecuación KdV linealizada en términos de potencias de t y |x|.

Lema 2.4. Sea b ∈ (0,1). Existe una constante C_b > 0 tal que para todo t > 0 y todo x ∈ R se tiene que

El siguiente lema se encarga de acotar |||x|^bU(t)u||_Lx2 en términos de ||u||_Lx2, ||D^2bu||_Lx2 y |||x|^bu||_Lx2 junto con sumas de potencias de t; permitiendo incluir el decaimiento en el espacio de Banach donde más adelante se definirá una contracción en la búsqueda de obtener (4). La prueba de este hecho se sigue de una pequeña adaptación de la prueba del Lema 2.4 en Bustamante, E. et al. (2018).

Lema 2.5. Para b ∈ (0, 1 2 ] existe una constante C_b > 0 tal que para todo t ≥ 0 y para toda f ∈ Z_2b,b := H^2b (R)∩L² (|x|^2bdx) se tiene que

Definición 2.6. Dada una función f : R×[0,T] → R (o C) se define la norma mixta

Cuando p =∞ o q =∞ se deben hacer los cambios naturales con essup. Adicionalmente cuando en la norma aparezca t en lugar de T, se entenderá que el intervalo de tiempo es [0,∞).

El espacio formado por las funciones con norma mixta finita es llamado espacio anisotrópico o espacio de Bochner uniforme. Estos conceptos fueron introducidos por Benedek & Panzone (1961) y fueron investigados a profundidad por Besov et al. (1979).

Teorema 2.7 (Estimativos lineales).

Para las justificaciones de cada literal se le sugiere al lector revisar en Kenig, C. & Vega, L. (1993) el Teorema 3.5, parte (i); el Lema 3.18 parte (i) y el Lema 3.19 respectivamente.

El siguiente teorema es una aproximación cercana a la regla de Leibniz (en una versión vectorial) para derivadas fracionarias. La prueba de este resultado puede consultarse en el Apéndice A8 de Kenig, C. & Vega, L. (1993).

Teorema 2.8. Sea α ∈ (0,1). Considere α₁,α₂ ∈ [0,α] tales que α = α₁ +α₂. Sean |/p, p1, p2,q,q1,q2 ∈

Teorema 2.8. Sea α ∈ (0,1). Considere α₁,α₂ ∈ [0,α] tales que α = α₁ + α₂. Sean p, p₁, p₂,q,q₁,q₂ ∈ (1,∞) tales que 1/p = 1/p₁ + 1/p₂ y 1/q = 1/q₁ + 1/q₂ . Entonces

Más aún, para α1 = 0 el valor q1 = ∞ también es válido.

Se concluye este capítulo incluyendo dos resultados: un lema de interpolación debido a Germán Fonseca y Gustavo Ponce (Lema 1 en (Fonseca, G. & Ponce, G. , 2011)) y una consecuencia de la regla de Leibniz encontrada en Bustamante, E. et al. (2013) que nos permitirán aclarar en primera instancia la relación entre la regularidad y el decaimiento de las funciones en los espacios intermedios en el sentido expuesto a continuación.

Lema 2.9 (Fonseca-Ponce). Sean a > 1 y b > 0. Suponga que J_af ∈ L²(R) y que p(x)^bf :=(1+|x|²)^b/2f ∈ L²(R). Entonces para todo θ ∈ [0,1] :

Más aún, la desigualdad sigue siendo válida para el peso truncado

en lugar de p(x) y con la constante C independiente de N.

La demostración del siguiente lema se sigue de aplicar inducción y la regla de Leibniz (ver Lema 2.2 en Bustamante, E. et al. (2013)).

Lema 2.10. Sean b > 0 y n ∈ N. Suponga que J_n(p(x)^bu₀) ∈ L²(R). Entonces

Más aún, el resultado sigue siendo válido para w_N(x) en lugar de p(x) y con la constante independiente de N.

3. TEOREMA PRINCIPAL

En esta sección se presenta el resultado principal de este trabajo. Se prueba la existencia de soluciones para el PVI asociado a la ecuación KdV cuando el dato inicial pertenece a cierto espacio de Sobolev con peso. Antes de presentar la prueba de dicho resultado se discuten algunos aspectos relacionados con el método para encontrar soluciones para el PVI (1) y se motiva la escogencia del espacio de Sobolev con peso en el cual se estudia este problema.

3.1. Formulación del problema

Una buena manera de encontrarle una solución al problema de valor inicial de la ecuación Korteweg-de Vries

es usar el teorema de punto fijo de Banach junto con la fórmula de Duhamel. En otras palabras se llama solución del problema (1) a una función u ∈ C([0,T];Z), para cierto espacio de Banach Z, que satisfaga la expresión integral

sea una contracción.

La búsqueda de tal espacio de Banach Z adecuado para esta labor depende directamente de los estimativos lineales (Teorema 2.7) disponibles para el semigrupo asociado.

Como el interés es establecer la buena colocación para el problema de Cauchy en espacios de Sobolev con peso Z_s,r := H^s(R)∩L²(|x|^rdx) es necesario saber la relación (si existiera) entre los índices s y r; es decir, entre el decaimiento y la regularidad de la posible solución. La respuesta en el contexto presentado será r = s/2 y se motiva de los siguientes razonamientos formales basados en las ideas de Tosio Kato en Kato, T. (1983).

Suponga que se tiene una solución para (1), u ∈ C([0,∞);H^s (R)), para algún s suficientemente grande. Se desea garantizar que la cantidad sea finita y acotada en t, donde p(x) := (1 + |x|² )^1/2 . Procediendo formalmente, se multiplica la ecuación KdV a ambos lados por u(x,t)p(x) y se usa integración por partes para obtener:

donde <·,·> es el producto interno en L²(R).

Los dos términos que aparecen sumando al lado derecho de la expresión (23) pueden controlarse fácilmente como se mostrará en (49) y (51). El término restante es un poco más delicado. El Lema 2.9 afirma que para θ ∈ [0,1] y f ∈ Z_s,r,

es decir, en términos de u:

Para controlar la expresión 3<u_x,u_xp_x> se puede utilizar (24) cuando θ_s = 1 pero requiriendo entonces que |p_x| sea del orden de p^2(1−θ)r. Dado que |p_x| ≤ p^2r−1, la igualdad 2r −1 = 2(1−θ)r lleva a concluir que r = s/2.

Tal y como se mencionó en la introducción, el estudio del buen planteamiento de (1) en los espacios de Sobolev clásicos Hs(R) fue desarrollado por Kenig, Ponce y Vega en Kenig, C. & Vega, L. (1993). Más precisamente en el Teorema 2.1, se afirma lo siguiente:

Teorema 3.1 (Kenig-Ponce-Vega). Sea s > 3/4. Para toda u₀ ∈ H^s(R) existe T > 0, que depende solo de ||u₀||_s,2, y una única solución u(t) del PVI (1) que satisface

Para cualquier T⁰ ∈ (0,T) existe una vecindad V de u₀ en H^s(R) tal que el mapeo u˜₀ → u˜(t) desde V hacia el espacio definido por (25), con T' en lugar de T, es Lipschitz.

Si u₀ ∈ H^s'(R), con s' > s, entonces los resultados mencionados arriba se mantienen con s' en lugar de s y en el mismo intervalo de tiempo [−T,T].

Teniendo en cuenta que la relación de s y r es r = s/2 y el Teorema 3.1 se puede enunciar el resultado principal de este artículo.

Teorema 3.2 (Teorema Principal). Sea s > 3/4. Para toda u₀ ∈ Z_{s, x/2} := H^s (R)∩L² (|x|^s/2dx) existe T > 0 (que depende sólo de ||u0||_s,2 si s > 1 y también de |||x|^s/2u₀||_L2 si 3/4 < s ≤ 1) y una única solución u(t) del problema (1) que satisface

Se presenta la prueba en dos pasos.

3.2. Demostración del Teorema Principal

Paso1

Este paso recapitula la demostración del Teorema 2.1 en Kenig, C. & Vega, L. (1993).

Para todo T > 0, toda w ∈C([−T,T];H^s(R)) y todo ρ > 3/4, se define

Se puede probar que dado u0 ∈ Hs(R), si se toma T > 0 y a > 0 tales que

se tiene que para u,v ∈ X_a^T := {w ∈C([−T,T];H^s(R)) | Λ^T(w) ≤ a} se cumple que

lo cual probaría el teorema la existencia y unicidad de solución sobre los espacios Hs(R).

Paso2

Caso 1, si 3/4 < s ≤ 1.

Para todo T > 0, toda función w ∈C([−T,T];Z_s,s/2) y s > 3/4, se define

Se trabaja de nuevo en un espacio semejante a XaT, en este caso

para algún b > 0 que se define más adelante.

Se comienza estimando Ω^T(U(t)u₀).

En primer lugar se observa que

En virtud del Lema 2.5 se tiene

y así

De lo anterior y (28) se tiene que

Defina ahora Ψ_u0 : Y^T_b → Y^T_b . Para u ∈ Y^T_b dado, se estima Ω^T (Ψ_u0 (u)).

En primer lugar note que del paso 1,

En segundo lugar es claro que para t ∈ (0,T) se tiene

Argumentando con base en el Lema 2.5 se obtiene para I:

De otro lado, escribiendo t_∗ := t −s˜ e invocando el Lema 2.5 junto con la desigualdad de Hölder, se tiene para II que

Utilizando que

se puede continuar el acotamiento de II como

Combinando (32), (33) y (34) se concluye que

Finalmente, por (35) se tiene que

Regresando a (31) se ha probado que

El estimativo (36) da la primera condición sobre b y T para seleccionarlos de manera tal que la función Ψu0 esté bien definida. Se debe ahora intentar establecer una condición razonable para obtener que Ψ_u0 sea una contracción.

Inicialmente se acota Ω^T(Ψ_u0(u)−Ψ_u0(v)). Para u,v ∈Y_b^T, se tiene que

donde se usa que para u,v ∈ X_a^T se tiene

Se verá que para u,v ∈Y_b^T se tiene que

En efecto,

Como consecuencia del Lema 2.5 y la desigualdad de Hölder:

Usando nuevamente la desigualdad de Hölder:

Recopilando los estimativos (38), (39) y (40) se obtiene que

Combinando lo anterior y (37) se concluye que

En este punto lo único que queda restando es seleccionar T y b para que Ψ_u0 :Y_b^T →Y_b^T sea una contracción.

Para alcanzar esto se deben garantizar las siguientes dos condiciones:

La condición 1, como se mencionaba antes, viene de (36) para garantizar la buena definición de Ψ_u0. La condición 2 aparece explícita en (41) para que Ψ_u0 sea una contracción.

Si se estudia la desigualdad para b se obtiene que T debe satisfacer

para que pueda existir una solución.

Defina T > 0 por

Como el lector puede verificar, esta escogencia satisface las condiciones 1 y 2.

Aplicando entonces el Teorema de punto fijo de Banach, debe ser el caso que exista una única u ∈ Y_b^T tal que Ψ_u0(u) = u.

Esto se concluye el caso 3/4 < s ≤ 1.

Caso 2, si s > 1.

Para este caso se aborda un procedimiento diferente al llevado a cabo anteriormente. Del Teorema 3.1, dado u₀ ∈ H^s(R) existe T > 0 (dependiendo solamente de ||u₀||_s,2) y una única función u ∈ X_a^Tque es solución del problema (1). Sea {u_0m}_m∈N una sucesión en C^∞₀ (R) tal que u_0m −−m→∞−→ u₀ en H^s(R). Sea um ∈ C([0,T];H^∞(R)) la solución del problema (1) con dato inicial u_0m dada por el Teorema 3.1. SE puede suponer que todas las um están definidas en el mismo intervalo [−T,T]. Adicionalmente por la dependencia continua del dato en el Teorema 3.1, um −_m→∞−−→ u en C([0,T];H^s (R)).

En un espíritu similar al descrito en la motivación de la relación entre s y r desarrollado al inicio del capítulo, se multiplica la ecuación (1) para um por u_mw^2r_N , donde w_N es el peso truncado definido en el Lema 2.9; para obtener:

donde <·,·> es el producto interno de L²(R). Integrando (44) en el intervalo temporal [0,t] y aplicando el teorema fundamental del cálculo se obtiene que

Como tanto w²N^r y sus derivadas están acotadas con constante independiente de N, al tomar límite cuando m → ∞ en (45) se obtiene que

Note que el lado izquierdo de (46) converge a la norma ||u||²_{L2((1+|x| 2) rdx)} cuando N → ∞; de modo que si se logra dominarlo por algo finito independiente de N, se obtiene que u tiene el decaimiento deseado. Con este propósito se procede a estimar cada término. Para I, se tiene que

En segundo lugar, usando el Lema 2.10 y el Lema 2.9 para a = s, b = r, θ_s = 1 y (1−θ)b = r −1/2 se tiene:

donde luego de interpolar se usaa que u es continua de [0,T] en H^s(R) y que para cualquier caso ||w^r_Nu(·,s)||^2−1/r_L2 ≤ (1+||w^r_N u(·,s)||²L2 ).

Para estimar III se deben considerar dos casos:

Si 2r−3 ≤ 0, entonces

donde se utilizó que las derivadas de w_N(x) son acotadas y que u es continua de [0,T] en H^s(R).

Si 2r−3 > 0:

Si 2r−3 > 0: (49) Importar tabla

Nuevamente en virtud de que las derivadas de w_N(x) son acotadas y de que w^2r_N(x)> w^2r−i_N (x) para i ∈ {1,2,3}; se tiene que

Por último, para IV, usando la inmersión H^s(R) ,→ L^∞(R):

De (46), (47), (48), (49), (50) y (51) se concluye que

En virtud de la desigualdad de Grönwall (lema 1.1 en Adedayo (2001)) y usando la notación L_w² para

L²(p(x)^2rdx):

Al tomar límite cuando N → ∞, se obtiene:

De lo anterior se concluye que u ∈ L^∞([0,T];L²(p(x^)2rdx)).

Por último nos resta por verificar que efectivamente u es continua de [0,T] en Z_s,s/2. De (53) es claro que existe una constante positiva M tal que, para todo t ∈ [0,T],

Teniendo en cuenta que u ∈ C([0,T];L²(R)), dado ε > 0 arbitrario, para ε˜:= kε > 0 existe δ > 0 tal que si |t −s| < δ entonces ku(t)−u(s)k_L2 < ε˜.

Tomando k = ||φ||⁻¹_L2w , es fácil ver que para φ ∈ L²(p(x)^2rdx) la función t→<φ,u(t)>_L2w es continua. En efecto, si |t −s| < δ:

Se probará ahora que u : [0,T] → L²(p(x)^2rdx) es continua en t = 0.

De (55) se tiene que

Por tanto, u : [0,T] → L²(p(x)^2rdx) es continua en t = 0.

Para ver la continuidad en t₀ ∈ [0,T] arbitrario basta mencionar que al ser v1(x,t):=u(x,t0 +t) y v2(x,t):=u(x,t0 −t) soluciones del problema (1), también son continuas en cero.

Finalmente se prueba que si ˜u_m ∈ C([0,T];Z_s,s/2) es la solución de (1) correspondiente al dato inicial u˜_0m, donde {u˜_0m}_m∈N forma una sucesión que converge a u₀ en Z_s,s/2 ; entonces ˜u_m converge a u en C([0,T];Z_s,s/2).

Del Teorema 3.1 se tieen que ˜um −−m→∞−→ u enC([0,T];Hs(R)), por lo que sólo se debe probar que ˜um converge a u en L∞([0,T];L²(p(x)^2rdx)).

Defina v_m := u˜_m−u y v_m0:= u˜_m0−u. Teniendo en cuenta que v_m −−_m→∞−→ 0 enC([0,T];H^s (R)) y argumentando de la misma forma en que se obtuvo que u ∈ L^∞([0,T];L² (p(x)^2rdx)) se puede establecer que

La prueba del teorema queda completa.

Comentario 3.3. Del Teorema Principal 3.2 se puede garantizar la existencia y unicidad de la solución al problema (1) en el espacio de Sobolev con peso Y^T_b definido en (27). El paso restante para establecer el buen planteamiento del problema de valor inicial asociado a la ecuación KdV se deriva directamente de la técnica empleada en la demostración anterior. Se debe justificar la continuidad de la función dato-solución desde Z_s,s/2 hacia Y^T_b . Para tal finalidad basta mostrar que esta función es continua en el sentido Lipschitz argumentando de la siguiente manera:

Para T' ∈ (0,T), sean u₀ y v₀ datos iniciales en Z_s,s/2 con sus respectivas soluciones u y v dadas por el teorema principal. Siguiendo las ideas utilizadas para obtener (41) junto con las condiciones (42) y (43) se obtiene que

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